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Titan est la plus grande lune de Saturne. Il a une masse de 1,35 fois 10 puissance 23 kilogrammes. Saturne a une masse de 5,68 fois 10 puissance 26 kilogrammes. Si la valeur de la force gravitationnelle entre eux est de 3,43 fois 10 puissance 21 newtons, quelle est la distance entre les centres de masse de Saturne et de Titan ? Prenez une valeur de 6,67 fois 10 puissance moins 11 mètres cube par kilogramme seconde au carré pour la constante gravitationnelle universelle. Donnez votre réponse en notation scientifique à deux décimales près.
Alors, dans cette question, on nous demande de trouver la distance entre les centres de masse de Saturne et sa plus grande lune, Titan. On nous dit que la masse de Titan est de 1,35 fois 10 puissance 23 kilogrammes. Imaginons que cette tache rose soit Titan. Et nous nommons la masse de Titan 𝑚 indice T. On nous dit aussi que la masse de Saturne est de 5,68 fois 10 puissance 26 kilogrammes. Disons que Saturne est représenté par cette tache orange ici. Et nous allons nommer sa masse 𝑚 indice S.
On nous dit que la grandeur de la force gravitationnelle entre Saturne et Titan est de 3,43 fois 10 puissance 21 newtons. Nous appellerons cette force 𝐹 indice ST, représentant la force entre Saturne et Titan. La dernière valeur donnée dans la question est celle de la constante gravitationnelle universelle, 6,67 fois 10 puissance moins 11 mètres cube par kilogramme seconde au carré. Nous allons nommer cela avec son symbole habituel de 𝐺 majuscule. Nous allons nommer ce que nous cherchons, la distance entre les centres de masse de Saturne et Titan, 𝑟 indice ST.
Puisque nous parlons de la force gravitationnelle entre Saturne et Titan, une formule qui nous sera très utile est la loi de Newton sur la gravitation. Cette loi dit que la force gravitationnelle entre deux objets, que nous appellerons 𝐹, est égale à la constante gravitationnelle universelle, 𝐺 majuscule, multipliée par les masses des deux objets, que nous appellerons 𝑚 un et 𝑚 deux, divisées par le carré de la distance entre les centres de masse des objets, que nous appellerons 𝑟.
Maintenant, dans notre cas, nous connaissons la grandeur de la force gravitationnelle et nous connaissons les masses de chacun des deux objets. Ce que nous cherchons, c’est la valeur de la distance entre leurs centres de masse. Alors prenons cette formule et réorganisons-la pour en faire cette distance 𝑟 le sujet. Nous allons commencer par multiplier les deux côtés de l’équation par 𝑟 au carré. Alors, sur le côté droit, le 𝑟 au numérateur s’annule avec celui au dénominateur. Ensuite, nous diviserons les deux côtés par 𝐹 de sorte que les 𝐹 au numérateur et au dénominateur sur le côté gauche s’annulent.
Enfin, nous prendrons la racine carrée des deux côtés de l’équation. Cela nous donne une équation qui dit que la distance entre les centres de masse de deux objets est égale à la racine carrée de la constante gravitationnelle universelle multipliée par les masses des deux objets divisées par la valeur de la force gravitationnelle entre ces objets.
Maintenant, dans notre cas spécifique, les deux objets en question sont la planète Saturne et sa plus grande lune, Titan. Et nous avons donc que la distance 𝑟 indice ST entre les centres de masse de Saturne et Titan est égale à la racine carrée de la constante gravitationnelle universelle fois la masse de Saturne fois la masse de Titan divisée par la grandeur de la force gravitationnelle entre Saturne et Titan.
Nous sommes maintenant en mesure de substituer ces valeurs dans cette équation pour calculer cette distance 𝑟 indice ST. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons cette équation ici, qui dit que la distance 𝑟 indice ST est égale à la racine carrée de 6,67 fois 10 puissance moins 11 mètres cubes par kilogramme seconde au carré, la valeur de notre constante gravitationnelle universelle, grand 𝐺 , multiplié par 5,68 fois 10 puissance 26 kilogrammes, la masse de Saturne, multiplié par 1,35 fois 10 à 23 kilogrammes, la masse de Titan, divisé par 3,43 fois 10 puissance 21 newtons, la valeur de la force gravitationnelle entre Saturne et Titan.
Le calcul de la valeur de la multiplication au numérateur de cette fraction nous donne un résultat de 5,114556 fois 10 puissance 39 mètres cubes par kilogramme seconde au carré. Au dénominateur, nous utiliserons le fait que les newtons sont équivalents à des kilogrammes par seconde au carré pour réécrire notre force en kilogrammes par seconde au carré. Cela facilitera la compréhension de l’interaction des unités entre le numérateur et le dénominateur de cette fraction.
Lorsque nous faisons cette division sous la racine carrée, nous obtenons un résultat de 1,4911… fois 10 puissance 18, où nous avons utilisé trois petits points pour indiquer qu’il y a d’autres décimales. En termes d’unités, nous avons des kilogrammes au numérateur qui s’annulent avec des kilogrammes au dénominateur. Et nous avons par seconde au carré au numérateur qui annule avec par seconde au dénominateur. Ensuite, il nous reste des mètres au cube divisés par des mètres, ce qui donne des mètres carrés. Prendre la racine carrée nous donne la distance 𝑟 indice ST comme 1,2211… fois 10 puissance neuf mètres, où de nouveau les trois petits points indiquent qu’il y a d’autres décimales.
En regardant la question, nous voyons qu’on nous demande de donner notre réponse en notation scientifique à deux décimales. Or, notre résultat est déjà en notation scientifique. Il suffit de l’arrondir à deux décimales près. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons notre réponse finale à la question que la distance entre les centres de masse de Saturne et de Titan est égale à 1,22 fois 10 puissance neuf mètres.
