Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser la loi de la gravitation de Newton pour calculer la force due à l’interaction entre deux objets massifs.
La loi de la gravitation de Newton est une loi fondamentale de la physique classique qui décrit comment les objets massifs sont attirés les uns aux autres par la gravité. Cette loi est un principe universel, ce qui signifie qu’elle s’applique à toutes les masses de l’univers : les forces qui s’appliquent à un objet tombant au sol sur une courte distance sont les mêmes que les forces qui s’appliquent au mouvement des étoiles et des planètes.
L’une des premières choses à noter à propos de la gravitation est qu’il s’agit toujours d’une force attractive. La gravitation a pour conséquence que toutes les masses de l’univers sont attirées par toutes les autres masses. Si l’on considère deux masses uniquement, la gravitation exerce une force sur chacune d’elles :
Nous pouvons voir que les forces agissant sur chaque objet sont orientées dans des sens opposés, tirant les deux objets l’un vers l’autre. Autrement dit, les vecteurs des forces agissant sur chaque masse se situent sur une droite reliant les deux masses. Techniquement, on dit que les vecteurs de force sont orientés le long de la droite reliant les centres de masse des deux objets - le centre de masse d’un objet est la position moyenne de toute sa masse, et dans le cas d’un objet sphérique, cela se situe au centre. Nous pouvons aussi voir que les forces agissant sur chaque objet ont la même intensité . Dans tous les cas, lorsqu’on considère deux masses, la gravité exerce des forces égales et opposées sur les deux objets.
Exemple 1: Déterminer les sens d’une paire de forces gravitationnelles
Chacune des figures suivantes montre deux roches dans l’espace. Quelle figure illustre correctement la direction de la force gravitationnelle exercée sur chaque rocher ?
Réponse
Pour répondre à cette question, il suffit de se rappeler que la gravité est toujours attractive. Cela signifie que toute paire de masses sont attirées entre elles par des vecteurs de force agissant le long de la droite les reliant, c’est-à-dire qu’elles sont tirées directement l’une vers l’autre. En regardant les réponses possibles, nous pouvons voir que seule la réponse D représente cela correctement. Nous pouvons également remarquer que même si les roches ont un aspect différent et peuvent avoir des masses différentes l’une de l’autre, les forces gravitationnelles agissant sur chaque roche ont la même intensité, .
La loi de la gravitation de Newton peut servir à calculer l’intensité de la force d’attraction gravitationnelle qui agit entre deux corps massifs. Commençons par considérer deux corps avec des masses et , séparés par une distance .
La loi de la gravitation de Newton nous dit que l’intensité de la force gravitationnelle agissant sur chaque corps est proportionnelle à et et inversement proportionnelle au carré de la distance entre eux. Cette relation peut être exprimée par l’expression mathématique de proportionnalité suivante :
Cette expression de proportionnalité peut être « convertie » en une équation par l’introduction d’une constante de proportionnalité. Cette constante est appelée la constante de gravitation universelle, , et sa valeur est de . En utilisant cette constante, nous pouvons écrire l’équation suivante.
Équation : La loi de la gravitation de Newton
La constante joue deux rôles importants dans cette équation. Premièrement, elle met à l’échelle le côté droit de l’équation de sorte que la valeur du côté droit corresponde à la valeur de la force gravitationnelle produite (mesurée en newtons). Deuxièmement, elle assure que les unités de chaque côté de l’équation soient les mêmes.
Voyons comment utiliser cette équation pour calculer la force gravitationnelle entre deux objets.
Nous allons de nouveau considérer deux corps séparés par une certaine distance comme ci-dessus. Cette fois, nous posons que chaque corps a une masse de 1 kg, et que les deux sont séparés par une distance de 1 m.
Ici, nous avons , , et . Ainsi, la force gravitationnelle générée, , est donnée par
Faites attention, en particulier, à la façon dont les unités s’arrangent pour aboutir à newtons. L’unité de est le m3⋅kg−1⋅s−2. Quand on multiplie par deux masses (exprimées en kilogrammes) et que l’on divise ensuite par une distance au carré (exprimée en mètres carrés), nous obtenons .
Nous pouvons également remarquer que la force que nous avons calculée ici est très faible - beaucoup trop petite pour être perceptible dans la vie quotidienne. En effet, de manière générale, nous ne remarquerons des forces gravitationnelles importantes que lorsque nous avons affaire à des masses relativement grandes séparées par des distances relativement petites. Essayons donc un autre exemple avec des masses plus grandes.
Cette fois, nous allons considérer deux personnes, chacune avec une masse de 100 kg, séparées par une distance de 1 m.
En appliquant la loi de la gravitation de Newton grâce à , , et nous obtenons
Même si cette force est 10 000 fois plus grande que celle de l’exemple précédent, elle est encore trop petite pour être perceptible. Cela correspond à notre expérience quotidienne du monde : nous ne nous attendons pas à ce qu’il y ait une force gravitationnelle perceptible entre deux personnes !
Regardons un autre exemple avec des masses encore plus grandes.
Exemple 2: Calcul de l’intensité de la force gravitationnelle entre deux objets
Deux objets, A et B, se trouvent dans l’espace lointain. La distance entre les centres de masse des deux objets est de 20 m. L’objet A a une masse de 30 000 kg et l’objet B a une masse de 55 000 kg. Quelle est l’intensité de la force gravitationnelle entre eux ? Utilisez une valeur de pour la constante de gravitation universelle. Donnez votre réponse en notation scientifique, au centième près.
Réponse
Nous savons que la gravitation exercera une force sur les deux objets qui est toujours attractive. Plus précisément, ces vecteurs de force seront de même grandeur mais seront orientés dans des sens opposées le long de la droite reliant les centres de masse des deux objets.
La loi de la gravitation de Newton nous dit que la force exercée sur chaque objet est donnée par
Dans ce cas, nous avons , , et . Ainsi, la force gravitationnelle générée, , est donnée par
En arrondissant ce chiffre au centième près, on obtient un résultat final de .
Même cette force est relativement faible, bien que les objets aient des masses de plusieurs tonnes chacun. Cependant, lorsqu’il s’agit d’objets de très grande masse, tels que des étoiles, des planètes ou des lunes, les forces exercées par la gravitation sont beaucoup plus apparentes.
Exemple 3: Calcul de l’intensité de la force gravitationnelle entre la Terre et la Lune
La Terre a une masse de , et la Lune a une masse de . La distance moyenne entre le centre de la Terre et le centre de la Lune est de 384 000 km. Quelle est l’intensité de la force gravitationnelle entre la Terre et la Lune ? Utilisez une valeur de pour la constante de gravitation universelle.. Donnez votre réponse en notation scientifique, au centième près.
Réponse
Nous savons que la gravité exerce des forces de même intensité sur la Terre et la Lune. Ces forces agissent le long de la droite reliant les centres de masse des deux objets, c’est-à-dire entre le centre de la Terre et le centre de la Lune.
On peut utiliser cette équation pour calculer l’intensité de la force :
L’énoncé nous indique les valeurs , , et . Notez que nous devrions convertir en l’unité standard de longueur avant de la remplacer à notre équation : . Ainsi, la force gravitationnelle générée, , est donnée par
En arrondissant ce chiffre au centième près, on obtient un résultat final de .
Dans l’exemple suivant, nous voyons comment l’équation peut être manipulée pour trouver des quantités autres que la force .
Exemple 4: Calcul de l’intensité de la force gravitationnelle entre Saturne et Titan
Titan est la plus grande lune de Saturne. Elle a une masse de . Saturne a une masse de . Si l’intensité de la force gravitationnelle entre elles est de , quelle est la distance entre les centres de masse de Saturne et Titan ? Utilisez une valeur de pour la constante de gravitation universelle. Donnez votre réponse en notation scientifique, au centième près.
Réponse
Nous considérons ici la force gravitationnelle qui agit entre Saturne et sa lune Titan. Cette fois, on nous a donné l’intensité de la force gravitationnelle qui attire les deux corps entre eux, et nous voulons calculer la distance qui les sépare.
Pour ce problème, nous pouvons toujours utiliser la même équation qui décrit la loi de la gravitation de Newton :
Vu que l’on veut déterminer la valeur de , nous devons manipuler l’équation pour en faire le sujet.. On peut commencer par multiplier les deux côtés par pour nous donner
Ensuite, on divise les deux côtés par :
Enfin, nous prenons la racine carrée de chaque côté, nous laissant avec à gauche :
Comme nous connaissons la force ainsi que les deux masses, il suffit maintenant de remplacer ces valeurs dans le côté droit de l’équation. Dans ce cas, nous admettons que est la masse de Titan, égale à , et est la masse de Saturne, égale à : qui, arrondi au centième près, nous donne une réponse finale de .
Dans l’exemple suivant, nous examinons comment la force gravitationnelle varie avec la distance, et comment cette relation peut être représentée par un graphique.
Exemple 5: Reconnaître comment la force gravitationnelle varie avec la distance sur un graphique
Lequel des tracés sur le graphique montre comment l’intensité de la force gravitationnelle entre deux objets varie en fonction de la distance entre leurs centres de masse ?
Réponse
Nous cherchons le tracé qui nous montre comment la force gravitationnelle entre deux objets varie en fonction de la distance.
Cette relation est donnée par la loi de la gravitation de Newton :
Comme l’énoncé indique clairement qu’il s’agit de « deux objets », nous pouvons supposer qu’ils ont chacun une masse constante. Réfléchissons à ce que cette équation nous montre lorsque nous maintenons les valeurs et constantes mais faisons varier la distance, .
Notez que nous avons au niveau du dénominateur du côté droit de l’équation. Si nous devions augmenter la grandeur de , alors la grandeur de augmenterait aussi. Augmenter le dénominateur de cette manière diminuera la grandeur de . Comme ceci est égal à , on sait que va diminuer. En d’autres termes, augmenter la distance entre deux objets diminuera l’intensité de la force gravitationnelle, , entre eux.
Cela nous indique que nous recherchons un tracé qui a toujours un gradient négatif, c’est-à-dire un tracé qui montre que la force diminue au fur et à mesure que la distance augmente. Cela signifie que nous pouvons exclure les tracés bleu et vert, qui ont tous les deux des gradients positifs.
Tous les autres tracés sur le graphique - les tracés violet, rouge et noir - illustrent des forces décroissantes à mesure que la distance augmente. Nous pouvons déterminer quel tracé est le bon nous demandant ce qui arrive à lorsque s’approche de zéro.
En regardant l’équation ci-dessus, nous pouvons voir que lorsque la valeur de diminue, augmente.. Mais, au-delà de ça, nous pouvons voir que si nous définissons égal à zéro, nous rencontrons un problème :
Nous divisons par zero ! Cela signifie que le résultat (c.-à-d. ) est « indéfini ». Ainsi, nous savons qu’un graphique de cette équation n’aura pas de valeur finie de quand = 0. En regardant à nouveau le graphique, nous pouvons voir que, parmi les choix de réponse restant, les tracés violet et noir ne suivent pas cette règle : chacun de ces tracés intercepte simplement l’axe vertical en une certaine valeur finie de . Cela nous laisse avec une réponse possible : le tracé rouge.
En fait, la loi de la gravitation de Newton nous dit que l’intensité de la force gravitationnelle tend vers l’infini (c’est-à-dire, elle devient de plus en plus grande sans limite) lorsque la distance entre deux objets se rapproche de plus en plus de zéro. En effet, cela est représenté par la ligne rouge sur le graphique : quand diminue, la pente du tracé rouge devient de plus en plus raide, et il ne coupe jamais l’axe . Ainsi, nous savons que le tracé rouge montre correctement comment la force gravitationnelle varie en fonction de la distance .
Points clés
- Toutes les masses attirent toutes les autres masses.
- Si on a deux objets avec des masses et , dont les centres de masse sont séparés par une distance , l’intensité de la force d’attraction gravitationnelle entre eux est donnée par l’équation où est la constante de gravitation universelle, égale à . Les deux objets de la paire subissent une force de cette grandeur.
- Les forces gravitationnelles entre deux objets
- sont toujours attractives,
- agissent le long de la droite reliant les centres de masse des deux objets.
