Video Transcript
En dérivant par composition, exprimez la dérivée de cinq 𝑥 au cube plus 𝑥 au carré moins deux par rapport à quatre 𝑥 au carré plus huit.
Nous rappelons que si nous avions 𝑦 est égal à une fonction 𝑓 de 𝑥 et 𝑧 est égal à une fonction 𝑔 de 𝑥, alors par la règle de dérivation en chaîne. La dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑧 est égale à la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 multipliée par la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑧. Ensuite, en fixant 𝑥 égale à la réciproque de 𝑔 de 𝑧, nous avons que la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑧 est égale à un divisé par la dérivée de 𝑧 par rapport à 𝑥 en utilisant notre théorème de la fonction réciproque. En utilisant cela, nous pouvons calculer la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑧 en calculant d’abord la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 puis en la divisant par la dérivée de 𝑧 par rapport à 𝑥.
La question veut que nous calculions la dérivée de cinq 𝑥 au cube plus 𝑥 au carré moins deux. Et il veut que nous fassions cela par rapport à quatre 𝑥 au carré plus huit. Donc, si nous définissons 𝑦 égal à cinq 𝑥 au cube plus 𝑥 au carré moins deux et 𝑧 égal à quatre 𝑥 au carré plus huit, alors d𝑦 sur d𝑧 est le résultat que la question veut que nous calculions. C’est la dérivée de cinq 𝑥 au cube plus 𝑥 au carré moins deux par rapport à quatre 𝑥 au carré plus huit. Et nous avons que cela est égal à la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 divisée par la dérivée de 𝑧 par rapport à 𝑥.
Nous pouvons maintenant calculer les deux. La dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de cinq 𝑥 au cube plus 𝑥 au carré moins deux par rapport à 𝑥. Nous pouvons dériver ceci terme par terme. Pour dériver cinq 𝑥 au cube, nous le multiplions par l’exposant puis réduisons l’exposant par un. Cela nous donne 15𝑥 au carré. Nous faisons de même pour dériver 𝑥 au carré. Nous multiplions par l’exposant de deux, puis réduisons l’exposant de un, ce qui nous donne deux 𝑥.
Enfin, la dérivée de toute constante est juste égale à zéro. Ainsi, la dérivée de moins deux est juste égale à zéro. Nous avons donc montré que d𝑦 sur d𝑥 est égal à 15𝑥 au carré plus deux 𝑥. Nous pouvons faire de même pour calculer la dérivée de 𝑧 par rapport à 𝑥. C’est la dérivée de quatre 𝑥 au carré plus huit par rapport à 𝑥.
Pour dériver quatre 𝑥 au carré, nous multiplions par l’exposant de deux, puis réduisons l’exposant par un, ce qui nous donne huit 𝑥. Et puis pour dériver la constante huit, nous obtenons juste zéro, ce qui nous donne que la dérivée de 𝑧 par rapport à 𝑥 est égale à huit 𝑥. En les substituant dans notre équation, on obtient que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑧 est égale à 15𝑥 au carré plus deux 𝑥 le tout divisé par huit 𝑥.
Par conséquent, nous avons montré que la dérivée de cinq 𝑥 au cube plus 𝑥 au carré moins deux par rapport à quatre 𝑥 au carré plus huit est égale à 15𝑥 au carré plus deux 𝑥 le tout divisé par huit 𝑥.
