Transcription de la vidéo
Déterminez la forme algébrique d’un vecteur w si sa norme est 31, et sachant qu’il forme des angles de même mesure avec les parties positives des axes du repère.
Pour commencer, rappelons que la forme algébrique, également nommée cartésienne, d’un vecteur w, dont les composantes sur les axes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont respectivement w 𝑥, w 𝑦 et w 𝑧, est obtenue en additionnant w 𝑥 fois 𝐢, w 𝑦 fois 𝐣 et w 𝑧 fois 𝐤, où 𝐢, 𝐣 et 𝐤 sont les vecteurs unitaires pointant dans la direction positive des axes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 respectivement. Donc, pour écrire notre vecteur w sous forme algébrique, on doit d’abord déterminer les composantes w 𝑥, w 𝑦 et w 𝑧.
On nous dit dans l’énoncé que la norme du vecteur est de 31. Autrement dit, sa longueur est égale à 31. On nous dit aussi que w forme des angles de même mesure avec les parties positives des axes du repère. Il en découle que nos angles directeurs, thêta 𝑥, thêta 𝑦 et thêta 𝑧, sont tous égaux. Rappelez-vous qu’il s’agit des angles formés entre le vecteur et les parties positives des axes 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Si les angles thêta 𝑥, thêta 𝑦 et thêta 𝑧 sont identiques, on peut simplement noter cet angle thêta. On rappelle que les cosinus directeurs sont les cosinus des angles directeurs, autrement dit le cosinus de thêta 𝑥, le cosinus de thêta 𝑦 et le cosinus de thêta 𝑧.
En utilisant les relations trigonométriques dans le triangle rectangle, on peut montrer que les composantes du vecteur w, w 𝑥, w 𝑦 et w 𝑧, sont données par la norme du vecteur w multipliée par les cosinus directeurs. Et dans notre cas, puisque nos angles directeurs sont tous égaux à thêta, nos trois composantes w 𝑥, w 𝑦 et w 𝑧 sont égales à la norme du vecteur multipliée par le cosinus de thêta. Puisque la norme de notre vecteur est de 31, cela nous donne 31 fois le cosinus de thêta.
À présent, pour déterminer thêta, on peut utiliser un résultat connu, à savoir que la somme des carrés des cosinus directeurs est égale à un. Dans notre cas, nos trois angles étant égaux, on a trois fois le carré de cosinus thêta égale un. En divisant par trois des deux côtés, et en prenant les racines carrées positive et négative, on obtient que le cosinus de notre angle thêta est égal à plus ou moins un sur racine de trois. On peut rationaliser le dénominateur, ce qui nous donne plus ou moins racine de trois sur trois.
Dans notre équation des composantes du vecteur, on a w 𝑥 égale w 𝑦 qui est égal à w 𝑧, qui est égal à plus ou moins 31 fois la racine de trois sur trois. Et donc, la forme algébrique, ou cartésienne, du vecteur w, dont la norme est égale à 31 et qui forme des angles de même mesure avec toutes les parties positives des axes du repère, est plus ou moins 31 fois la racine carrée de trois sur trois, multiplié par la somme des vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤.
