Fiche explicative de la leçon: Angles directeurs et cosinus directeurs | Nagwa Fiche explicative de la leçon: Angles directeurs et cosinus directeurs | Nagwa

Fiche explicative de la leçon: Angles directeurs et cosinus directeurs Mathématiques • Troisième année secondaire

Dans cette fiche explicative, comment déterminer les angles directeurs et les cosinus directeurs pour un vecteur donné dans l'espace.

Nous savons qu’un espace de coordonnées tridimensionnel est constitué de trois axes : 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Ces axes sont perpendiculaires les uns aux autres, tel que représenté sur la figure ci-dessous. Les vecteurs unitaires ⃑𝑖, ⃑𝑗 et ⃑𝑘 se trouvent sur les axes des 𝑥, 𝑦 et 𝑧 respectivement.

Définition : Angles directeurs

Étant donné un vecteur ⃑𝐴=𝐴,𝐴,𝐴, les angles que ce vecteur forme avec les axes des 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont 𝛼, 𝛽 et 𝛾 respectivement. Ceux-ci sont appelés angles directeurs et notés (𝛼;𝛽;𝛾).

Les angles directeurs nous amènent à définir également les cosinus directeurs. Grâce à la trigonométrie dans un triangle rectangle, on sait que le cosinus d’un angle quelconque 𝜃 est égal à la longueur du côté adjacent à l’angle divisée par la longueur de l’hypoténuse : cosadjhyp𝜃=.

Définition : Cosinus directeurs

Les cosinus directeurs sont les cosinus des trois angles directeurs 𝛼, 𝛽 et 𝛾 : coscoscos𝛼=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖,𝛽=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖,𝛾=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖.

𝐴, 𝐴 et 𝐴 sont les composantes sur les axes des 𝑥, 𝑦 et 𝑧 du vecteur ⃑𝐴 et ‖‖⃑𝐴‖‖ est la norme de ce vecteur, avec ‖‖⃑𝐴‖‖=(𝐴)+𝐴+(𝐴).

On peut réarranger les trois équations telles que 𝛼=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖,𝛽=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖,𝛾=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖.coscoscos

Dans le premier exemple, nous allons montrer comment trouver les composantes d’un vecteur ⃑𝐴 étant donnés ses angles directeurs et sa norme.

Exemple 1: Déterminer un vecteur étant donnés sa norme et ses angles directeurs

Déterminez les composantes du vecteur ⃑𝐴 dont la norme est 41 et dont les angles directeurs sont (135;120;60)∘∘∘.

Réponse

La norme d’un vecteur est sa longueur, et les angles directeurs 𝛼, 𝛽 et 𝛾 sont les angles formés par le vecteur avec les axes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 respectivement.

En utilisant les formules des cosinus directeurs, on sait que, pour un vecteur ⃑𝐴=𝐴,𝐴,𝐴, coscoscos𝛼=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖,𝛽=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖,𝛾=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖.

En multipliant chacune de ces équations par ‖‖⃑𝐴‖‖, on obtient les composantes suivantes pour le vecteur ⃑𝐴 : 𝐴=‖‖⃑𝐴‖‖𝛼=41135=−41√22,𝐴=‖‖⃑𝐴‖‖𝛽=41120=−412,𝐴=‖‖⃑𝐴‖‖𝛾=4160=412.∘∘∘coscoscoscoscoscos

Par conséquent, ⃑𝐴=−41√22,−412,412.

Avant de passer au prochain exemple, nous allons nous intéresser à une formule liant les trois cosinus directeurs.

On considère les cosinus directeurs comme suit : coscoscos𝛼=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖,𝛽=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖,𝛾=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖.

On élève au carré les deux membres de chacune de ces trois équations, ce qui nous donne coscoscos𝛼=(𝐴)‖‖⃑𝐴‖‖,𝛽=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖,𝛾=(𝐴)‖‖⃑𝐴‖‖.

En additionnant ces trois équations, on obtient coscoscos𝛼+𝛽+𝛾=(𝐴)+𝐴+(𝐴)‖‖⃑𝐴‖‖.

On sait aussi que ‖‖⃑𝐴‖‖=(𝐴)+𝐴+(𝐴).

Donc, ‖‖⃑𝐴‖‖=(𝐴)+𝐴+(𝐴).

On en déduit que le membre de droite de l’équation est égal à 1.

Par conséquent, coscoscos𝛼+𝛽+𝛾=1.

Formule : Propriété des cosinus directeurs d’un vecteur en trois dimensions

Si 𝛼, 𝛽 et 𝛾 sont les trois angles directeurs d’un vecteur et cos𝛼, cos𝛽 et cos𝛾 sont leurs cosinus directeurs correspondants, alors coscoscos𝛼+𝛽+𝛾=1.

Exemple 2: Déterminer le troisième angle directeur d’un vecteur

Supposons que 31∘, 65∘ et 𝜃 sont les angles directeurs d’un vecteur. À laquelle des propositions suivantes 𝜃 est-il égal, au centième de degré près ? 

  1. 72,88∘
  2. 85,03∘
  3. 264,00∘
  4. 84,00∘

Réponse

Pour répondre à cette question, nous nous servirons du fait que si les trois angles directeurs d’un vecteur sont 𝛼, 𝛽 et 𝛾, alors coscoscos𝛼+𝛽+𝛾=1.

Si on prend 𝛼=31∘, 𝛽=65∘ et 𝛾=𝜃∘, on a coscoscoscoscos∘∘31+65+𝜃=10,91334+𝜃≃1𝜃≃1−0,91334.

En prenant la racine carrée des deux membres de l’équation, on obtient cos𝜃≃0,29437.

Puis, en appliquant aux deux côtés la fonction réciproque de la fonction cosinus, 𝜃≃72,8797.

Ainsi, la valeur de 𝜃, au centième près, est 72,88∘.

Dans le prochain exemple, nous allons montrer comment calculer les cosinus directeurs d’un vecteur.

Exemple 3: Déterminer les cosinus directeurs d’un vecteur

Déterminez les cosinus directeurs du vecteur ⃑𝐴=(5;2;8).

Réponse

Étant donné un vecteur ⃑𝐴 de composantes 𝐴, 𝐴 et 𝐴, alors les cosinus directeurs sont coscoscos𝛼=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖,𝛽=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖,𝛾=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖, avec ‖‖⃑𝐴‖‖=(𝐴)+𝐴+(𝐴).

On remplace par les valeurs 𝐴=5, 𝐴=2et 𝐴=8, et on a ‖‖⃑𝐴‖‖=(5)+(2)+(8)‖‖⃑𝐴‖‖=√93.

Par conséquent, coscoscos𝛼=5√93,𝛽=2√93,𝛾=8√93.

Les cosinus directeurs du vecteur ⃑𝐴 sont donc 5√93,2√93,8√93.

Exemple 4: Déterminer les angles directeurs d’un vecteur

Déterminez les angles directeurs du vecteur 212;21√22;212.

Réponse

Étant donné un vecteur ⃑𝐴 de composantes 𝐴, 𝐴 et 𝐴, alors les cosinus directeurs sont coscoscos𝛼=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖,𝛽=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖,𝛾=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖, avec ‖‖⃑𝐴‖‖=(𝐴)+𝐴+(𝐴).

On remplace par les valeurs 𝐴=212, 𝐴=21√22 et 𝐴=212 et on a ‖‖⃑𝐴‖‖=212+21√22+212‖‖⃑𝐴‖‖=√441‖‖⃑𝐴‖‖=21.

Par conséquent, coscoscos𝛼=21,𝛽=21,𝛾=21,√ que l’on peut simplifier coscoscos𝛼=12,𝛽=√22,𝛾=12.

En appliquant la fonction réciproque de la fonction cosinus des deux membres de chacune de ces trois équations, on a 𝛼=60,𝛽=45,𝛾=60.∘∘∘

Les angles directeurs du vecteur 212;21√22;212 sont donc (60;45;60)∘∘∘.

Exemple 5: Déterminer les angles directeurs d’un vecteur

Déterminez, au dixième de degré près, les angles directeurs du vecteur ⃑𝐹 représenté sur la figure suivante.

Réponse

On commence par écrire le vecteur ⃑𝐹 en fonction de ses trois composantes, et l’on considérera que 1 unité équivaut à 1 cm.

Sur l’axe des 𝑥, on se déplace 8 cm, donc la composante du vecteur sur l’axe des 𝑥 est égale à 8. Sur l’axe des 𝑦, on se déplace 19 cm, donc la composante du vecteur sur l’axe des 𝑦 est égale à 19. Sur l’axe des 𝑧, on se déplace 9 cm, donc la composante du vecteur sur l’axe des 𝑧 est égale à 9 : ⃑𝐹=(8,19,9).

La norme du vecteur est ‖‖⃑𝐹‖‖=(𝐹)+𝐹+(𝐹), où 𝐹, 𝐹 et 𝐹 sont les composantes sur les axes des 𝑥, 𝑦 et 𝑧 respectivement du vecteur ⃑𝐹 : ‖‖⃑𝐹‖‖=(8)+(19)+(9)‖‖⃑𝐹‖‖=√506.

Soit un vecteur ⃑𝐹 avec des composantes 𝐹, 𝐹 et 𝐹 et d’angles directeurs 𝜃, 𝜃 et 𝜃, alors 𝜃=𝐹‖‖⃑𝐹‖‖𝜃=𝐹‖‖⃑𝐹‖‖𝜃=𝐹‖‖⃑𝐹‖‖.coscoscos

Donc, 𝜃=8√506𝜃=69,2,𝜃=19√506𝜃=32,4,𝜃=9√506𝜃=66,4.∘∘∘coscoscos

Par conséquent, les angles directeurs du vecteur ⃑𝐹 sont 𝜃=69,2∘, 𝜃=32,4∘ et 𝜃=66,4∘.

Nous terminerons cette fiche explicative en récapitulant les points clés à retenir.

Points clés

  • Les angles directeurs 𝛼, 𝛽 et 𝛾 sont les angles entre un vecteur et les axes des 𝑥, 𝑦 et 𝑧 respectivement.
  • Les cosinus directeurs sont les cosinus des trois angles directeurs 𝛼, 𝛽 et 𝛾, tels que coscoscos𝛼=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖,𝛽=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖,𝛾=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖.
  • Cela signifie que 𝛼, 𝛽 et 𝛾 sont les suivants : 𝛼=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖,𝛽=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖,𝛾=𝐴‖‖⃑𝐴‖‖.coscoscos
  • Les trois cosinus directeurs sont liés par la formule suivante : coscoscos𝛼+𝛽+𝛾=1.

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