Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer les angles directeurs et les cosinus directeurs pour un vecteur donné dans l’espace. Nous allons commencer par nous placer dans un repère en trois dimensions. Nous savons que dans l’espace, on a les axes des 𝑥, des𝑦 et des 𝑧. Ces axes sont tous perpendiculaires les uns aux autres.
Supposons que nous ayons le vecteur 𝐯 dessiné ici et de composantes 𝐯 𝑥, 𝐯 𝑦 et 𝐯 𝑧. Il est important de rappeler que les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤 ont respectivement pour direction les axes 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Le premier des angles directeurs est l’angle 𝛼. Il s’agit de l’angle entre le vecteur unitaire 𝐢 et 𝐯. Le deuxième est l’angle 𝛽, qui est l’angle entre le vecteur unitaire 𝐣 et le vecteur 𝐯. Enfin, on a l’angle 𝛾, qui est l’angle entre le vecteur unitaire 𝐤 et le vecteur 𝐯. On a donc trois angles directeurs 𝛼, 𝛽 et 𝛾.
Maintenant, examinons les cosinus directeurs. Nous savons que, dans triangle rectangle, le cosinus d’un angle est égal à la longueur du côté adjacent sur la longueur de l’hypoténuse. Les cosinus directeurs sont simplement les cosinus de nos trois angles, c’est à dire cos 𝛼, cos 𝛽 et cos 𝛾. Le cosinus de 𝛼 est égal à la composante 𝑥 du vecteur, c’est à dire 𝐯 𝑥, divisé par norme du vecteur 𝐯. De même manière, cos 𝛽 est égal à 𝐯 𝑦 divisé par norme de 𝐯. Et enfin, cos 𝛾 est égal à 𝐯 𝑧 divisé par norme de 𝐯. cos 𝛼, cos 𝛽 et cos 𝛾 sont appelés les cosinus directeurs.
Si on prend arccos des deux côtés de ces trois équations, on obtient des expressions pour les angles 𝛼, 𝛽 et 𝛾. 𝛼 est égal à arccos de 𝐯 𝑥 sur norme de 𝐯. De même, 𝛽 est égal à arccos de 𝐯 𝑦 divisé par norme de 𝐯. L’angle 𝛾 est égal à arccos de 𝐯 𝑧 sur la norme de 𝐯. On rappelle que si le vecteur 𝐯 a pour composantes 𝐯 𝑥, 𝐯 𝑦 et 𝐯 𝑧, alors la norme du vecteur 𝐯 est égale à la racine carrée de 𝐯 𝑥 carré plus 𝐯 𝑦 carré plus 𝐯 𝑧 carré. Rappelons que la norme d’un vecteur est en quelque sorte sa longueur. Dans notre première question, nous allons devoir déterminer un vecteur connaissant ses angles directeurs.
Déterminez le vecteur 𝐀 dont la norme est 41 et les angles directeurs 135, 120 et 60 degrés.
Nous savons que la norme d’un vecteur est sa longueur et que les angles directeurs 𝛼, 𝛽 et 𝛾 sont les angles entre les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤 et le vecteur 𝐯. Nous savons également que les cosinus directeurs sont cos 𝛼 qui est égal à 𝐯 𝑥 sur norme de 𝐯, cos 𝛽 qui est égal à 𝐯 𝑦 sur norme de 𝐯, et cos 𝛾 qui est égal à 𝐯 𝑧 sur norme de 𝐯, avec 𝐯 𝑥, 𝐯 𝑦 et 𝐯 𝑧 du vecteur 𝐯. Lorsqu’on substitue les valeurs de 𝛼 et de la norme, on obtient cosinus de 135 degrés est égal à 𝐀 𝑥 sur 41. Nous pouvons ensuite multiplier les deux côtés de cette équation par 41. Ce qui donne 𝐀 𝑥 égale moins 41 racine de deux sur deux. C’est la composante 𝑥 de notre vecteur 𝐀.
De même, en s’intéressant à l’angle 𝛽, on obtient que le cosinus de 120 degrés est égal à 𝐀 𝑦 sur 41. Encore une fois, on multiplie les deux côtés de l’équation par 41 et on obtient 𝐀 𝑦 égale moins 41 sur deux. Enfin, on a cosinus de 60 degrés, c'est-à-dire l’angle 𝛾, est égal à 𝐀 𝑧 divisé par 41. 𝐀 𝑧 est donc égal à 41 multiplié par le cos de 60 degrés, soit, 41 sur deux. Cela signifie que le vecteur 𝐀 a pour composantes moins 41 racine de deux sur deux, moins 41 sur deux et 41 sur deux. Voici le vecteur dont la norme est 41 et les angles directeurs 135, 120 et 60 degrés.
Avant de passer au prochain exemple, nous allons nous intéresser à une formule qui relie les cosinus directeurs. cos carré 𝛼 plus cos carré 𝛽 plus cos carré 𝛾 est égal à un. Examinons pourquoi cela est vrai en utilisant notre connaissance des cosinus directeurs. Nous savons que les cosinus de 𝛼, 𝛽 et 𝛾 sont définis comme ceci. Si on met les deux côtés de cette équation au carré, on voit que cos carré 𝛼 est égal à 𝐯 𝑥 carré divisé par norme de 𝐯 au carré. Si on fait de même avec les deux autres équations, on obtient cos carré 𝛽 gale 𝐯 𝑦 carré sur norme de 𝐯 au carré et cos carré 𝛾 est égal à 𝐯 𝑧 carré sur norme de 𝐯 au carré.
Nous pouvons maintenant additionner les trois membres de droite et cela est égal à cos carré 𝛼 plus cos carré 𝛽 plus cos carré 𝛾. Étant donné que les trois fractions ont même dénominateur, cela est égal à 𝐯 𝑥 carré plus 𝐯 𝑦 carré plus 𝐯 𝑧 carré, le tout divisé par la norme de 𝐯 au carré. Or nous savons que la norme de 𝐯 est égale à la racine carrée de 𝐯 𝑥 carré plus 𝐯 𝑦 carré plus 𝐯 𝑧 carré.
Si on met les deux côtés de cette équation au carré, on obtient que la norme de 𝐯 au carré est égal à 𝐯 𝑥 carré plus 𝐯 𝑦 carré plus 𝐯 𝑧 carré. Lorsqu’on substitue cela dans notre expression, on obtient norme de 𝐯 au carré sur norme de 𝐯 au carré. Nous savons que lorsqu’on divise un nombre par lui-même la résultat est un. Cela prouve que cos carré 𝛼 plus cos carré 𝛽 plus cos carré 𝛾 est égal à un. Nous allons maintenant utiliser cette équation pour résoudre un problème.
Supposez que 31 degrés, 65 degrés et 𝜃 sont les angles directeurs d’un vecteur. Lequel des angles suivants représente 𝜃 arrondi au centième? Est-ce (A) 72,88 degrés, (B) 84,00 degrés, (C) 85,03 degrés ou (D) 264,00 degrés ?
Nous rappelons que si les trois angles directeurs d’un vecteur sont 𝛼, 𝛽 et 𝛾, alors cos carré 𝛼 plus cos carré 𝛽 plus cos carré 𝛾 égale un. Dans cette question, nous allons substituer 31 degrés à 𝛼, 65 à 𝛽 et 𝜃 à 𝛾. Ce qui nous donne l’équation suivante. Nous rappelons que le cos carré de 31 degrés est égal à cos de 31 degrés le tout au carré. C’est ainsi que l’on saisit cela sur une calculatrice scientifique. cos carré de 31 degrés plus cos carré de 65 degrés est égal à 0,91334 et ainsi de suite. Nous pouvons donc soustraire cela des deux côtés de notre équation, ce qui nous donne cos carré 𝜃 égale 0,08665.
On prend ensuite la racine carrée des deux côtés de cette équation. On obtient donc cos 𝜃 égale 0,29437. Enfin, en appliquant arccos des deux côtés, on trouve 𝜃 égale 72,8797. Nous voulons la réponse au centième près. Cela signifie que le neuf des millièmes est le nombre décisif. En arrondissant on obtient 72,88 degrés. Par conséquent, la bonne réponse est la (A). Les trois angles directeurs du vecteur sont 61, 65 et 72,88 degrés.
Dans la prochaine question, on doit déterminer les cosinus directeurs d’un vecteur.
Déterminez les cosinus directeurs du vecteur 𝐀 dont les composantes sont cinq, deux et huit.
Nous rappelons que si le vecteur 𝐯 a pour composantes 𝐯 𝑥, 𝐯 𝑦 et 𝐯 𝑧 et pour angles directeurs 𝛼, 𝛽 et 𝛾, alors les cosinus directeurs cos 𝛼, cos 𝛽 et cos d 𝛾 sont respectivement 𝐯 𝑥 sur norme de 𝐯, 𝐯 𝑦 sur norme de 𝐯, et 𝐯 𝑧 sur norme de 𝐯, avec la norme du vecteur 𝐯 qui est égale à racine carrée de 𝐯 𝑥 carré plus 𝐯 𝑦 carré plus 𝐯 𝑧 carré.
Dans cette question, on nous dit que les composantes de 𝐀 sont cinq, deux et huit. La norme de 𝐀 est donc égale à la racine carrée de cinq au carré plus deux au carré plus huit au carré. Cinq au carré est égal à 25, deux au carré est égal à quatre et huit au carré est égal à 64. La somme de ces valeurs nous donne 93. Par conséquent, la norme du vecteur 𝐀 est la racine carrée de 93. Cela signifie que cos 𝛼 égale cinq sur racine carrée de 93, cos 𝛽 égale deux sur racine carrée de 93 et, enfin, cos 𝛾 est égal à huit sur racine carrée de 93. Les cosinus directeurs du vecteur 𝐀 sont cinq sur racine carrée de 93, deux sur racine carrée de 93 et huit sur racine carrée de 93.
Dans la dernière question, nous allons calculer les angles directeurs à partir d’un problème géométrique.
Déterminez la mesure des angles directeurs du vecteur 𝐅 représenté ici, au dixième près.
Nous allons commencer par déterminer les trois composantes du vecteur 𝐅. Dans la direction 𝑥, on parcourt huit centimètres. Par conséquent, la composante 𝑥 du vecteur est huit. Dans la direction 𝑦, on parcourt 19 centimètres. Par conséquent, la composante 𝑦 du vecteur 𝐅 est 19. On parcourt neuf centimètres dans la direction 𝑧. Par conséquent, la composante 𝑧 est neuf. Le vecteur 𝐅 est donc huit, 19, neuf. La norme de 𝐅 est égale à racine carrée de huit au carré plus 19 au carré plus neuf au carré car nous savons que la norme d’un vecteur est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes.
Huit au carré plus 19 au carré plus neuf au carré est égal à 506. Par conséquent, la norme du vecteur 𝐅 est égale à la racine carrée de 506. On nous demande de calculer les angles directeurs. Ceux-ci sont généralement représentés par 𝛼, 𝛽 et 𝛾, où 𝛼 est l’angle entre l’axe des 𝑥 et le vecteur 𝐅, 𝛽 l’angle entre l’axe des 𝑦 et le vecteur 𝐅, et, 𝛾 l’angle entre l’axe des 𝑧 et le vecteur 𝐅.
D’après notre connaissance des cosinus directeurs, nous savons que 𝛼 est égal à arccos de 𝐅 𝑥 sur norme de 𝐅, 𝛽 est égal à arccos de 𝐅 𝑦 sur norme de 𝐅, et 𝛾 est égal à arccos de 𝐅 𝑧 sur norme de 𝐅, avec 𝐅 𝑥, 𝐅 𝑦 et 𝐅 𝑧 les trois composantes du vecteur 𝐅. Nous faisons un peu de place pour calculer ces valeurs.
L’angle 𝛼 est égal à arccos de huit sur racine carrée de 506. Cela est égal à 69,1671. Au dixième près, 𝛼 est égal à 69,2 degrés. 𝛽 est égal à arccos de 19 sur racine carrée de 506. Cela est égal à 32,3652. Au dixième cela fait 32,4 degrés. L’angle 𝛾 est égal à arccos de neuf sur racine carrée de 506. Ce qui est égal à 66,4156. Au dixième près, l’angle 𝛾 est égal à 66,4 degrés. On peut également écrire les angles 𝛼, 𝛽 et 𝛾 comme 𝜃 𝑥, 𝜃 𝑦 et 𝜃 𝑧. Dans cette question, ces valeurs sont respectivement 69,2, 32,4 et 66,4 degrés.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Les angles directeurs d’un vecteur - souvent notés 𝛼, 𝛽 et 𝛾 - sont les angles entre le vecteur et, respectivement, les axes des 𝑥, des 𝑦 et des 𝑧. Les cosinus directeurs d’un vecteur sont définis ainsi : cos 𝛼 est égal à 𝐯 𝑥 divisé par norme de 𝐯, cos 𝛽 est égal à 𝐯 𝑦 sur norme de 𝐯, et cos 𝛾 est égal à 𝐯 𝑧 sur norme de 𝐯, avec 𝐯 𝑥, 𝐯 𝑦 et 𝐯 𝑧 les composantes du vecteur dans les directions 𝑥, 𝑦 et 𝑧.
La norme d’un vecteur est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. Nous avons également prouvé dans cette vidéo que la somme des carrés des cosinus directeurs est égale à un. cos carré 𝛼 plus cos carré 𝛽 plus cos carré 𝛾 est égal à un. On peut utiliser ces équations pour calculer les angles directeurs, les cosinus directeurs et d’autres inconnues.
