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Si le segment 𝐴𝐵 est le diamètre d’un cercle de centre 𝑀, où 𝐴 est le point trois, deux et 𝐵 est le point un, deux, alors laquelle des équations paramétriques suivantes est celle de la droite qui passe par le point 𝑀 et le point quatre, un ? Est-ce l’option (A), 𝑥 est égal à deux moins 𝑘 et 𝑦 est égal à deux plus deux 𝑘 ? Est-ce l’option (B), 𝑥 est égale à deux plus deux 𝑘 et 𝑦 est égale à deux moins 𝑘 ? Est-ce l’option (C), 𝑥 est égale à deux moins deux 𝑘 et 𝑦 est égale à deux moins 𝑘 ? Est-ce l’option (D), 𝑥 est égale à deux plus deux 𝑘 et 𝑦 est égale à deux plus 𝑘 ? Est-ce l’option (E) 𝑥 est égal à deux plus deux 𝑘 et 𝑦 est égal à deux ?
Dans cette question, on nous donne des informations sur une droite. Nous savons notamment qu’elle passe par le centre d’un cercle 𝑀 et par le point quatre, un. Nous devons utiliser ces informations pour déterminer laquelle des cinq options donne la bonne équation paramétrique de cette droite. Pour ce faire, commençons par rappeler ce que nous entendons par l’équation paramétrique d’une droite. Ce sont deux équations de la forme 𝑥 est égal à 𝑥 indice zéro plus 𝑎 fois 𝑘 et 𝑦 est égal à 𝑦 indice zéro plus 𝑏 fois 𝑘. Nous appelons 𝑘 le paramètre de ces équations. Il peut prendre n’importe quelle valeur. En particulier, si nous substituons 𝑘 est égal à zéro dans ces équations, nous voyons que 𝑥 est égal à 𝑥 indice zéro et 𝑦 est égal à 𝑦 indice zéro. Cela signifie que le point de coordonnées 𝑥 indice zéro et 𝑦 indice zéro doit se trouver sur la droite. En fait, nous pouvons choisir n’importe quel point de la droite.
De même, nous pouvons rappeler que notre droite doit être parallèle au vecteur 𝐚, 𝐛 et il convient de rappeler que nous pouvons choisir n’importe quel vecteur non nul parallèle à la droite. Nous pouvons choisir n’importe laquelle de ces valeurs pour 𝐚 et 𝐛. Cela signifie qu’il existe de nombreuses façons différentes de créer une équation paramétrique pour une droite donnée, puisque nous pouvons choisir n’importe quel point de la droite pour 𝑥 indice zéro, 𝑦 indice zéro et tout vecteur non nul parallèle à la droite pour le vecteur 𝐚, 𝐛.
Commençons donc par examiner les cinq options qui nous sont données. Nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant sur le point 𝑥 indice zéro, 𝑦 indice zéro dans ces cinq options. Dans les cinq options données, la constante de l’équation 𝑥 est deux et la constante de l’équation 𝑦 est également deux. Cela signifie que ces cinq options ont choisi le point deux, deux, comme point qui est sur la droite. 𝑥 indice zéro est deux et 𝑦 indice zéro est aussi deux. Ainsi, lorsque nous générerons notre équation paramétrique, nous ne devons pas nous inquiéter du point que nous allons choisir. Nous allons choisir le point deux, deux puisque les cinq options choisissent ce point.
La différence dans ces options vient du choix du vecteur parallèle à la droite. Déterminons donc comment nous pouvons trouver le vecteur parallèle à cette droite. Nous pouvons commencer par noter qu’on nous donne deux points sur la droite : 𝑀 et quatre, un. Ainsi, la droite doit être parallèle au vecteur entre les points 𝑀 et quatre, un. Cependant, nous ne pouvons pas utiliser directement cela pour trouver ce vecteur car nous n’avons pas les coordonnées du point 𝑀. Au lieu de cela, nous devons noter que 𝑀 est le centre d’un cercle où le segment 𝐴𝐵 est un diamètre de ce dernier. On nous donne aussi les coordonnées des points 𝐴 et 𝐵. 𝐴 est de coordonnées trois, deux et 𝐵 est de coordonnées un, deux.
Nous pouvons utiliser cette information pour déterminer les coordonnées du centre du cercle 𝑀. Commençons par tracer notre cercle et les points 𝐴 et 𝐵 avec notre diamètre, le segment 𝐴𝐵. Puisque le segment 𝐴𝐵 est un diamètre, nous pouvons noter que le segment 𝑀𝐵 et le segment 𝑀𝐴 doivent être des rayons du cercle, ce qui signifie qu’ils ont la même longueur. En particulier, cela signifie que 𝑀 est le milieu des points 𝐴 et 𝐵.
Nous pouvons nous rappeler que nous pouvons déterminer les coordonnées d’un point médian de deux points en faisant la moyenne de leurs coordonnées. En particulier, nous pouvons noter que la moyenne des coordonnées 𝑥 des points 𝐴 et 𝐵 est deux et que la moyenne des coordonnées 𝑦 est deux. 𝑀 est le point deux, deux, et il s’agit aussi du point qui se trouve sur la droite que nous allons utiliser pour nos équations paramétriques. Nous pouvons également ajouter sur notre figure le point avec les coordonnées quatre, un. Rappelez-vous, notre droite passe par 𝑀 et ce point. En particulier, cela signifie que la droite doit être parallèle au vecteur entre ces deux points. Nous appellerons ce vecteur 𝐝. Puisque nous avons les coordonnées du point initial et du point terminal du vecteur 𝐝, nous pouvons les utiliser pour le trouver. Nous soustrayons le vecteur position du point initial du vecteur 𝐝 du vecteur position de son point terminal. 𝐝 est le vecteur quatre, un moins le vecteur deux, deux.
Maintenant, nous soustrayons simplement ces deux vecteurs en soustrayant les composantes correspondantes. Nous obtenons que 𝐝 est le vecteur quatre moins deux, un moins deux. Nous pouvons évaluer cela. 𝐝 est donc le vecteur deux, moins un. Maintenant, nous pouvons remplacer 𝑎 est égal à deux, 𝑏 est égal à moins un avec 𝑥 indice zéro est égal à deux et 𝑦 indice zéro est égal à deux dans notre équation paramétrique pour trouver un ensemble d’équations pour cette droite. Ce faisant, nous obtenons que 𝑥 est égal à deux plus deux 𝑘 et 𝑦 est égal à deux moins 𝑘, soit l’option (B).
Par conséquent, nous avons pu montrer que 𝑥 est égal à deux plus deux 𝑘 et 𝑦 est égal à deux moins 𝑘 est une équation paramétrique de la droite passant par le point 𝑀 et quatre, un, où 𝑀 est le centre du cercle ayant pour diamètre le segment 𝐴𝐵, où 𝐴 est le point trois, deux et 𝐵 est le point un, deux.
