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Calculez la masse d’une planète, sachant que l’accélération gravitationnelle à sa surface est de 6,003 mètres par seconde carrée, que son rayon est de 2400 kilomètres et que la constante gravitationnelle universelle est de 6,67 fois 10 puissance moins 11 newton mètres carrés par kilogramme carré.
Lorsque nous pensons à l’accélération gravitationnelle à la surface d’un objet, nous pouvons considérer cela comme l’intensité du champ gravitationnel. Il s’agit de la force gravitationnelle par unité de masse exercée par une masse sur un corps. Et il y a une formule qui relie le champ gravitationnel 𝑔 à la masse du corps et à la constante gravitationnelle universelle 𝐺 majuscule.
Pour un objet tel qu’une planète avec une masse 𝑚 et un rayon 𝑟, où la constante de gravitation universelle est 𝐺 majuscule, la gravité à sa surface, l’intensité du champ gravitationnel notée 𝑔 minuscule, est donnée par 𝐺 fois 𝑚 sur 𝑟 au carré. Donc, avec cela en tête, définissons chacune de ces variables. On nous dit que l’accélération gravitationnelle à la surface de la planète est de 6,003 mètres par seconde carrée. On nous dit aussi que son rayon est de 2 400 kilomètres. Puisque, cependant, nous travaillons en mètres avec nos autres variables, nous allons multiplier cette valeur par 1000 pour trouver que le rayon de la planète est de 2 400 000 mètres.
Enfin, on nous donne la constante gravitationnelle universelle. C’est 6,67 fois 10 puissance moins 11 newton mètres carrés par kilogramme carré. Si nous définissons la masse de la planète que nous essayons de trouver égale à 𝑚, nous pouvons tout substituer dans notre formule. Nous obtenons 6,003 est égal à 6,67 fois 10 puissance moins 11 fois la masse 𝑚 divisé par 2 400 000 au carré.
Pour trouver la masse 𝑚, que nous notons maintenant en kilogrammes, nous allons multiplier par 2 400 000 au carré et diviser par 6,67 fois 10 puissance moins 11. Ainsi, la masse est de 6,003 fois 2 400 000 au carré sur 6,67 fois 10 puissance moins 11. Et bien que cela ne soit pas entièrement nécessaire, nous pourrions choisir de réécrire 2 400 000 au carré en utilisant la notation scientifique. 2 400 000 est équivalent à 2,4 fois 10 à la puissance six. Ensuite, nous mettons le nombre sous forme standard en mettant 2,4 au carré pour obtenir 5,76, puis en multipliant l’exposant de la puissance 10 par deux. Ainsi, nous obtenons 6,003 fois 5,76 fois 10 puissance 12 sur 6,67 fois 10 puissance moins 11. En multipliant 6,003 par 5,76 puis en divisant par 6,67, on obtient 5,184.
Passons maintenant aux puissances de 10. Nous avons fois 10 à la puissance 12 divisée par 10 à la puissance moins 11. Et bien sûr, lorsque nous divisons deux nombres dont la base est la même, nous soustrayons les exposants. Donc, nous avons 12 moins moins 11, soit 12 plus 11, ce qui nous donne 10 à la puissance 23.
Nous avons donc calculé la masse de la planète en kilogrammes. C’est 5,184 fois 10 puissance 23 kilogrammes.
