Vidéo de la leçon: Loi de la gravitation universelle Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment appliquer la loi de la gravitation universelle de Newton pour déterminer la force d’attraction gravitationnelle entre deux masses.

Deux masses, 𝑚 un et 𝑚 deux, par exemple, la Terre et la Lune, séparées par une distance 𝑟, exerceront une force d’attraction l’une sur l’autre appelée force d’attraction gravitationnelle. Cette force suit une loi carrée inverse, ce qui signifie qu’elle diminue en intensité avec le carré de la distance 𝑟. Cette force est un exemple clair de la troisième loi de mouvement de Newton, qui stipule que lorsqu’un corps exerce une force sur un deuxième corps, le deuxième corps exerce simultanément une force de même intensité et de sens opposé sur le premier corps.

La loi de la gravitation universelle de Newton stipule spécifiquement que deux corps exercent des forces gravitationnelles l’un sur l’autre, où le sens de la force sur l’un ou l’autre corps est vers le centre de masse de l’autre corps . Cette force 𝐅, d’intensité égale sur les deux corps, est égale à 𝐺 fois 𝑚 un fois 𝑚 deux sur 𝑟 au carré, où 𝑚 un est la masse d’un corps, 𝑚 deux est la masse de l’autre corps, 𝑟 est la distance entre les centres de masse des corps, et 𝐺 est la constante gravitationnelle universelle. La constante gravitationnelle universelle, parfois appelée «grand 𝐺», est une constante fondamentale de l’univers, approximativement égale à 6,67 fois 10 à la puissance moins 11 newton-mètres carrés par kilogramme carré.

Voyons un exemple de la façon dont la force d’attraction gravitationnelle entre deux corps est déterminée.

Déterminez la force d’attraction gravitationnelle entre deux boules identiques, chacune de masse 3,01 kilogrammes, étant donné que la distance entre leurs centres est de 15,05 centimètres et la constante gravitationnelle universelle est de 6,67 fois 10 à la puissance moins 11 newton mètres carrés par kilogramme carré.

Rappelons que la loi de la gravitation universelle de Newton stipule que deux corps de masses 𝑚 un et 𝑚 deux vont s’attirer l’un a l’autre avec une force d’intensité 𝐺 fois 𝑚 un fois 𝑚 deux sur 𝑟 au carré, où 𝑟 est la distance entre leurs centres de masse et 𝐺 est la constante gravitationnelle universelle.

Dans ce cas, nous avons donc grand 𝐺, 6,67 fois 10 à la puissance moins 11, multiplié par la masse de la première boule, 3,01, multiplié par la masse de la deuxième boule, également 3,01. Et puisque grand 𝐺 et les masses sont en unités de base SI de newtons, de mètres et de kilogrammes, nous divisons par la distance 𝑟 au carré mesurée en mètres, qui est 15,05 fois 10 à la puissance moins deux le tout au carré. En effectuant ce calcul, nous obtenons la force d’attraction gravitationnelle entre les boules : 2,668 fois 10 à la puissance moins huit, et l’unité est le newton.

Voyons maintenant un exemple dans lequel la force d’attraction gravitationnelle entre deux corps est utilisée pour déterminer la distance entre leurs centres de masse.

Étant donné que la force d’attraction gravitationnelle entre deux corps de masse de 4,6 kilogrammes et 2,9 kilogrammes était de 3,2 fois 10 à la puissance moins 10 newtons, trouvez la distance entre leurs centres. Prenez la constante gravitationnelle universelle 𝐺 est égale à 6,67 fois 10 puissance moins 11 newton-mètres carrés par kilogramme carré.

Rappelons que la loi de la gravitation universelle de Newton stipule que deux corps de masses 𝑚 un et 𝑚 deux vont s’attirer l’un à l’autre avec une force d’intensité 𝐺 fois 𝑚 un fois 𝑚 deux sur 𝑟 au carré, où 𝑟 est la distance entre leurs centres de masse et 𝐺 est la constante gravitationnelle universelle. La question nous demande de trouver la distance entre les centres des corps. Donc, nous devons réorganiser cette équation pour cette distance 𝑟. Nous pouvons le faire en multipliant par 𝑟 au carré, en divisant par 𝐅, et en prenant la racine carrée.

Maintenant, en insérant les valeurs de toutes les variables et constantes, pour grand 𝐺, nous avons 6,67 fois 10 à la puissance moins 11. Les masses 𝑚 un et 𝑚 deux sont données dans la question par 4,6 et 2,9 en unités SI de kilogrammes. Et la force 𝐅 est également donnée dans la question comme 3,2 fois 10 à la puissance moins 10, également en unités SI de newtons. Effectuer ce calcul nous donne la distance entre les centres des deux corps, 1,6675 exactement, et l’unité est l’unité SI mètres. En centimètres, cela correspond à 166,75 centimètres.

Voyons maintenant un exemple pour déterminer la force d’attraction gravitationnelle entre deux corps lorsque l’un des corps est la Terre.

Un satellite de 2415 kilogrammes en orbite autour de la Terre à 540 kilomètres au-dessus de sa surface. Étant donné que la constante gravitationnelle universelle est de 6,67 fois 10 à la puissance moins 11 newton-mètres carrés par kilogramme carré et que la masse et le rayon de la Terre sont six fois 10 à la puissance de 24 kilogrammes et 6360 kilomètres respectivement, déterminez la force d’attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite.

Rappelons que la loi de la gravitation universelle de Newton stipule que deux corps de masses 𝑚 un et 𝑚 deux vont s’attirer l’un à l’autre avec une force d’intensité 𝐺 fois 𝑚 un fois 𝑚 deux sur 𝑟 au carré, où 𝑟 est la distance entre leurs centres de masse et 𝐺 est la constante gravitationnelle universelle. Selon la troisième loi de mouvement de Newton, la force exercée sur le satellite par la Terre est égale et opposée à la force exercée sur la Terre par le satellite. Et les deux sont données par cette équation.

Le grand 𝐺 est la constante gravitationnelle universelle, 6,67 fois 10 à la puissance moins 11. Nous pouvons considérer 𝑚 un la masse de la Terre, six fois 10 à la puissance 24, et 𝑚 deux la masse du satellite, 2415. 𝑟 au carré demandera un peu plus de réflexion. On nous donne la distance du satellite à la surface de la Terre et le rayon de la Terre. On ne nous donne pas 𝑟, la distance entre les centres de masse des deux corps. La distance entre le centre de masse de la Terre et le satellite est égale au rayon de la Terre, 𝑟 T, et à la distance entre le satellite et la surface de la Terre, 𝑑.

Il convient de noter que nous modélisons le satellite comme une masse ponctuelle. Nous ignorons la taille du satellite et supposons que la distance entre son centre de masse et la surface de la Terre est de 540 kilomètres.

Donc, nous avons grand 𝐺 fois 𝑚 un fois 𝑚 deux sur 𝑟 T plus 𝑑 le tout au carré. Donc, nous avons grand 𝐺, qui est donné comme 6,67 fois 10 à la puissance de moins 11, multiplié par la masse de la Terre, étant donné comme six fois 10 à la puissance de 24, multiplié par la masse du satellite, étant donné comme 2415, tous divisés par le rayon de la Terre 𝑟 T, étant donné comme 6360 kilomètres, donc en unité SI de mètres c’est 6360 fois 10 à la puissance trois, plus la distance 𝑑 entre la surface de la Terre et le satellite, étant donnée comme 540 kilomètres, ce qui en mètres est 540 fois 10 à la puissance trois le tout au carré. En effectuant ce calcul, nous obtenons 20300, et l’unité est en newtons.

La force sur un corps induit une accélération via la deuxième loi de Newton, qui stipule que l’accélération d’un objet est directement proportionnelle à la force qui lui est appliquée, où la masse de l’objet est la constante de proportionnalité. Cela peut être exprimé avec l’équation force égale masse fois accélération : 𝐅 est égal à 𝑚 un fois 𝑎, où 𝑚 un est la masse du corps. L’accélération induite par la force d’attraction gravitationnelle est appelée l’accélération due à la gravité. La force dans ce cas est donnée par la loi de la gravitation universelle de Newton : 𝐅 est égal à 𝐺 fois 𝑚 un fois 𝑚 deux sur 𝑟 au carré.

Pour trouver l’accélération du premier corps due à la gravité, nous égalisons ces deux expressions de force sur le corps. Nous avons donc 𝑚 un fois 𝑎 égale 𝐺 fois 𝑚 un fois 𝑚 deux sur 𝑟 au carré. Puisqu’une masse sera toujours non nulle, nous pouvons diviser par le terme commun de 𝑚 un des deux membres. Cela nous donne l’accélération due à la gravité du corps : 𝑎 est égal à 𝐺 fois 𝑚 deux sur 𝑟 au carré.

Notez que cette accélération est indépendante de la masse du corps et ne dépend que de la masse du deuxième corps. C’est pourquoi deux objets, en l’absence de traînée, tomberont exactement à la même vitesse. Cela conduit à un dernier concept, l’intensité du champ gravitationnel d’une masse ponctuelle. Il s’agit de la force d’attraction gravitationnelle par unité de masse exercée par une masse 𝑚 sur un corps dont le centre de masse est à une distance 𝑟 de celui-ci. Et cela est donné par petit 𝑔 est égal à grand 𝐺 fois 𝑚 sur 𝑟 au carré.

Notez que c’est en fait la même expression pour l’accélération due à la gravité mentionnée précédemment. C’est parce qu’elles sont en fait la même quantité. C’est juste l’autre membre de l’équation de la deuxième loi de Newton après un petit réarrangement.

Sur le membre de gauche, nous avons la force divisée par la masse, en d’autres termes, la force par unité de masse. Et sur le membre de droite, nous avons l’accélération. Ainsi, l’intensité du champ gravitationnel et l’accélération due à la gravité sont en fait la même quantité, simplement exprimée différemment. Et en effet, nous utilisons souvent petit 𝑔 pour désigner l’accélération due à la gravité ainsi que l’intensité du champ gravitationnel. Pour la Terre, la masse est 5,97 fois 10 à la puissance 24.

Pourvu que le corps se trouve sur ou au-dessus de la surface de la Terre, nous pouvons traiter la Terre comme une masse ponctuelle. Et la distance de la surface au centre de masse est le rayon de la Terre, 6,37 fois 10 à la puissance six. L’exécution de ce calcul nous donne petit 𝑔 est égal à 9,81 mètres par seconde au carré au centièmes près, l’accélération standard due à la gravité sur la surface de la Terre.

Voyons maintenant un exemple dans lequel le rapport de l’accélération due à la gravité sur Terre par rapport à une autre planète est déterminé.

Étant donné que la masse et le diamètre d’une planète sont respectivement trois et six fois ceux de la Terre, calculez le rapport entre l’accélération due à la gravité sur cette planète et celle sur Terre.

Rappelons que l’accélération due à la gravité à la surface d’une sphère uniforme est donnée par 𝑎 égale 𝐺 fois 𝑚 sur 𝑟 au carré, où 𝑚 est la masse de la sphère, 𝑟 est le rayon de la sphère et 𝐺 est la constante gravitationnelle universelle. Nous pouvons modéliser la Terre et la planète comme des sphères uniformes. Nous pouvons exprimer l’accélération due à la gravité à la surface de la Terre 𝑎 T comme 𝐺 fois la masse de la Terre 𝑚 T divisée par le rayon de la Terre 𝑟 T au carré.

De même, nous pouvons exprimer l’accélération due à la gravité à la surface de la planète 𝑎 P comme 𝐺 fois la masse de la planète 𝑚 P divisée par le rayon de la planète 𝑟 P au carré. La question nous dit que la masse de la planète 𝑚 P est trois fois la masse de la Terre 𝑚 T. Donc, 𝑚 P est égale à trois 𝑚 T. La question nous dit aussi que le diamètre de la planète, et donc aussi le rayon de la planète 𝑟 P, est six fois le rayon de la Terre 𝑟 T. Donc, 𝑟 P est égal à six 𝑟 T.

On peut donc ré-exprimer l’accélération due à la gravité sur la planète 𝑎 P comme 𝐺 fois trois 𝑚 T sur six 𝑟 T le tout au carré. Le développement des parenthèses sur le dénominateur nous donne 𝐺 fois trois 𝑚 T sur 36𝑟 T au carré. Et par simplification en divisant le numérateur et le dénominateur par trois donne 𝐺 fois 𝑚 T sur 12𝑟 T au carré. C’est la même expression que l’expression de l’accélération due à la gravité à la surface de la Terre 𝑎 T, mais avec un facteur supplémentaire d’un douzième. Par conséquent, 𝑎 P est égal à un douzième 𝑎 T. Par conséquent, le rapport entre l’accélération due à la gravité à la surface de la planète et celle sur la Terre, 𝑎 P à 𝑎 T, est de un à 12.

Voyons maintenant un exemple dans lequel le rayon d’une planète est déterminé à partir de l’accélération due à la gravité.

Un astronaute a laissé tomber un objet à une hauteur de 2352 centimètres au-dessus de la surface d’une planète, et celui-ci a atteint la surface après huit secondes. La masse de la planète est de 7,164 fois 10 à la puissance de 24 kilogrammes, tandis que celle de la Terre est de 5,97 fois 10 à la puissance de 24 kilogrammes, et le rayon de la Terre est de 6,34 fois 10 à la puissance six mètres. Étant donné que l’accélération gravitationnelle de la Terre est 𝑔 égale à 9,8 mètres par seconde au carré, trouvez le rayon de l’autre planète.

Rappelons que l’accélération due à la gravité à la surface d’une sphère uniforme est donnée par 𝑎 égale grand 𝐺 fois 𝑚 sur 𝑟 au carré, où grand 𝐺 est la constante gravitationnelle universelle, 𝑚 est la masse de la sphère et 𝑟 est le rayon de la sphère. Une chose importante à noter est que la question ne nous donne pas la valeur de grand 𝐺 à utiliser. Nous pourrions utiliser notre connaissance de la valeur de la constante pour résoudre le problème, mais nous n’en avons pas vraiment besoin. Nous pouvons réorganiser cette équation pour isoler 𝑟, la quantité que nous voulons trouver, en multipliant par 𝑟 au carré, en divisant par 𝑎 et en prenant la racine carrée.

Encore une fois, on ne nous donne pas la valeur de grand 𝐺, mais on nous donne la masse, le rayon et l’accélération due à la gravité de la Terre. C’est un indice que nous pouvons utiliser ces quantités pour trouver le rayon de l’autre planète. Nous pouvons le faire en utilisant un rapport. Si nous prenons cette expression pour le rayon de la planète - appelons cela 𝑟 P - et divisons-la par l’expression pour le rayon de la Terre, que nous appellerons 𝑟 T, nous obtenons 𝑟 P sur 𝑟 T égale la racine carrée de grand 𝐺 fois 𝑚 P sur 𝑎 P tous divisés par la racine carrée de grand 𝐺 fois 𝑚 T sur 𝑎 T.

Nous pouvons utiliser une règle de radical pour simplifier cela. La racine carrée de 𝑥 sur la racine carrée de 𝑦 est égale à la racine carrée de 𝑥 sur 𝑦. On peut donc ré-exprimer le rapport 𝑟 P sur 𝑟 T comme la racine carrée de 𝐺 fois 𝑚 P sur 𝑎 P sur 𝐺 fois 𝑚 T sur 𝑎 T. Nous avons un facteur commun de grand 𝐺 au numérateur et au dénominateur sous la racine carrée, donc ceux-ci seront simplifiés. Et nous avons éliminé grand 𝐺 de l’équation. Nous pouvons également multiplier le numérateur et le dénominateur par 𝑎 P et 𝑎 T. Cela donne 𝑟 P sur 𝑟 T égale la racine carrée de 𝑚 P fois 𝑎 T sur 𝑚 T fois 𝑎 P.

Enfin, nous pouvons multiplier par 𝑟 T. Et nous avons maintenant le rayon de la planète 𝑟 P exprimé entièrement en quantités données dans la question, sauf une. Nous ne connaissons pas encore l’accélération due à la gravité sur l’autre planète, 𝑎 P. Mais nous pouvons trouver une autre expression pour cela à partir d’autres quantités données dans la question en utilisant les équations du mouvement ou équations SUVAT.

Rappelons qu’il s’agit d’un ensemble d’équations qui relient les quantités de déplacement 𝑠, la vitesse initiale 𝑢, la vitesse finale 𝑣, l’accélération constante 𝑎, et le temps 𝑡. Puisque l’objet ne tombe qu’une très courte distance par rapport à la taille de la planète, nous pouvons supposer que l’accélération due à la gravité est constante pendant la durée de sa chute. La question nous donne le déplacement, 2352 centimètres ; la vitesse initiale, zéro, car nous pouvons supposer que l’objet était au repos lorsque l’astronaute l’a laissé tomber ; et le temps mis, huit secondes. Nous n’avons pas la vitesse finale, et nous souhaitons trouver l’accélération.

L’équation du mouvement dont nous avons besoin est donc 𝑠 est égal à 𝑢𝑡 plus un demi 𝑎𝑡 au carré. Puisque l’objet part du repos, 𝑢 est égal à zéro, donc 𝑢𝑡 est également égal à zéro. Nous pouvons alors réorganiser 𝑎 en multipliant par deux et en divisant par 𝑡 au carré, ce qui donne 𝑎 est égal à deux 𝑠 sur 𝑡 au carré. Nous pouvons alors remplacer 𝑎 P dans notre équation pour 𝑟 P par cette expression. Et nous pouvons alors simplifier en multipliant le numérateur et le dénominateur par 𝑡 au carré, donnant 𝑟 P égal à 𝑟 T fois la racine carrée de 𝑚 P fois 𝑎 T fois 𝑡 au carré sur deux fois 𝑠 fois 𝑚 T. Maintenant, 𝑟 P est entièrement exprimé en quantités données par la question, et nous pouvons insérer ces nombres.

En substituant ces valeurs dans l’équation, nous obtenons 6,34 fois 10 à la puissance six fois la racine carrée de 7,164 fois 10 à la puissance 24 fois 9,8 fois huit au carré divisé par deux fois 23,52 fois 5,97 fois 10 à la puissance 24. Le 23,52 vient du fait d’exprimer la distance pour eux, 2354 centimètres, en unités SI de mètres. En calculant la racine carrée, nous arrivons exactement à quatre. Par conséquent, le rayon de la planète est exactement quatre fois celui de la Terre, soit 2,536 fois 10 à la puissance de sept mètres.

Terminons cette vidéo en récapitulant quelques points clés. Deux corps exercent des forces d’attrcation gravitationnelles l’un sur l’autre dans le sens du centre de masse de l’autre corps. Les intensités des forces sont données par 𝐅 égale grand 𝐺 fois 𝑚 un fois 𝑚 deux sur 𝑟 au carré, où 𝐅 est la force mesurée en newtons. 𝑚 un et 𝑚 deux sont les masses des deux corps mesurées en kilogrammes. 𝑟 est la distance entre les centres de masse des deux corps mesurée en mètres. Et grand 𝐺 est la constante gravitationnelle universelle, environ égale à 6,67 fois 10 à la puissance moins 11 newton-mètres carrés par kilogramme carré.

L’accélération due à la gravité d’un corps de masse 𝑚 un sur un autre corps de masse 𝑚 deux est donnée par grand 𝐺 fois 𝑚 deux sur 𝑟 au carré et est indépendante de la masse du premier corps, 𝑚 un. Pour deux corps de masses 𝑚 un et 𝑚 deux et rayons 𝑟 un et 𝑟 deux, le rapport de leurs accélérations dues à la gravité est donné par 𝑎 un sur 𝑎 deux égale 𝑚 un sur 𝑚 deux fois 𝑟 deux au carré sur 𝑟 un au carré.