Fiche explicative de la leçon : Loi de la gravitation universelle Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment appliquer la loi de la gravitation universelle de Newton pour déterminer la force d'attraction gravitationnelle entre deux masses.

On considère deux masses 𝑚 et 𝑚 séparées d'une distance 𝑟. Alors, chacune de ces masses exerce une force d’attraction sur l’autre appelée force d’attraction gravitationnelle. Cette force se produit entre toute paire d’objets de masses non nulles et est inversement proportionnelle au carré de la distance entre les deux masses. Cette force est le résultat direct de la troisième loi de mouvement de Newton.

Définition : Troisième loi de mouvement de Newton

La troisième loi de Newton énonce que lorsqu’un corps exerce une force sur un deuxième corps, le deuxième corps exerce simultanément une force de même intensité et de sens contraire sur le premier corps.

Dans le cas des forces gravitationnelles exercées par une paire de corps, ces conditions sont complétées par quelques conditions supplémentaires, qui constituent ensemble une définition de la loi de la gravitation universelle de Newton.

Définissons maintenant la loi de gravitation universelle de Newton.

Définition : Loi de la gravitation universelle de Newton

Deux corps exercent des forces gravitationnelles l’un sur l’autre, où la direction de la force sur l’un ou l’autre corps est dirigée vers le centre de gravité de l’autre corps.

Les intensités des forces sont données par 𝐹=𝐺𝑚𝑚𝑟;𝐹 est la force exprimée en newtons, 𝑚 et 𝑚 sont les masses des corps exprimées en kilogrammes, 𝑟 est la distance entre les centres de gravité des corps exprimée en mètres et 𝐺 est une constante telle que 𝐺6,67×10/.Nmkg

On appelle 𝐺 la constante universelle de gravitation.

Remarque: Si, pour qu’une certaine force puisse agir, deux objets doivent être en contact, alors il s'agit d'une force de contact. Si ce n’est pas nécessaire, on parle de force à distance. La force d’attraction gravitationnelle est un exemple de force à distance. Parfois, ces forces à distance agissent entre des particules qui sont en contact.

Voyons un exemple où l'on détermine la force d’attraction gravitationnelle générée entre deux corps.

Exemple 1: Calculer la force d’attraction gravitationnelle entre deux corps

Déterminez la force d’attraction gravitationnelle entre deux balles identiques, chacune de masse 3,01 kg, sachant que la distance entre leurs centres est égale à 15,05 cm et la constante universelle de gravitation est 6,67×10/Nmkg.

Réponse

La force peut être déterminée en utilisant la formule 𝐹=𝐺𝑚𝑚𝑟.

La distance 𝑟 entre les centres de gravité des balles doit être exprimée en mètres pour être cohérent avec l’unité de la constante universelle de gravitation, 𝐺. La valeur de 𝑟 est alors 0,1505 m.

En substituant les valeurs données dans l'énoncé, on trouve que 𝐹=6,67×103,010,1505=2,668×10.N

Voyons maintenant un exemple où la force d’attraction gravitationnelle entre deux corps est utilisée pour déterminer la distance entre leurs centres de gravité.

Exemple 2: Calculer la distance entre deux corps étant donné la force d’attraction gravitationnelle exercée entre eux

Sachant que la force d’attraction gravitationnelle entre deux corps de masses 4,6 kg et 2,9 kg vaut 3,2×10N, déterminez la distance entre leurs centres. On prendra pour la constante universelle de gravitation 𝐺=6,67×10/Nmkg.

Réponse

La formule pour déterminer la force d’attraction gravitationnelle entre les corps, 𝐹=𝐺𝑚𝑚𝑟; peut être réarrangée pour trouver 𝑟 comme suit: 𝑟=𝐺𝑚𝑚𝐹𝑟=𝐺𝑚𝑚𝐹.

En substituant les valeurs données dans l'énoncé, on trouve que 𝑟=6,67×104,6(2,9)3,2×10𝑟=6,67×10(4,16875×10)𝑟=2,78055625𝑟=1,6675.m

La distance entre les centres des corps est de 166,75 cm.

Voyons maintenant un exemple dans lequel la force d’attraction gravitationnelle générée entre deux corps est déterminée, et où l’un des corps est la Terre.

Exemple 3: Calculer la force d’attraction gravitationnelle entre la Terre et un satellite

Un satellite de masse 2‎ ‎415 kg est en orbite autour de la Terre 540 km au-dessus de la surface. Sachant que la constante universelle de gravitation est 6,67×10/Nmkg et que la masse et le rayon de la Terre sont 6×10kg et 6‎ ‎360 km, déterminez la force d’attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite.

Réponse

La force peut être déterminée en utilisant la formule 𝐹=𝐺𝑚𝑚𝑟.

La distance entre la Terre et le satellite, 𝑟, doit être exprimée en mètres pour être cohérent avec la valeur de la constante universelle de gravitation, 𝐺.

Puisque 𝑟 dans la formule est la distance entre les centres de gravité, la valeur de 𝑟 est la somme de la distance entre le satellite et la surface de la Terre et du rayon de la Terre: 𝑟=(6360+540)×10=6,9×10.

En substituant les valeurs données dans l'énoncé, on trouve que 𝐹=6,67×1024156×10(6,9×10)𝐹=6,67×101,449×10(6,9×10)𝐹=6,67×103,0434783×10=20300.N

L’accélération d’un corps due à la force de gravitation qu'un autre corps exerce sur lui peut être déterminée en égalisant la force entre les corps avec la force résultante exercée sur le corps dont on cherche l’accélération. On a alors que 𝐹=𝐺𝑚𝑚𝑟; et 𝐹=𝑚𝑎; où le corps dont on cherche à déterminer l’accélération a une masse 𝑚. Il en découle que 𝑚𝑎=𝐺𝑚𝑚𝑟.

Or, puisque 𝑚0, on peut diviser par 𝑚. Par conséquent, 𝑎=𝐺𝑚𝑟.

On peut voir que l’accélération du corps de masse 𝑚 ne dépend pas de la valeur de 𝑚.

Définition : Intensité du champ gravitationnel d’une masse ponctuelle

L’intensité du champ gravitationnel est la force d’attraction gravitationnelle par unité de masse exercée par une masse 𝑚 sur un corps dont le centre de gravité est à une distance 𝑟 de 𝑚. Elle est donnée par 𝑔=𝐺𝑚𝑟.

L’intensité du champ gravitationnel est une propriété de tout point dans un champ, qu’il soit en contact avec la surface d'un corps qui gravite ou non.

Sur Terre, l’accélération gravitationnelle est d’environ 9,8 m/s2. Cette valeur, notée 𝑔, peut être déterminée à partir de la masse 𝑚=5,97×10kg et du rayon 𝑟=6,37×10m de la Terre comme suit: 𝑔=6,67×105,97×10(6,37×10); ce qui vaut 9,8 au dixième près.

Voyons maintenant un exemple où l'on détermine le rapport de l’accélération gravitationnelle de la Terre et d'une autre planète.

Exemple 4: Comparer l’accélération gravitationnelle sur la Terre et sur une autre planète

Sachant que la masse et le diamètre d’une planète sont respectivement 3 et 6 fois ceux de la Terre, calculez le rapport entre l’accélération gravitationnelle sur cette planète et celle sur la Terre.

Réponse

L’accélération gravitationnelle à la surface d’une sphère homogène peut être déterminée à l’aide de la formule 𝑎=𝐺𝑚𝑟;𝑚 est la masse de la sphère et 𝑟 son rayon.

Prenant 𝑚 comme la masse de la Terre et 𝑟 comme le rayon de la Terre, l’accélération gravitationnelle sur une planète de masse 3 fois celle de la Terre et de diamètre 6 fois celui de la Terre est donnée par 𝑎=𝐺3𝑚(6𝑟); puisque multiplier le diamètre d’une sphère par une constante revient à multiplier le rayon de la sphère par cette même constante. L’expression de l’accélération gravitationnelle sur la planète peut être exprimée comme l’accélération gravitationnelle sur la Terre multipliée par une constante, comme suit: 𝑎=𝐺3𝑚36𝑟=𝐺𝑚12𝑟=112𝐺𝑚𝑟.

Puisque l’accélération gravitationnelle sur la planète est 112 de celle sur Terre, le rapport de l’accélération gravitationnelle de la planète à celle de la Terre est 112.

Voyons maintenant un exemple où le rayon d’une planète est déterminé à partir de son accélération gravitationnelle.

Exemple 5: Déterminer le rayon d’une planète à partir d’informations sur un objet en chute libre

Un astronaute lâche un objet d’une hauteur de 2‎ ‎352 cm au-dessus de la surface d’une planète, et l'objet atteint la surface après 8 s. La masse de la planète vaut 7,164×10kg, tandis que celle de la Terre vaut 5,97×10kg, et le rayon de la Terre vaut 6,34×10m. Sachant que l’accélération gravitationnelle de la Terre est 𝑔=9,8/ms, déterminez le rayon de l’autre planète.

Réponse

On peut approximer l'accélération dans une zone proche de la surface de la planète à l’accélération gravitationnelle de la planète à sa surface. Or, l’accélération gravitationnelle à la surface d’une sphère homogène peut être déterminée en utilisant la formule 𝑎=𝐺𝑚𝑟;𝑚 est la masse de la sphère et 𝑟 son rayon.

L’accélération gravitationnelle sur la planète visitée par l’astronaute peut être déterminée à partir du mouvement de l’objet en chute libre grâce à la formule 𝑠=𝑢𝑡+12𝑎𝑡;𝑠 est le déplacement de l’objet tombé, 𝑢 est la vitesse initiale de l’objet, 𝑡 est le temps pendant lequel l’objet se déplace et 𝑎 est l’accélération de l’objet.

L’objet est lâché d’un point 2‎ ‎352 cm au-dessus de la surface de la planète. Pour être cohérent avec la constante universelle de gravitation, ce déplacement est converti en mètres ce qui donne 23,52 m. L’objet est initialement au repos; donc on a 23,52=12𝑎8;𝑎=2(23,52)64=0,735/.ms

On peut isoler 𝑟 dans la formule 𝑎=𝐺𝑚𝑟; ce qui donne 𝑟=𝐺𝑚𝑎;𝑟=𝐺𝑚𝑎.

En substituant l’accélération donnée, la masse connue de la planète, et en prenant 𝐺=6,67×10/;Nmkg on a 𝑟=6,67×107,164×100,735;𝑟2,55×10.m

Il est important de noter que la question ne fournit pas de valeur de 𝐺 à utiliser.

Une méthode pour déterminer le rayon de la planète sans connaître la valeur de 𝐺 consiste à comparer les expressions des accélérations gravitationnelles de la planète et de la Terre.

Sur Terre, on a 𝑎=𝐺𝑚𝑟;TTT𝑎T est l’accélération gravitationnelle sur la Terre, 𝑚T est la masse de la Terre et 𝑟T est le rayon de la Terre.

De la même manière, sur la planète, on a 𝑎=𝐺𝑚𝑟;PPP𝑎P est l’accélération gravitationnelle sur la planète, 𝑚P est la masse de la planète et 𝑟P est le rayon de la planète.

On peut diviser 𝑎T par 𝑎P pour obtenir 𝑎𝑎=𝐺𝐺𝑎𝑎=𝑎𝑎=𝑚𝑚𝑟𝑟.TPTPTPTPPTTTPPTTPP

On peut isoler 𝑟P, ce qui donne: 𝑟=𝑎𝑎𝑚𝑚𝑟𝑟=𝑎𝑎𝑚𝑚𝑟.PTPPTTPTPPTT

En substituant les valeurs de 𝑎T, 𝑚T, 𝑟T, 𝑚P et 𝑎P, on obtient 𝑟=9,80,7357,164×105,97×10(6,34×10)𝑟=9,80,7357,1645,97(6,34×10)𝑟=2,536×10.PPPm

Cette valeur de 𝑟P est légèrement différente de celle obtenue en utilisant la valeur standard de 𝐺, car la valeur calculée en comparant les expressions de l’accélération gravitationnelle de la Terre et de la planète dépend de la précision utilisée pour les valeurs du rayon et de la masse de la Terre à la place de la valeur de la constante universelle de gravitation.

Il est important de noter que l’équation du mouvement utilisée pour déterminer 𝑎P est seulement approximativement correcte, comme l’accélération gravitationnelle en un point 23,52 m au-dessus de la surface de la planète n’est pas égale à l’accélération gravitationnelle à la surface de la planète. Ainsi, la valeur de l’accélération gravitationnelle sur la planète déterminée en lâchant un objet au-dessus de la surface de la planète sous-estime l’accélération et surestime le rayon de la planète.

Résumons maintenant certains des concepts clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Deux corps exercent des forces gravitationnelles l’une sur l’autre, où la direction de la force exercée sur l’un ou l’autre corps est dirigée vers le centre de gravité de l’autre corps. Les intensités des forces sont données par 𝐹=𝐺𝑚𝑚𝑟;𝐹 est la force exprimée en newtons, 𝑚 et 𝑚 sont les masses des corps exprimées en kilogrammes, 𝑟 est la distance entre les centres de gravité des corps exprimée en mètres et 𝐺 est une constante telle que 𝐺6,67×10/.Nmkg La constante 𝐺 est appelée constante universelle de gravitation.
  • L’accélération d’un corps due à la force de gravitation qu'un autre corps exerce sur elle peut être déterminée en égalisant la force entre les corps avec la force résultante sur le corps dont on cherche l'accélération: 𝑚𝑎=𝐺𝑚𝑚𝑟. Par conséquent, 𝑎=𝐺𝑚𝑟;𝑎 est l’accélération gravitationnelle d’un corps de masse 𝑚 et 𝑟 est la distance entre les centres de gravité de 𝑚 et 𝑚.
  • Pour deux corps qui ont des masses 𝑚 et 𝑚 et des rayons 𝑟 et 𝑟, le rapport des accélérations gravitationnelles de ces corps est donné par 𝑎𝑎=𝑚𝑚𝑟𝑟.

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