Transcription de la vidéo
Trouvez toutes les solutions du système d’équations à deux inconnues 𝑦 plus 𝑥 égal sept et 2𝑥 au carré plus 𝑥 plus trois 𝑦 égal 21.
Il y a plusieurs façons de résoudre un système d'équations. On peut les représenter graphiquement et leurs solutions sont les coordonnées de leurs points d’intersection, on peut aussi utiliser la combinaison ou la substitution. Comme l'une de nos équations est linéaire, 𝑦 plus 𝑥 égal sept, c’est facile de déterminer 𝑥 ou 𝑦 en les isolant simplement. On pourrait donc utiliser la substitution parce qu'une fois que nous aurions isolé une de ces variables, on pourrait la substituer à l'autre puis résoudre.
Donc prenons cette équation et soustrayons 𝑥 aux deux membres. On obtient donc 𝑦 égal moins 𝑥 plus sept. On peut prendre cette valeur pour 𝑦 puis la substituer à notre autre équation et c'est pour cela qu'on l'appelle substitution. Comme nous avons effectué cette substitution, cette équation est exprimée en fonction de 𝑥 ; c'est bien, cela signifie que nous pouvons maintenant déterminer 𝑥.
Nous allons maintenant développer le calcul. Trois fois moins 𝑥 vaut moins trois 𝑥 et trois fois sept donne 21. Maintenant on réécrit le reste de l'équation. À présent, combinons les termes semblables. On peut mettre les 𝑥 ensemble, ce qui donne moins deux 𝑥, on peut faire passer 21 du membre droit de l'équation au membre gauche. Ce qui les annule, donc cela nous donne deux 𝑥 au carré moins deux 𝑥 égal zéro.
Pour déterminer 𝑥, on peut factoriser. Commençons par trouver le plus grand facteur commun, un élément que nous pouvons faire apparaitre dans les deux termes, ce serait deux 𝑥. Donc si on fait apparaitre deux 𝑥 dans deux 𝑥 au carré, il nous reste 𝑥. Et si on fait apparaitre deux 𝑥 dans moins deux 𝑥, il nous reste moins un. Pour résoudre à présent, on pose chaque facteur égal à zéro. Donc, deux 𝑥 égal zéro et 𝑥 moins un égal zéro. Il faut donc diviser les deux membres par deux dans notre première équation. On obtient 𝑥 égal zéro. Pour l'autre équation, on doit ajouter un aux deux membres. On obtient donc un. Cela veut dire que 𝑥 peut être égal à zéro mais il peut aussi être égal à un.
Alors, quelles seraient les valeurs de 𝑦 ? On doit donc prendre zéro et un et les substituer dans l'une des équations initiales, peu importe laquelle. On n'a qu'à les substituer dans l'équation linéaire. Ces deux équations donnent exactement la même chose. Notre deuxième équation, dans laquelle nous avons mis 𝑥 à droite, est égale à l'équation initiale.
Donc utilisons cette seconde équation, car nous essayons de déterminer 𝑦. Donc quand on pose 𝑥 égal zéro, on obtient sept pour 𝑦. Donc zéro, sept est l’une des solutions. Et quand on remplace par un, on obtient six. Donc un, six est une autre solution. Par conséquent, les solutions de ces équations sont zéro, sept et un, six.
