Transcription de la vidéo
Calculez la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de deux 𝑥 plus un le tout élevé à la puissance sept moins un le tout divisé par deux 𝑥.
Dans cette question, on nous demande d’évaluer la limite d’une fonction. Et si nous distribuions l’exposant sur les parenthèses de notre numérateur, nous aurions un polynôme divisé par un polynôme. On veut la limite d’une fonction rationnelle. Et nous pouvons toujours essayer d’évaluer la limite d’une fonction rationnelle en utilisant la substitution directe. Cependant, si nous substituons 𝑥 est égal à zéro dans cette fonction, évaluons et simplifions, nous obtenons zéro divisé par zéro, ce qui est une forme indéterminée. Par conséquent, nous ne pouvons pas simplement évaluer cette limite en utilisant uniquement la substitution directe. Nous allons donc devoir manipuler cette limite afin de l’évaluer.
Il y a plusieurs façons de le faire. Une façon de le faire serait d’utiliser la formule de binôme de Newton pour distribuer notre exposant de sept entre parenthèses, puis de simplifier le facteur commun de 𝑥 au numérateur et au dénominateur. Eh bien, il convient de noter que nous savons qu’il y aura un facteur 𝑥 dans notre numérateur en appliquant les propriétés de la division euclidienne des polynômes, puisque lorsque nous substituons 𝑥 est égal à zéro dans notre numérateur, nous obtenons zéro. Et cela fonctionnerait. Cependant, distribuer un exposant de sept sur un binôme est assez difficile. Donc, à la place, nous allons utiliser une méthode différente. Au lieu de cela, voyons si nous pouvons réécrire cette limite en utilisant une substitution. Nous allons poser 𝑎 égal à l’expression linéaire à l’intérieur de nos parenthèses. C’est deux 𝑥 plus un.
On voit alors que, dans notre dénominateur, on a deux 𝑥. Nous pouvons réorganiser l’équation 𝑎 est égal à deux 𝑥 plus un en soustrayant un des deux membres de l’équation. Nous voyons que deux 𝑥 est égal à 𝑎 moins un. Cela nous permet de réécrire notre fonction. Cependant, rappelez-vous, nous prenons la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro. Nous devons donc voir ce qui arrive à nos valeurs de 𝑎 lorsque 𝑥 tend vers zéro. Lorsque 𝑥 tend vers zéro, deux fois 𝑥 tend aussi vers zéro. Par conséquent, notre valeur de 𝑎 se rapproche de un. Cela nous permet de substituer 𝑎 est égal à deux 𝑥 plus un dans notre limite. Nous obtenons la limite lorsque 𝑎 tend vers un de 𝑎 à la puissance sept moins un sur 𝑎 moins un.
Et maintenant, nous pouvons remarquer que cette limite est exactement sous la forme d’une limite de différence de puissances. Et nous rappelons que ce résultat nous indique pour toutes les constantes réelles 𝑘, 𝑛 et 𝑚, où 𝑚 est différente de zéro, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑘 de 𝑥 à la puissance n-ième moins 𝑘 à la puissance 𝑛-ième le tout divisé par 𝑥 à la puissance de 𝑚 moins 𝑘 à la puissance 𝑚 est égale à 𝑛 divisé par 𝑚 multiplié par 𝑘 à la puissance 𝑛 moins 𝑚. Et nous pouvons réécrire notre limite sous cette forme en notant que nous prenons la limite lorsque 𝑎 se rapproche de un. Donc, notre valeur de 𝑘 est un. Et puis un élevé à n’importe quelle puissance est égal à un. Ainsi, un à la puissance sept est égal à un et un à la puissance un est égal à un.
Par conséquent, nous pouvons réécrire notre limite lorsque la limite lorsque 𝑎 tend vers un de 𝑎 à la puissance sept moins un à la puissance sept divisé par 𝑎 à la première puissance moins un à la première puissance. Ceci est exactement sous la forme de notre résultat limite avec 𝑛 égal à sept, 𝑚 égal à un et 𝑎 égal à un. Par conséquent, nous pouvons évaluer cette limite en substituant ces valeurs dans notre résultat de limite. Nous obtenons sept sur un multiplié par un à la puissance sept moins un. Et nous pouvons évaluer cela. Un élevé à la puissance est un. Et sept sur un est égal à sept. Donc, cette expression s’évalue pour nous donner sept, ce qui est notre réponse finale.
Par conséquent, la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de deux 𝑥 plus un le tout élevé à la puissance sept moins un sur deux 𝑥 est égale à sept.
