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Une spire de fil conducteur rectangulaire se déplace avec une vitesse constante perpendiculairement à un champ magnétique uniforme de 35 milliteslas faisant 34 cm de large, comme le montre la figure. La spire a une résistance de 2,5 ohms. Quelle est la puissance moyenne du courant électrique induit dans la spire lorsqu’elle se déplace dans le champ ? On donnera le résultat en écriture scientifique avec une décimale.
Dans cette question, on nous dit qu’un courant est induit dans une spire qui se déplace dans un champ magnétique uniforme, puis en sort. On nous demande de déterminer la valeur moyenne de la puissance, ce qui correspond au taux de dissipation de l’énergie dans la spire par la résistance. La valeur moyenne de la puissance est tout ce que nous pouvons déterminer, car le taux de dissipation d’énergie pour la spire change lorsqu’elle se déplace et elle n’a donc pas une valeur constante.
En faisant un peu de place à l’écran, la loi d’Ohm dit que le courant dans un circuit auquel on applique une différence de potentiel est donné par la différence de potentiel divisée par la résistance. Il n’y a pas exactement de différence de potentiel appliquée aux bornes de la spire, mais le mouvement de la spire dans le champ magnétique crée des forces sur les électrons libres de la spire, ce qui correspond à un travail sur les électrons libres. La quantité de travail en joule par coulomb de charges d’électrons libres est égale à la FEM induite dans la spire en raison de son mouvement dans le champ magnétique. On peut alors dire que 𝜀, la FEM induite, est égale à 𝐼 fois 𝑅.
La puissance est la vitesse à laquelle le travail est effectué. Pour la spire, cela peut s’écrire 𝑃 égal à 𝜀 au carré divisé par 𝑅. Rappelons également que la puissance mécanique est la vitesse à laquelle un travail est effectué par une force sur un objet. La puissance mécanique est égale au taux de variation du déplacement de l’objet multiplié par la force s’exerçant sur l’objet dans la direction du déplacement. En d’autres termes, la puissance est égale à la force multipliée par la vitesse.
En faisant un peu plus de place pour travailler, imaginons le fil dans cette position par rapport au champ magnétique. Disons que le côté droit de la spire entre dans le champ magnétique à l’instant t égal zéro seconde. Lorsque la spire entre dans le champ magnétique, la densité de flux magnétique dans la spire passe de zéro à une valeur non nulle. La variation de densité de flux magnétique a pour effet d’exercer des forces sur les électrons libres de la spire, ce qui entraîne un mouvement des électrons libres vers une extrémité du fil.
Si le fil droit n’était pas connecté à un autre fil pour former une spire, alors le changement de concentrations d’électrons libres ne produirait pas de courant, seulement une différence de potentiel aux extrémités du fil. Mais le fil droit fait partie d’une spire. Par conséquent, la grande concentration d’électrons libres à une extrémité du fil repousse les électrons libres dans le fil suivant de la spire à partir de cette extrémité. La faible concentration d’électrons libres à l’extrémité opposée du fil attire les électrons libres du fil suivant de la spire vers cette extrémité. Le résultat est un flux d’électrons libres autour de la spire, ce qui correspond à un courant électrique. L’intensité du courant induit par le mouvement de la spire dans le champ peut être déterminée.
Notons également que le champ magnétique, qui souvenons-nous est uniforme, fait 34 centimètres de large et est inférieur à la longueur de la spire, qui est de 86 centimètres. Le courant induit par le mouvement de la spire dans le champ magnétique n’existe que lorsque le côté droit de la spire se trouve pas dans le champ magnétique et le côté gauche de la spire est hors du champ magnétique. Si les côtés droit et gauche de la spire se trouvent hors du champ magnétique, alors les seuls côtés de la spire qui sont dans le champ magnétique sont parallèles au mouvement. Cela signifie que les différences de potentiel induites entre les extrémités de ces fils ne sont pas dirigées selon la longueur des fils et que les différences de potentiel induites ont la même direction.
Cette combinaison de différences de potentiel n’entraîne aucun flux d’électrons libres dans la spire. Comme le champ magnétique fait 34 centimètres de large, un courant est induit tant que la spire se déplace sur une distance allant jusqu’à 34 centimètres dans le champ. Aucun courant n’est induit après cela jusqu’à ce que le côté droit de la spire sorte du champ magnétique. Le courant induit par le mouvement de la spire hors du champ magnétique n’existe que lorsque le côté droit de la spire se trouve hors du champ magnétique et le côté gauche de la spire reste dans le champ magnétique.
Le courant induit a la même intensité que le courant induit lorsque la spire entre dans le champ magnétique, mais la direction du courant est opposée à la direction du courant induit lorsque la spire entre dans le champ magnétique. Le courant induit par le mouvement de la spire hors du champ magnétique existe donc jusqu’à ce que la spire se déplace de 34 centimètres supplémentaires.
Maintenant que nous avons vu cela, nous pouvons calculer la puissance moyenne dissipée. Tout d’abord, calculons la valeur de la FEM induite dans la spire lorsque le côté droit ou le côté gauche traverse le champ magnétique. Comme le champ magnétique et la vitesse de la spire sont perpendiculaires, nous pouvons utiliser l’équation 𝜀 égale 𝐵 fois 𝑣 fois 𝑙 pour déterminer la FEM induite sur un côté donné. Dans cette équation, 𝐵 est l’intensité du champ magnétique, 𝑣 est la vitesse de la spire et 𝑙 est la longueur du côté de la spire exposé au champ magnétique.
Lorsque le côté droit de la spire se trouve dans le champ magnétique, la vitesse de la spire est de 12 centimètres par seconde, soit 0,12 mètres par seconde, la longueur de fil se trouvant dans le champ est de 51 centimètres, soit 0,51 mètres, et nous avons l’intensité du champ magnétique qui est constante et qui vaut 35 milliteslas, soit 0,035 teslas. Le résultat est de 0,002142 volts. Rappelons qu’il s’agit de la valeur de la FEM lorsque le côté droit ou gauche de la spire se déplace dans le champ magnétique.
Nous pouvons utiliser ce résultat pour calculer la puissance dissipée en rappelant que la puissance est égale à la puissance au carré divisée par la résistance. On nous donne la résistance de la spire, 2,5 ohms. La puissance dissipée est donc de 1,835 etc. fois 10 puissance moins six watts. Pour déterminer la puissance moyenne dissipée comme on nous le demande dans la question, il faut considérer l’intervalle de temps total pendant lequel la spire se déplace.
En rappelant que le temps est égal à la distance divisée par la vitesse, on peut dire que le côté droit de la spire traverse le champ magnétique pendant un certain temps, que nous appellerons 𝑡 indice 𝑅, qui vaut 0,34 mètre divisé par 0,12 mètres par seconde, ce qui est égal à 2,83 secondes etc. Pendant cet intervalle de temps, la puissance dissipée correspond au résultat précédent, 1,835 fois 10 puissance moins six watts.
Ensuite, il y a un intervalle de temps où ni le côté droit ni le côté gauche de la spire ne se trouve dans le champ. En faisant un peu de place, appelons cet intervalle de temps 𝑡 indice 𝑁, c’est l’intervalle de temps où aucun des deux côtés de la spire ne se trouve dans le champ. 𝑡 indice 𝑁 est égal à 0,86 mètre moins 0,34 mètre, le tout divisé par 0,12 mètre par seconde. C’est égal à 4,3 secondes etc.
Enfin, il faut déterminer l’intervalle de temps pendant lequel le côté gauche de la spire traverse le champ magnétique. Cette fois, nous allons l’appeler 𝑡 indice 𝐿 et il est égal à 𝑡 indice 𝑅 puisque la spire se déplace avec une vitesse constante, 2,83 secondes etc.
En faisant un peu plus de place pour travailler, nous pouvons maintenant déterminer l’intervalle de temps total qui nous intéresse, 𝑡 indice 𝑇. C’est la somme de 𝑡 indice 𝑅, 𝑡 indice 𝑁 et 𝑡 indice 𝐿, ce qui fait exactement 10 secondes. La puissance dissipée est de 1,835 fois 10 puissance moins six watts pour une durée 𝑡 indice 𝑅 plus 𝑡 indice 𝐿, soit 5,6 secondes. Et pendant 4,3 secondes, la puissance dissipée est de zéro watts.
La puissance moyenne dissipée est la fraction du temps total pendant laquelle une puissance non nulle est dissipée multipliée par cette puissance 𝑃. Notons que dans cette expression, les unités de secondes se simplifient, ce qui nous donne des watts comme unité. En arrondissant ce résultat avec une décimale, nous obtenons 1,0 fois 10 puissance moins six watts. Voici la puissance moyenne dissipée dans la spire lorsqu’elle se déplace à travers le champ magnétique.
