Fiche explicative de la leçon: Mouvement de conducteur rectiligne dans un champ magnétique uniforme Physique

Exemple 1: Détermination de l’intensité du champ et du sens du mouvement d’un conducteur droit se déplaçant dans un champ magnétique uniforme

Une longue tige conductrice de 15 cm a une différence de potentiel à ses extrémités, comme indiqué sur le schéma. La tige se déplace dans un champ magnétique uniforme à 0,32 m/s. La valeur de la différence de potentiel induite est de 9,6 mV. La tige se déplace dans le plan de l’écran.

1. Quelle est la force du champ magnétique ? 
2. Vers quel côté de la région contenant le champ la tige se déplace-t-elle ? 

Réponse

Partie 1

La différence de potentiel induite aux bornes de la tige est égale en valeur à la force électromotrice () le long de la tige. Cette « force » est donnée par l’équation

est la longueur de la tige, est l’intensité de son vecteur vitesse, est la force du champ magnétique dans lequel la tige se déplace, et est l’angle entre et .

Nous cherchons la force du champ magnétique dans le cas présent. La force du champ peut être isolée d’un côté de l’équation ci-dessus en divisant les deux côtés par , et  : 

La valeur de la différence de potentiel, qui est égale à la force électromotrice, est de 9,6 mV. La longueur de la tige est de 15 cm et son vecteur vitesse a une intensité de 0,32 m/s. La tige se déplace perpendiculairement au champ magnétique, ce qui signifie que est égal à .

Avant d’utiliser ces valeurs et de calculer , nous devons rendre les unités cohérentes entre elles. Nous pouvons le faire en convertissant la fem de millivolts en volts et la longueur de centimètres en mètres.

Nous savons que 1‎ ‎000 mV est égal à 1 V alors 9,6 mV est égal à 0,0096 V.

De même, 100 cm est égal à un mètre, alors 15 cm est égal à 0,15 m.

Nous pouvons maintenant utiliser nos valeurs converties dans l’équation pour  : 

Ce résultat correspond à la réponse D.

Partie 2

Le sens du mouvement de la tige affecte le sens de la force magnétique agissant sur les charges dans la tige.

Sur le schéma, nous voyons que le haut de la tige a une charge nette positive, tandis que le bas de la tige possède une charge nette négative.

On sait donc que la tige se déplace de telle sorte que la force exercée sur les électrons libres est dirigée vers le bas de la région contenant le champ magnétique.

Ce sens de la force est donné par la règle de la main droite. La règle stipule que si les doigts de notre main droite pointent d’abord dans la direction de , avec le vecteur vitesse de la charge , alors les doigts se plient dans le sens du champ magnétique externe et le pouce de cette main pointe dans le sens de la force magnétique sur la charge .

Étant donné que dans cette situation, la force sur les charges positives agit vers le haut de la région contenant le champ magnétique et que le champ magnétique sort de l’écran, nous pouvons utiliser la règle de la main droite pour déterminer le sens du mouvement de la tige.

Avec notre pouce droit pointant vers le haut, nos doigts que l’on enroule sortent de l’écran, comme indiqué sur la première image ci-dessous, nous voyons que le seul sens dans lequel nos doigts pourraient pointer lorsqu’ils sont redressés est vers la gauche, comme indiqué sur la deuxième image.

Ces doigts montrent que pour que les charges positives subissent une force vers le haut, le vecteur vitesse de la tige doit être vers la gauche.

Par conséquent, la tige se déplace vers le côté gauche de la région contenant le champ.

Exemple 2: Trouver la résistance d’un conducteur droit se déplaçant dans un champ magnétique uniforme

Une tige conductrice se déplace sur des rails conducteurs qui forment un circuit contenant une résistance, comme indiqué sur le schéma. La tige parcourt toute la distance des rails en 36 s, se déplaçant à une vitesse constante. Le champ magnétique autour du circuit est de 275 mT. Le courant dans le circuit est de 32 μA. Déterminez la résistance de la tige au dixième près.

Réponse

Lorsque la tige se déplace dans le champ magnétique, une différence de potentiel donnée par l’équation est induite à ses bornes. La tige mobile fonctionne essentiellement comme une pile pour le circuit électrique illustré. On peut relier la différence de potentiel , le courant du circuit et la résistance totale du circuit en utilisant la loi d’Ohm comme suit : 

La résistance totale du circuit se compose de la valeur de la résistance (24 Ω) ainsi que de la résistance de la tige. Si on nomme la résistance de la tige , on peut écrire que

Par conséquent, ou de manière équivalente

Nous commençons à chercher en réarrangeant l’équation en fonction de . Multiplier le courant du côté droit de l’équation nous donne

En soustrayant des deux côtés, puis en divisant les deux côtés par , on trouve

La longueur de la tige est de 9,5 cm. C’est égal à 0,095 m.

L’intensité du vecteur vitesse, , de la tige est donnée par l’expression avec la distance parcourue par la tige et la durée nécessaire pour la parcourir. La tige se déplace de 125 cm en 36 s, ce qui signifie qu’elle a une vitesse de 125 cm par 36 s ou . En mètres par seconde (m/s), la vitesse de la tige est de .

La valeur du champ magnétique est de 275 mT. Puisqu’il y a 1‎ ‎000 mT dans 1 T, cela équivaut à 0,275 T.

En ce qui concerne l’angle , la tige se déplace perpendiculairement au champ, est donc de . Notez que le sinus de vaut 1.

Le courant dans le circuit est de 32 μA ou de manière équivalente .

En utilisant toutes ces valeurs dans notre équation pour , on trouve

Arrondie à une décimale près, la résistance de la tige est de 4,3 ohms.

Exemple 3: Conducteurs rotatifs dans des champs magnétiques uniformes

Une tige conductrice est mise en rotation et une de ses extrémités est maintenue immobile. La tige tourne uniformément dans un champ magnétique uniforme, avec une variation du sens de rotation de la tige par rapport au champ magnétique, comme indiqué sur les schémas I, II, III et IV. La tige tourne à la même vitesse sur chaque schéma.

1. Dans quel schéma la valeur de la différence de potentiel induite entre l’extrémité fixe de la tige et l’extrémité libre varie-t-elle lorsque la tige tourne ? 
2. Est-ce que la valeur de la différence de potentiel induite entre l’extrémité fixe de la tige et l’extrémité libre sur le schéma I est égale à celle sur le schéma II ? 
3. Est-ce que la valeur de la différence de potentiel induite entre l’extrémité fixe de la tige et l’extrémité libre sur le schéma III est égale à celle sur le schéma IV ? 
4. Est-ce que la valeur de la différence de potentiel induite entre l’extrémité fixe de la tige et l’extrémité libre sur le schéma I est égale à celle sur le schéma III ? 

Réponse

Partie 1

Prenons en considérations les quatre schémas et commençons par le schéma I.

Le schéma I montre la tige en rotation à quatre moments. On peut nommer ces positions , , et , comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

En chaque position, la tige a un vecteur vitesse moyen non nul et se déplace dans un champ magnétique uniforme pointant vers la droite.

Le schéma suivant montre ces vecteurs vitesse moyens avec les vecteurs du champ magnétique correspondants.

Pour déterminer si, et dans quel sens, la différence de potentiel est induite dans la tige à l’une de ces positions, nous utilisons la règle de la main droite.

Cette règle indique que le sens de la force magnétique sur une charge se déplaçant selon un vecteur vitesse dans un champ magnétique peut être déterminée comme suit : les doigts de la main droite sont pointés dans le sens de , puis enroulé dans le sens de . Le sens alors indiqué par le pouce de la main droite indique le sens de la force magnétique agissant sur la charge.

En appliquant cette règle aux quatre positions de la tige dans le schéma ci-dessus, nous trouvons les résultats illustrés sur le schéma suivant.

Notez que dans les quatre positions, la force magnétique sur une charge positive ne s’applique jamais tout au long du conducteur. Les charges positives et négatives ne se séparent pas le long de la tige, et par conséquent la différence de potentiel le long de la tige est nulle.

Maintenant, considérons la tige selon un angle de rotation quelconque autre que les angles illustrés ci-dessus. Dans une telle position arbitraire, le vecteur vitesse moyen de la tige peut être divisé en une composante horizontale et une composante verticale, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

Pour chaque composante, la fem induite le long de la tige est nulle. Comme l’angle thêta sur le schéma est arbitraire, la fem induite le long de la tige sur le schéma I est nulle pour toutes les positions.

Ensuite, regardons le schéma II. Notez que la seule différence entre le schéma II et le schéma I est que le schéma II est tourné de par rapport au schéma I dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Par conséquent, aucune différence de potentiel n’est induite le long de la tige sur le schéma II.

Sur le schéma III, le champ magnétique pointe dans l’écran. Par conséquent, les vecteurs vitesse et les vecteurs champ magnétique correspondants apparaissent comme indiqué sur le schéma suivant.

Encore une fois, en utilisant la règle de la main droite pour déterminer le sens de la force magnétique sur la charge positive à chaque position, nous trouvons les résultats ci-dessous, où des flèches rouges indiquent des vecteurs de force sur la charge positive.

Sur le schéma III, une charge positive est poussée vers l’axe de rotation de la tige, ce qui signifie qu’une charge négative est poussée vers l’extrémité libre de la tige. Par conséquent, la séparation des charges se produit le long de la tige.

En conséquence de quoi, une différence de potentiel est induite le long de la tige.

Rappelons, cependant, que l’on nous demande d’identifier des schémas où la différence de potentiel induite le long de la tige varie.

Pour le scénario illustré par le schéma III, la différence de potentiel induite le long de la tige est non nulle, mais elle est également constante - elle ne change pas lorsque la tige tourne.

Enfin, considérons la situation représentée sur le schéma IV.

Ce scénario est identique à celui illustré sur le schéma III, sauf qu’ici le champ magnétique sort de l’écran plutôt que d’y entrer.

Le résultat de cette différence implique que, dans le scénario illustré par le schéma IV, une charge positive est forcée vers l’extrémité libre de la tige et une charge négative est poussée vers son extrémité fixe.

Une différence de potentiel non nulle est induite le long de la tige.

Comme c’était le cas pour la situation illustrée par le schéma III, cependant, cette différence de potentiel ne varie pas lorsque la tige tourne.

Notre réponse à la partie 1 de la question est qu’aucun des schémas ne montre des scénarios où la différence de potentiel induite le long de la tige varie.

Partie 2

En passant en revue notre analyse de la partie 1, nous nous souvenons que dans les schémas I et II, la différence de potentiel induite sur la longueur de la tige est nulle. Par conséquent, il est vrai que ces valeurs sont égales.

Partie 3

Dans le scénario illustré par le schéma III, une charge positive s’accumule vers l’extrémité fixe de la tige et une charge négative s’accumule vers son extrémité libre, comme indiqué sur le schéma suivant.

La valeur de la différence de potentiel induite est donnée par l’équation avec la longueur du conducteur, l’intensité de son vecteur vitesse, l’intensité du champ magnétique et l’angle entre et .

Nous devons comparer cette valeur avec la valeur de la fem induite dans le scénario illustré par le schéma IV. Dans cette situation, les charges positives et négatives s’accumulent comme indiqué ci-dessous.

La polarité de la différence de potentiel induite est opposée à celle du scénario du schéma III. Notez, cependant, qu’aucune des valeurs qui influencent la valeur de la différence de potentiel induite - , , et - n’a changé.

Par conséquent, la valeur de la différence de potentiel induite le long de la tige est la même dans les scénarios illustrés par les schémas III et IV.

Partie 4

Nous avons vu que le schéma I montre une situation dans laquelle la différence de potentiel induite entre les extrémités de la tige est nulle.

En revanche, une différence de potentiel non nulle est induite le long de la tige illustrée sur le schéma III. Par conséquent, ces valeurs ne sont pas égales.

Exemple 4: Différence de potentiel variable au cours du temps dans un conducteur droit se déplaçant dans un champ magnétique uniforme

Une tige conductrice qui se trouve à l’intérieur d’un champ magnétique uniforme se déplace à une vitesse constante le long d’une trajectoire circulaire, où la direction du mouvement circulaire est perpendiculaire à la longueur de la tige tout au long du mouvement. Lorsque la tige est aux positions A et C, indiquées sur le schéma, la direction du mouvement circulaire est la même que celle du champ magnétique. Lorsque la tige est aux positions B et D, indiquées sur le schéma, la direction du mouvement circulaire est perpendiculaire à celle du champ magnétique. Le graphique montre des courbes de quatre couleurs différentes. Chaque courbe pourrait représenter la variation de la différence de potentiel sur toute la longueur de la tige lorsqu’elle passe de A à B puis C et D et qu’elle revient en A. Quelle courbe représente correctement comment évolue la différence de potentiel avec le temps ? 

1. la courbe bleue
2. la courbe orange
3. la courbe rouge
4. la courbe verte
5. Aucune des réponses n’est correcte.

Réponse

En étudiant le schéma du conducteur se déplaçant dans le champ, on le voit suivre une trajectoire circulaire, dans un plan parallèle au champ magnétique.

Si est l’angle entre le champ et le vecteur vitesse du conducteur, change constamment. Plus précisément, aux points A, B, C et D, a des valeurs correspondantes de , , et , comme indiqué ci-dessous.

En général, la différence de potentiel induite dans un conducteur droit se déplaçant dans un champ magnétique uniforme est décrite par l’équation

Dans notre scénario, varie, et cette équation indique qu’elle le fait de manière sinusoïdale.

On peut conclure que la différence de potentiel induite dans le conducteur n’est pas constante dans le temps et que la différence de potentiel induite par le conducteur varie en fonction de la forme de la fonction sinusoïdale.

En examinant nos réponses, la réponse C - la courbe rouge - montre la différence de potentiel qui varie avec le temps, tel qu’elle le ferais pour notre conducteur en mouvement.