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Fiche explicative de la leçon : Mouvement de conducteur rectiligne dans un champ magnétique uniforme Physique

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment relier la différence de potentiel induite à travers des conducteurs droits à leur mouvement dans des champs magnétiques uniformes.

Considérons un fil droit se déplaçant dans un champ magnétique uniforme, comme indiqué ci-dessous.

Comme ce fil est un conducteur, il contient des électrons qui sont libres de se déplacer dans le fil.

Lorsque le fil se déplace dans le champ, une force magnétique agit sur ces électrons.

La sens de la force magnétique sur les électrons peut être déterminé en rappelant la règle de la main droite pour le sens de la force magnétique sur les charges se déplaçant dans un champ magnétique.

En utilisant la main droite, nous identifions d’abord le sens de 𝑞𝑣, avec 𝑞 la charge de la particule considérée et 𝑣 le vecteur vitesse de la particule.

Comme les électrons ont une charge négative, 𝑞𝑣 dans ce cas pointe dans le sens opposé à celui de 𝑣. C’est-à-dire, pour notre fil qui se déplace vers la droite, 𝑞𝑣 pour les électrons pointe vers la gauche.

On pointe les doigts de la main droite dans le sens de 𝑞𝑣, comme indiqué sur l’image suivante.

La prochaine étape pour la règle de la main droite est d’amener nos doigts dans le sens du champ magnétique. Dans ce cas, ce champ sort de l’écran.

Avec la main droite disposée de cette manière, le pouce pointe dans le sens de la force magnétique sur la particule chargée, comme indiqué ci-dessous.

Les électrons dans le fil seront donc poussés vers le partie supérieure du fil.

Dans l’ensemble, lorsque le fil se déplace, la charge négative se concentrera en haut et la charge positive se concentrera en bas, comme indiqué ci-dessous.

Le potentiel électrique près de la concentration de charge négative est plus négatif que le potentiel près de la concentration de charge positive. Par conséquent, une différence de potentiel est établie le long du du fil.

Notez que dans cet exemple, le champ magnétique sort de l’écran, tandis que le vecteur vitesse du fil pointe vers la droite. Par conséquent, l’angle entre ces deux vecteurs est de 90.

Ensuite, considérons une situation où le fil sort de l’écran, comme indiqué ci-dessous.

L’angle entre le vecteur vitesse du fil et le champ externe est maintenant de 0. Aucune différence de potentiel n’est induite le long du fil.

La différence de potentiel est mesurée en volts, tout comme une grandeur appelée force électromotrice. Cette « force » est une quantité d’énergie transmise aux charges. Elle est symbolisée par 𝜖 et on peut la décrire mathématiquement de la manière suivante.

Formule : Force électromotrice dans un conducteur droit se déplaçant dans un champ magnétique uniforme

Si un conducteur droit de longueur 𝐿 se déplace avec un vecteur vitesse 𝑣 dans un champ magnétique uniforme 𝐵 de sorte que l’angle entre 𝐵 et 𝑣 soit 𝜃, alors la force électromotrice (𝜖) induite dans le conducteur est 𝜖=𝐿𝑣𝐵(𝜃).sin

La force électromotrice induite (souvent appelée « fem » pour abréger) est égale à la différence de potentiel induite dans un fil se déplaçant dans un champ magnétique uniforme.

Dans cette équation, 𝐿 est la longueur de la partie du conducteur le long de laquelle la fem est induite.

Exemple 1: Détermination de l’intensité du champ et du sens du mouvement d’un conducteur droit se déplaçant dans un champ magnétique uniforme

Une longue tige conductrice de 15 cm a une différence de potentiel à ses extrémités, comme indiqué sur le schéma. La tige se déplace dans un champ magnétique uniforme à 0,32 m/s. La valeur de la différence de potentiel induite est de 9,6 mV. La tige se déplace dans le plan de l’écran.

  1. Quelle est la force du champ magnétique?
  2. Vers quel côté de la région contenant le champ la tige se déplace-t-elle?

Réponse

Partie 1

La différence de potentiel induite aux bornes de la tige est égale en valeur à la force électromotrice (𝜖) le long de la tige. Cette « force » est donnée par l’équation 𝜖=𝐿𝑣𝐵(𝜃).sin

𝐿 est la longueur de la tige, 𝑣 est l’intensité de son vecteur vitesse, 𝐵 est la force du champ magnétique dans lequel la tige se déplace, et 𝜃 est l’angle entre 𝑣 et 𝐵.

Nous cherchons la force du champ magnétique dans le cas présent. La force du champ 𝐵 peut être isolée d’un côté de l’équation ci-dessus en divisant les deux côtés par 𝐿, 𝑣 et sin(𝜃):𝐵=𝜖𝐿𝑣(𝜃).sin

La valeur de la différence de potentiel, qui est égale à la force électromotrice, est de 9,6 mV. La longueur de la tige est de 15 cm et son vecteur vitesse a une intensité de 0,32 m/s. La tige se déplace perpendiculairement au champ magnétique, ce qui signifie que 𝜃 est égal à 90.

Avant d’utiliser ces valeurs et de calculer 𝐵, nous devons rendre les unités cohérentes entre elles. Nous pouvons le faire en convertissant la fem de millivolts en volts et la longueur de centimètres en mètres.

Nous savons que 1‎ ‎000 mV est égal à 1 V alors 9,6 mV est égal à 0,0096 V.

De même, 100 cm est égal à un mètre, alors 15 cm est égal à 0,15 m.

Nous pouvons maintenant utiliser nos valeurs converties dans l’équation pour 𝐵:𝐵=0,00960,15×0,32/×(90)=0,00960,15×0,32/=0,2.VmmssinVmmsT

Ce résultat correspond à la réponse D.

Partie 2

Le sens du mouvement de la tige affecte le sens de la force magnétique agissant sur les charges dans la tige.

Sur le schéma, nous voyons que le haut de la tige a une charge nette positive, tandis que le bas de la tige possède une charge nette négative.

On sait donc que la tige se déplace de telle sorte que la force exercée sur les électrons libres est dirigée vers le bas de la région contenant le champ magnétique.

Ce sens de la force est donné par la règle de la main droite. La règle stipule que si les doigts de notre main droite pointent d’abord dans la direction de 𝑞𝑣, avec 𝑣 le vecteur vitesse de la charge 𝑞, alors les doigts se plient dans le sens du champ magnétique externe 𝐵 et le pouce de cette main pointe dans le sens de la force magnétique sur la charge 𝑞.

Étant donné que dans cette situation, la force sur les charges positives agit vers le haut de la région contenant le champ magnétique et que le champ magnétique sort de l’écran, nous pouvons utiliser la règle de la main droite pour déterminer le sens du mouvement de la tige.

Avec notre pouce droit pointant vers le haut, nos doigts que l’on enroule sortent de l’écran, comme indiqué sur la première image ci-dessous, nous voyons que le seul sens dans lequel nos doigts pourraient pointer lorsqu’ils sont redressés est vers la gauche, comme indiqué sur la deuxième image.

Ces doigts montrent que pour que les charges positives subissent une force vers le haut, le vecteur vitesse de la tige doit être vers la gauche.

Par conséquent, la tige se déplace vers le côté gauche de la région contenant le champ.

Un conducteur droit se déplaçant dans un champ magnétique uniforme peut faire partie d’une boucle conductrice fermée, comme indiqué sur le schéma suivant.

Dans ce scénario, la différence de potentiel (ou, de manière équivalente, la fem) induite aux bornes du conducteur en mouvement crée du courant dans le circuit.

Nous avons vu que la différence de potentiel induite est donnée par 𝜖=𝐿𝑣𝐵(𝜃).sin

Lorsque cette différence de potentiel génère un courant 𝐼 dans un circuit de résistance 𝑅, la loi d’Ohm indique que 𝜖=𝐼𝑅.

Notez que, bien que le courant induit génère un champ magnétique qui est généralement négligeable par rapport au champ externe uniforme 𝐵. Nous ne le prenons donc pas en compte dans les calculs de 𝜖, 𝐼 ou 𝑅.

Exemple 2: Trouver la résistance d’un conducteur droit se déplaçant dans un champ magnétique uniforme

Une tige conductrice se déplace sur des rails conducteurs qui forment un circuit contenant une résistance, comme indiqué sur le schéma. La tige parcourt toute la distance des rails en 36 s, se déplaçant à une vitesse constante. Le champ magnétique autour du circuit est de 275 mT. Le courant dans le circuit est de 32 μA. Déterminez la résistance de la tige au dixième près.

Réponse

Lorsque la tige se déplace dans le champ magnétique, une différence de potentiel donnée par l’équation 𝜖=𝐿𝑣𝐵(𝜃)sin est induite à ses bornes. La tige mobile fonctionne essentiellement comme une pile pour le circuit électrique illustré. On peut relier la différence de potentiel 𝜖, le courant du circuit 𝐼 et la résistance totale du circuit 𝑅 en utilisant la loi d’Ohm comme suit:𝜖=𝐼𝑅.

La résistance totale du circuit 𝑅 se compose de la valeur de la résistance (24 Ω) ainsi que de la résistance de la tige. Si on nomme la résistance de la tige 𝑅T, on peut écrire que 𝑅=24+𝑅.ΩT

Par conséquent, 𝜖=𝐼×(24+𝑅),ΩT ou de manière équivalente 𝐿𝑣𝐵(𝜃)=𝐼×(24+𝑅).sinΩT

Nous commençons à chercher 𝑅T en réarrangeant l’équation en fonction de 𝑅T. Multiplier le courant 𝐼 du côté droit de l’équation nous donne 𝐿𝑣𝐵(𝜃)=𝐼×24+𝐼𝑅.sinΩT

En soustrayant 𝐼×24Ω des deux côtés, puis en divisant les deux côtés par 𝐼, on trouve 𝑅=𝐿𝑣𝐵(𝜃)𝐼×24𝐼.TsinΩ

La longueur de la tige 𝐿 est de 9,5 cm. C’est égal à 0,095 m.

L’intensité du vecteur vitesse, 𝑣, de la tige est donnée par l’expression 𝑣=𝑑𝑡, avec 𝑑 la distance parcourue par la tige et 𝑡 la durée nécessaire pour la parcourir. La tige se déplace de 125 cm en 36 s, ce qui signifie qu’elle a une vitesse de 125 cm par 36 s ou 3,472/cms. En mètres par seconde (m/s), la vitesse de la tige est de 0,03472/ms.

La valeur du champ magnétique 𝐵 est de 275 mT. Puisqu’il y a 1‎ ‎000 mT dans 1 T, cela équivaut à 0,275 T.

En ce qui concerne l’angle 𝜃, la tige se déplace perpendiculairement au champ, 𝜃 est donc de 90. Notez que le sinus de 90 vaut 1.

Le courant 𝐼 dans le circuit est de 32 μA ou de manière équivalente 3,2×10A.

En utilisant toutes ces valeurs dans notre équation pour 𝑅T, on trouve 𝑅=(0,095)×(0,03472/)×(0,275)×(1)3,2×10×243,2×10=4,3474.TmmsTAΩAΩ

Arrondie à une décimale près, la résistance de la tige est de 4,3 ohms.

Bien que la différence de potentiel soit une quantité scalaire, elle est néanmoins induite dans un certain sens. Ce sens est déterminé en utilisant la règle de la main droite comme nous l’avons vu.

Considérons un conducteur rectiligne de longueur 𝐿 et une section transversale carrée de largeur l se déplaçant dans un champ magnétique uniforme, comme indiqué sur le schéma suivant.

Pour les charges positives, 𝑞𝑣 pointe vers la droite. Le champ magnétique 𝐵 pointe vers le haut de l’écran. En utilisant la règle de la main droite, la force magnétique sur les charges positives sort de l’écran.

Par conséquent, une charge positive s’accumulera sur la face avant du conducteur, tandis qu’une charge négative sera concentrée sur la face arrière. Ceci est illustré par le schéma suivant, où les régions de charge nette positive sont colorées en rouge et les régions de charge nette négative sont colorées en bleu.

Bien que la fem soit induite dans ce conducteur, sa valeur n’est pas égale à 𝐿𝑣𝐵(𝜃)sin. Au contraire, elle est égale à 𝑤𝑣𝐵(𝜃)sin, avec 𝑤 la longueur de la partie du conducteur où la charge est séparée.

Exemple 3: Conducteurs rotatifs dans des champs magnétiques uniformes

Une tige conductrice est mise en rotation et une de ses extrémités est maintenue immobile. La tige tourne uniformément dans un champ magnétique uniforme, avec une variation du sens de rotation de la tige par rapport au champ magnétique, comme indiqué sur les schémas I, II, III et IV. La tige tourne à la même vitesse sur chaque schéma.

  1. Dans quel schéma la valeur de la différence de potentiel induite entre l’extrémité fixe de la tige et l’extrémité libre varie-t-elle lorsque la tige tourne?
  2. Est-ce que la valeur de la différence de potentiel induite entre l’extrémité fixe de la tige et l’extrémité libre sur le schéma I est égale à celle sur le schéma II?
  3. Est-ce que la valeur de la différence de potentiel induite entre l’extrémité fixe de la tige et l’extrémité libre sur le schéma III est égale à celle sur le schéma IV?
  4. Est-ce que la valeur de la différence de potentiel induite entre l’extrémité fixe de la tige et l’extrémité libre sur le schéma I est égale à celle sur le schéma III?

Réponse

Partie 1

Prenons en considérations les quatre schémas et commençons par le schéma I.

Le schéma I montre la tige en rotation à quatre moments. On peut nommer ces positions 0, 90, 180 et 270, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

En chaque position, la tige a un vecteur vitesse moyen non nul et se déplace dans un champ magnétique uniforme pointant vers la droite.

Le schéma suivant montre ces vecteurs vitesse moyens avec les vecteurs du champ magnétique correspondants.

Pour déterminer si, et dans quel sens, la différence de potentiel est induite dans la tige à l’une de ces positions, nous utilisons la règle de la main droite.

Cette règle indique que le sens de la force magnétique sur une charge 𝑞 se déplaçant selon un vecteur vitesse 𝑣 dans un champ magnétique 𝐵 peut être déterminée comme suit:les doigts de la main droite sont pointés dans le sens de 𝑞𝑣, puis enroulé dans le sens de 𝐵. Le sens alors indiqué par le pouce de la main droite indique le sens de la force magnétique agissant sur la charge.

En appliquant cette règle aux quatre positions de la tige dans le schéma ci-dessus, nous trouvons les résultats illustrés sur le schéma suivant.

Notez que dans les quatre positions, la force magnétique sur une charge positive ne s’applique jamais tout au long du conducteur. Les charges positives et négatives ne se séparent pas le long de la tige, et par conséquent la différence de potentiel le long de la tige est nulle.

Maintenant, considérons la tige selon un angle de rotation quelconque autre que les angles illustrés ci-dessus. Dans une telle position arbitraire, le vecteur vitesse moyen de la tige peut être divisé en une composante horizontale et une composante verticale, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

Pour chaque composante, la fem induite le long de la tige est nulle. Comme l’angle thêta sur le schéma est arbitraire, la fem induite le long de la tige sur le schéma I est nulle pour toutes les positions.

Ensuite, regardons le schéma II. Notez que la seule différence entre le schéma II et le schéma I est que le schéma II est tourné de 90 par rapport au schéma I dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Par conséquent, aucune différence de potentiel n’est induite le long de la tige sur le schéma II.

Sur le schéma III, le champ magnétique pointe dans l’écran. Par conséquent, les vecteurs vitesse et les vecteurs champ magnétique correspondants apparaissent comme indiqué sur le schéma suivant.

Encore une fois, en utilisant la règle de la main droite pour déterminer le sens de la force magnétique sur la charge positive à chaque position, nous trouvons les résultats ci-dessous, où des flèches rouges indiquent des vecteurs de force sur la charge positive.

Sur le schéma III, une charge positive est poussée vers l’axe de rotation de la tige, ce qui signifie qu’une charge négative est poussée vers l’extrémité libre de la tige. Par conséquent, la séparation des charges se produit le long de la tige.

En conséquence de quoi, une différence de potentiel est induite le long de la tige.

Rappelons, cependant, que l’on nous demande d’identifier des schémas où la différence de potentiel induite le long de la tige varie.

Pour le scénario illustré par le schéma III, la différence de potentiel induite le long de la tige est non nulle, mais elle est également constante - elle ne change pas lorsque la tige tourne.

Enfin, considérons la situation représentée sur le schéma IV.

Ce scénario est identique à celui illustré sur le schéma III, sauf qu’ici le champ magnétique sort de l’écran plutôt que d’y entrer.

Le résultat de cette différence implique que, dans le scénario illustré par le schéma IV, une charge positive est forcée vers l’extrémité libre de la tige et une charge négative est poussée vers son extrémité fixe.

Une différence de potentiel non nulle est induite le long de la tige.

Comme c’était le cas pour la situation illustrée par le schéma III, cependant, cette différence de potentiel ne varie pas lorsque la tige tourne.

Notre réponse à la partie 1 de la question est qu’aucun des schémas ne montre des scénarios où la différence de potentiel induite le long de la tige varie.

Partie 2

En passant en revue notre analyse de la partie 1, nous nous souvenons que dans les schémas I et II, la différence de potentiel induite sur la longueur de la tige est nulle. Par conséquent, il est vrai que ces valeurs sont égales.

Partie 3

Dans le scénario illustré par le schéma III, une charge positive s’accumule vers l’extrémité fixe de la tige et une charge négative s’accumule vers son extrémité libre, comme indiqué sur le schéma suivant.

La valeur de la différence de potentiel induite est donnée par l’équation 𝜖=𝐿𝑣𝐵(𝜃),sin avec 𝐿 la longueur du conducteur, 𝑣 l’intensité de son vecteur vitesse, 𝐵 l’intensité du champ magnétique et 𝜃 l’angle entre 𝐵 et 𝑣.

Nous devons comparer cette valeur avec la valeur de la fem induite dans le scénario illustré par le schéma IV. Dans cette situation, les charges positives et négatives s’accumulent comme indiqué ci-dessous.

La polarité de la différence de potentiel induite est opposée à celle du scénario du schéma III. Notez, cependant, qu’aucune des valeurs qui influencent la valeur de la différence de potentiel induite - 𝐿, 𝑣, 𝐵 et 𝜃 - n’a changé.

Par conséquent, la valeur de la différence de potentiel induite le long de la tige est la même dans les scénarios illustrés par les schémas III et IV.

Partie 4

Nous avons vu que le schéma I montre une situation dans laquelle la différence de potentiel induite entre les extrémités de la tige est nulle.

En revanche, une différence de potentiel non nulle est induite le long de la tige illustrée sur le schéma III. Par conséquent, ces valeurs ne sont pas égales.

Lorsqu’un conducteur se déplace dans un champ magnétique uniforme, son mouvement peut être périodique plutôt que constant.

Considérons le conducteur illustré ci-dessous, positionné dans un champ magnétique uniforme.

Nous pouvons changer notre point de vue et observer le conducteur depuis l’une de ses extrémités et voir que le conducteur se déplace selon une trajectoire circulaire, comme indiqué ci-dessous.

Lorsque le conducteur se déplace, l’angle entre le vecteur vitesse du conducteur et le champ magnétique externe change.

Aux positions marquées 1, 2, 3 et 4, cet angle 𝜃, mesuré entre le vecteur champ magnétique et le vecteur vitesse du conducteur, a pour valeurs 90, 0, 270 et 180, comme indiqué ci-dessous.

Rappelons que la force électromotrice induite dans un conducteur est donnée par 𝜖=𝐿𝑣𝐵(𝜃),sinon note alors que cette grandeur dépend du sinus de l’angle 𝜃. Par conséquent, la fem induite par ce conducteur décrivant des cercles suit un modèle sinusoïdal, comme indiqué sur le graphique suivant.

Exemple 4: Différence de potentiel variable au cours du temps dans un conducteur droit se déplaçant dans un champ magnétique uniforme

Une tige conductrice qui se trouve à l’intérieur d’un champ magnétique uniforme se déplace à une vitesse constante le long d’une trajectoire circulaire, où la direction du mouvement circulaire est perpendiculaire à la longueur de la tige tout au long du mouvement. Lorsque la tige est aux positions A et C, indiquées sur le schéma, la direction du mouvement circulaire est la même que celle du champ magnétique. Lorsque la tige est aux positions B et D, indiquées sur le schéma, la direction du mouvement circulaire est perpendiculaire à celle du champ magnétique. Le graphique montre des courbes de quatre couleurs différentes. Chaque courbe pourrait représenter la variation de la différence de potentiel sur toute la longueur de la tige lorsqu’elle passe de A à B puis C et D et qu’elle revient en A. Quelle courbe représente correctement comment évolue la différence de potentiel avec le temps?

  1. la courbe bleue
  2. la courbe orange
  3. la courbe rouge
  4. la courbe verte
  5. Aucune des réponses n’est correcte.

Réponse

En étudiant le schéma du conducteur se déplaçant dans le champ, on le voit suivre une trajectoire circulaire, dans un plan parallèle au champ magnétique.

Si 𝜃 est l’angle entre le champ et le vecteur vitesse du conducteur, 𝜃 change constamment. Plus précisément, aux points A, B, C et D, 𝜃 a des valeurs correspondantes de 0, 270, 180 et 90, comme indiqué ci-dessous.

En général, la différence de potentiel induite dans un conducteur droit se déplaçant dans un champ magnétique uniforme est décrite par l’équation 𝜖=𝐿𝑣𝐵(𝜃).sin

Dans notre scénario, 𝜃 varie, et cette équation indique qu’elle le fait de manière sinusoïdale.

On peut conclure que la différence de potentiel induite dans le conducteur n’est pas constante dans le temps et que la différence de potentiel induite par le conducteur varie en fonction de la forme de la fonction sinusoïdale.

En examinant nos réponses, la réponse C - la courbe rouge - montre la différence de potentiel qui varie avec le temps, tel qu’elle le ferais pour notre conducteur en mouvement.

Points clés

  • Pour un conducteur droit se déplaçant dans un champ magnétique uniforme, une force électromotrice (fem), équivalente à la différence de potentiel, est induite selon l’équation 𝜖=𝐿𝑣𝐵(𝜃)sin, avec 𝜖 la fem induite, 𝐿 la longueur du conducteur, 𝑣 l’intensité de son vecteur vitesse, 𝐵 la force du champ magnétique externe et 𝜃 l’angle entre 𝑣 et 𝐵.
  • Lorsqu’un conducteur droit se déplaçant dans un champ magnétique uniforme fait partie d’un circuit électrique fermé, le conducteur fait circuler une charge dans le circuit. La différence de potentiel 𝜖, le courant de circuit 𝐼 et la résistance du circuit 𝑅 sont liés par la loi d’Ohm:𝜖=𝐼𝑅.
  • Lorsqu’un conducteur se déplace de manière périodique dans un champ magnétique uniforme, 𝜃 peut changer constamment, amenant la fem induite à suivre un modèle sinusoïdal.

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