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Dans une école, les poids des élèves sont distribués suivant une loi normale de moyenne de 61 kilogrammes et d’écart-type de huit kilogrammes. Quel est le pourcentage des élèves dont le poids est compris entre 50,6 et 61,64 kilogrammes ?
Rappelons que la courbe représentative d’une loi normale est en forme de cloche et symétrique par rapport à la moyenne, et que l’aire totale sous la courbe est égale à un. Il peut être très utile lorsqu’il s’agit de questions de loi normale de tracer la courbe en utilisant les informations qui nous sont données.
Eh bien, on nous a indiqué que le poids moyen, 𝜇, est de 61 kilogrammes. D’autre part, l’écart-type, 𝜎, est de huit kilogrammes. On nous a demandé de calculer le pourcentage d’élèves pesant entre 50,6 et 61,64 kilogrammes, qui sont des valeurs situées de chaque côté de la moyenne, indiquées par la zone ombrée indiquée. Mathématiquement, il s’agit de la probabilité que 𝑋 soit supérieur ou égal à 50,6 et inférieur ou égal à 61,64.
Maintenant, la première étape avec la plupart des calculs de loi normale est de normaliser les données, ce qui nous permet de les calculer en utilisant une table de la loi normale centrée réduite. Nous pouvons le faire en soustrayant la moyenne et en divisant par l’écart-type entre parenthèses. Cela signifie que nous obtiendrons 𝑍 au milieu des inéquations. Et nous pouvons substituer 𝜇 est égal à 61 et 𝜎 est égal à huit pour les bornes de gauche et de droite. Nous avons donc la probabilité que 𝑍 soit compris entre 50,6 moins 61 sur huit et 61,64 moins 61 sur huit. Et cela se simplifie en la probabilité que 𝑍 soit compris entre moins 1,3 et 0,08.
Maintenant, la table de la loi normale centrée réduite que nous utilisons donne les probabilités que grand 𝑍 soit supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal au petit 𝑧. Par conséquent, nous voulons pouvoir exprimer notre probabilité sous cette forme afin de pouvoir la calculer.
En traçant la courbe, nous notons que c’est à peu près la même chose qu’avant, mais maintenant elle est centrée autour de zéro. Afin de calculer cette aire en utilisant les tables, nous pouvons la diviser en deux régions, où l’une est à droite de zéro et l’autre à gauche, comme indiqué. Autrement dit, nous avons la région où 𝑍 est entre moins 1,3 et zéro, et la région où 𝑍 est entre zéro et 0,08. Ayant fait cela, nous pouvons voir que la région de droite est sous la forme correcte pour que nous puissions la rechercher dans les tables. Cependant, pour la région de gauche, nous devrons utiliser la symétrie du graphique pour trouver l’aire.
Laissons un peu d’espace pour pouvoir écrire tout cela. Nous commençons par réécrire le calcul en fonction des deux régions distinctes. Nous voulons ensuite utiliser la propriété symétrique de la loi normale, qui nous dit que la probabilité qu’une variable soit comprise entre moins 𝑥 et zéro est la même que la probabilité qu’elle soit comprise entre plus 𝑥 et zéro. Donc, cette première probabilité est égale à la probabilité que 𝑍 soit compris entre zéro et 1,3. Enfin, nous pouvons maintenant rechercher chacune de ces valeurs 𝑧 dans les tables de la loi normale centrée réduite. Et cela nous donne 0,4032 plus 0,0319, soit 0,4351,
Ainsi, nous pouvons conclure que le pourcentage d’élèves qui pèsent entre 50,6 kilogrammes et 61,64 kilogrammes est de 43,51 pour cent.
