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Fiche explicative de la leçon : Applications de la loi normale Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment appliquer la distribution normale à des situations concrètes.

De nombreuses variables continues applicables dans des situations du quotidien suivent approximativement la loi normale. Des variables telles que les tailles et les poids collectés à partir d’échantillons non biaisés sont en principe distribuées normalement. Si l'on collecte les valeurs de telles variables à partir d’un grand échantillon aléatoire, alors on s'attend à ce que la distribution ressemble à l’histogramme suivant.

Si la distribution d’une variable continue est symétrique et concentrée autour de la moyenne (comme l’ensemble de données ci-dessus), alors on peut supposer que la variable est approximativement distribuée selon une loi normale. Pour de telles variables, afin de donner une approximation du pourcentage d’individus qui se situent dans un intervalle particulier, on peut utiliser la fonction de probabilité de la loi normale.

Par exemple, disons que l'on souhaite approximer le pourcentage de personnes en France dont la taille est comprise entre 160 cm et 180 cm. Supposons qu’après avoir collecté un grand nombre de données à partir d’un échantillon aléatoire, on a évalué la taille moyenne de l’échantillon à 175 cm et l’écart-type à 5 cm. On commence par définir une variable aléatoire 𝑋 suivant une loi normale de moyenne 175 cm et d'écart-type 5 cm. On rappelle que 𝑋𝑁𝜇;𝜎 indique que la variable 𝑋 est distribuée selon la loi normale de moyenne 𝜇 et d'écart-type 𝜎. En utilisant cette notation, on obtient 𝑋𝑁175;5. Alors, le pourcentage de personnes en France dont la taille est comprise entre 160 cm et 180 cm est approché par la probabilité 𝑃(160𝑋180). On rappelle que, puisque 𝑋 est une variable aléatoire continue, l’inégalité stricte < et l'inégalité large sont interchangeables. Ceci, en effet, car la probabilité que 𝑋 prenne une valeur particulière vaut zéro;c’est-à-dire, 𝑃(𝑋=𝑥)=0 pour tout 𝑥. En particulier, cette probabilité peut également être écrite de plusieurs manières différentes:𝑃(160𝑋180)=𝑃(160<𝑋180)=𝑃(160𝑋<180)=𝑃(160<𝑋<180).

Ainsi, il n'est pas nécessaire de se poser la question de savoir si oui ou non l’expression « entre 160 cm et 180 cm » inclut les bornes 160 cm et 180 cm.

Rappelons que si 𝑋𝑁𝜇;𝜎, alors 𝑍=𝑋𝜇𝜎 suit la loi normale centrée réduite 𝑍𝑁0;1. Ainsi, la probabilité de 𝑍 est obtenue en utilisant la courbe en cloche et la table de la loi normale centrée réduite. Dans cette fiche explicative, nous allons utiliser la table de la loi normale centrée réduite qui fournit des probabilités de la forme 𝑃(0𝑍𝑧) pour 𝑧0.

Afin de calculer la probabilité 𝑃(160𝑋180), on commence par centrer et réduire la distribution normale:𝑃(160𝑋180)=𝑃(160175𝑋𝜇180175)=𝑃(15𝑋𝜇5)=𝑃155𝑋𝜇𝜎55=𝑃3𝑋𝜇𝜎1.

Puisque la variable aléatoire 𝑍=𝑋𝜇𝜎 suit la loi normale centrée réduite, on s’intéresse à la région {3𝑍1} en traçant les courbes en cloche.

Ainsi, on peut écrire 𝑃(3𝑍1)=𝑃(0𝑍3)+𝑃(0𝑍1).

À l'aide de la table de la loi normale centrée réduite, on trouve 𝑃(0𝑍3)=0,4987 et 𝑃(0𝑍1)=0,3413. En additionnant ces nombres, on obtient 𝑃(3𝑍1)=0,4987+0,3413=0,84.

Donc, 𝑃(160𝑋180)=0,84. On rappelle que, pour convertir une probabilité en un pourcentage, il faut multiplier la probabilité par 100. Donc, 0,84×100=84%, ce qui signifie qu'environ 84% de la population française mesure entre 160 cm et 180 cm.

Étant donnée une valeur 𝑥 d’une variable aléatoire, la cote 𝑧 représente sa position par rapport à la valeur moyenne, mesurée en nombre d’écarts-types.

Définition : Cote 𝑧

Soit 𝑥 une réalisation d’une variable de moyenne 𝜇 et d'écart-type 𝜎. Alors, la cote 𝑧 associée à 𝑥 est donnée par 𝑧=𝑥𝜇𝜎.

La probabilité associée à une cote 𝑧 est 𝑃(𝑍𝑧), 𝑍 suit la loi normale centrée réduite.

On note que la formule ci-dessus est analogue à la formule utilisée précédemment pour centrer et réduire une loi normale, sauf que 𝑧 et 𝑥 sont écrits en minuscules. Par exemple, une cote 𝑧 de 1,56 indique que la valeur de 𝑥 est 1,56×𝜎 à gauche de 𝜇. En d’autres termes, 𝑥=𝜇1,56×𝜎.

Traitons quelques exemples pour se familiariser avec différentes applications.

Exemple 1: Estimer des probabilités à partir de la loi normale dans un contexte concret

Les pommes d'une récolte ont un poids moyen de 105 g avec un écart-type de 3 g. On suppose que la loi normale est un modèle approprié pour ces données. Quelle est la probabilité approximative qu’une pomme sélectionnée de façon aléatoire dans la récolte ait un poids inférieur à 105 g?

Réponse

On commence par définir 𝑋 pour représenter le poids d’une pomme, qui est supposé suivre un loi normale de moyenne 𝜇=105 et d’écart-type 𝜎=3. En d’autres termes, on peut écrire, 𝑋𝑁105;3. On cherche à calculer la probabilité 𝑃(𝑋<105).

Pour centrer et réduire la loi normale, on soustrait d’abord 𝜇=105 de chaque côté. Puis, on divise chaque côté par 𝜎=3. Enfin, on remplace par 𝑍 le terme 𝑋𝜇𝜎:𝑃(𝑋<105)=𝑃(𝑋𝜇<0)=𝑃𝑋𝜇𝜎<0=𝑃(𝑍<0).

Par symétrie de la courbe en cloche, 𝑃(𝑍<0)=0,5 , comme on peut le voir dans la figure ci-dessous.

On rappelle que, pour convertir une probabilité en un pourcentage, il faut multiplier la probabilité par 100. Or, 0,5×100=50%, ce qui signifie que la probabilité qu’une pomme sélectionnée de façon aléatoire dans la récolte ait un poids inférieur à 105 g vaut 50%.

Dans cet exemple, on a montré comment centrer et réduire la loi normale afin de calculer une probabilité. Cependant, cela n'était pas nécessaire dans cet exemple particulier, car il s'agissait simplement de calculer la probabilité qu’une pomme sélectionnée au hasard ait un poids inférieur à la moyenne. Étant donné que le poids des pommes est supposé être distribué suivant une loi normale, cela signifie, en particulier, que la distribution est symétrique par rapport à la moyenne. En d’autres termes, environ la moitié des pommes ont un poids inférieur à la moyenne et l’autre moitié ont un poids supérieur à la moyenne. En utilisant ce raisonnement, on aurait pu déduire immédiatement que 𝑃(𝑋<𝜇)=0,5.

Dans notre prochain exemple, nous allons montrer comment calculer la probabilité d’un intervalle plus complexe.

Exemple 2: Calculer des probabilités à partir d’une loi normale dans un contexte concret

Les salaires mensuels des ouvriers d’une usine sont distribués selon une loi normale de moyenne 210 livres sterling et d'écart-type 10 livres sterling. Déterminez la probabilité de choisir au hasard un travailleur dont le salaire est compris entre 184 et 233 livres sterling.

Réponse

Soit 𝑋 une variable aléatoire qui représente le salaire mensuel, distribué selon la loi normale avec 𝜇=210 et 𝜎=10. On cherche à calculer 𝑃(184𝑋233). On centre et on réduit la variable aléatoire, 𝑃(184𝑋233)=𝑃(26𝑋𝜇23)=𝑃2610𝑋𝜇𝜎2310=𝑃(2,6𝑍2,3).

Puisque 𝑃(2,6𝑍2,3) fait intervenir des valeurs positives et négatives de 𝑍, il faut séparer l'intervalle en deux régions, l'une positive et l'autre négative. Visualisons le processus en traçant la courbe en cloche.

Cela conduit aux équations suivantes:𝑃(2,6𝑍2,3)=𝑃(2,6𝑍0)+𝑃(0𝑍2,3)=𝑃(0𝑍2,6)+𝑃(0𝑍2,3).

En utilisant la table de la loi normale centrée réduite, on trouve que 𝑃(0𝑍2,6)=0,4953 et 𝑃(0𝑍2,3)=0,4893. En additionnant les probabilités, 𝑃(2,6𝑍2,3)=𝑃(0𝑍2,6)+𝑃(0𝑍2,3)=0,4953+0,4893=0,9846.

Ainsi, la probabilité de choisir au hasard un travailleur dont le salaire est compris entre 184 et 233 livres sterling vaut 0,9‎ ‎846.

Dans les deux exemples suivants, nous allons calculer le pourcentage d'individus se situant dans une fourchette donnée. On rappelle que pour convertir la probabilité en un pourcentage, il faut multiplier par 100.

Exemple 3: Estimer des pourcentages de population à partir d’une loi normale dans un context concret

Les masses d’une population de merles sont distribuées selon une loi normale de moyenne 103 g et d'écart-type 11 g.

  1. À l’unité près, quel pourcentage de merles ont une masse inférieure à 110 g?
  2. Au dixième près, quel pourcentage de merles ont une masse supérieure à 124 g?
  3. À l’unité près, quel pourcentage de merles ont une masse comprise entre 95 g et 120 g?

Réponse

Soit 𝑋 la masse d’un merle. Alors, 𝑋𝑁103;11.

Partie 1

Déterminons le pourcentage de merles dont la masse est inférieure à 110 g. En utilisant la notation de probabilité, on cherche à calculer 𝑃(𝑋<110). On commence par centrer et réduire la loi normale:𝑃(𝑋<110)=𝑃(𝑋𝜇<7)=𝑃𝑋𝜇𝜎<711=𝑃𝑍<711.

Pour utiliser la table de la loi normale normale, il faut arrondir 711 au centième près, 0,64. Ensuite, on sépare 𝑃(𝑍<0,64) en deux régions, l'une positive et l'autre négative, comme illustré ci-dessous.

Alors, 𝑃(𝑍<0,64)=𝑃(𝑍0)+𝑃(0𝑍0,64).

On rappelle que 𝑃(𝑍0)=0,5 , tandis que 𝑃(0𝑍0,64)=0,2389 est obtenu à partir de la table de la loi normale centrée réduite. En sommant les probabilités, on obtient 𝑃(𝑍<0,64)=0,5+0,2389=0,7389.

En convertissant la probabilité en pourcentage, on obtient 0,7389×100=73,89%. À l'unité près, 74% des merles ont une masse inférieure à 110 g.

Partie 2

Déterminons le pourcentage de merles dont la masse est supérieure à 124 g. En utilisant la notation de probabilité, on cherche à calculer 𝑃(𝑋>124). On commence par centrer et réduire la loi normale:𝑃(𝑋>124)=𝑃(𝑋𝜇>21)=𝑃𝑋𝜇𝜎>2111.

Il faut arrondir 2111 au centième près, 1,91. Ensuite, le membre de droite de l’équation ci-dessus est égal à 𝑃(𝑍>1,91). On représente les courbes en cloche ci-dessous pour analyser la région {𝑍>1,91}.

Ainsi, on obtient 𝑃(𝑍>1,91)=𝑃(𝑍0)𝑃(0𝑍1,91).

On sait que 𝑃(𝑍0)=0,5 et on utilise la table de la loi normale centrée réduite pour obtenir 𝑃(0𝑍1,91)=0,4719. Ainsi, 𝑃(𝑍>1,91)=0,50,4719=0,0281.

En convertissant la probabilité en pourcentage, on obtient 0,0281×100=2,81%. Au dixième près, 2,8% des merles ont une masse supérieure à 124 g.

Partie 3

Déterminons le pourcentage de merles dont la masse est comprise entre 95 g et 120 g. En utilisant la notation de probabilité, on cherche à calculer 𝑃(95𝑋120). On commence par centrer et réduire la loi normale:𝑃(95𝑋120)=𝑃(8𝑋𝜇17)=𝑃811𝑋𝜇𝜎1711.

Il faut arrondir 811 et 1711 au centième près, 0,73 et 1,55 respectivement. Ensuite, le membre de droite de l’équation ci-dessus est égal à 𝑃(0,73𝑍1,55). On utilise la symétrie de la courbe en cloche pour analyser cette probabilité.

Ainsi, on obtient 𝑃(0,73𝑍1,55)=𝑃(0𝑍0,73)+𝑃(0𝑍1,55).

En utilisant la table de la loi normale centrée réduite, on obtient 𝑃(0𝑍0,73)=0,2673 et 𝑃(0𝑍1,55)=0,4394. En additionnant les probabilités, on obtient 𝑃(0,73𝑍1,55)=0,2673+0,4394=0,7067.

En convertissant la probabilité en pourcentage, on obtient 0,7067×100=70,67%. À l'unité près, 71% des merles ont une masse comprise entre 95 g et 120 g.

Exemple 4: Utiliser les probabilités issues d’une loi normale pour résoudre un problème concret

Dans une école avec 1‎ ‎000 élèves, les tailles des élèves sont distribuées suivant une loi normale de moyenne 113 cm et d'écart-type 5 cm. Combien d’élèves sont plus petits que 121 cm?

Réponse

Soit 𝑋 une variable aléatoire qui représente la taille d’un élève. Alors 𝑋𝑁113;5. Pour répondre à la question, il faut d’abord déterminer quel pourcentage d’élèves sont plus petits que 121 cm. On calcule donc 𝑃(𝑋121). Centrer et réduire la distribution normale donne 𝑃(𝑋121)=𝑃(𝑋𝜇8)=𝑃𝑋𝜇𝜎85=𝑃(𝑍1,6).

On trace la courbe en cloche pour analyser la probabilité.

Cela donne 𝑃(𝑍1,6)=𝑃(𝑍0)+𝑃(0𝑍1,6).

Par symétrie, 𝑃(𝑍0)=0,5. En utilisant la table de la loi normale centrée réduite, on obtient 𝑃(0𝑍1,6)=0,4452. En additionnant les probabilités, on obtient 𝑃(𝑍1,6)=0,5+0,4452=0,9452.

Donc 𝑃(𝑋121)=0,9452, ce qui signifie qu’environ 0,9452×100=94,52% des élèves sont plus petits que 121 cm. Comme il y a 1‎ ‎000 élèves au total, 94,52% du total des élèves correspond à 94,52%×1000945.étudiantsétudiants

On a arrondi le membre de droite de l’équation ci-dessus à l’unité près, car le nombre d'élèves doit être entier.

Ainsi, environ 945 élèves sont plus petits que 121 cm.

Les deux paramètres 𝜇 et 𝜎 caractérisent entièrement une variable aléatoire distribuée selon une loi normale. Si les valeurs de ces deux paramètres sont données, on peut centrer et réduire la variable aléatoire et déterminer les probabilités en utilisant la table de la loi normale centrée réduite. Dans certaines situations, l'un de ces deux paramètres, ou parfois les deux, peuvent être inconnus. Dans les deux exemples suivants, nous allons considérer des situations avec des paramètres inconnus.

Exemple 5: Déterminer une moyenne en utilisant une loi normale

Les tailles d’un échantillon de fleurs sont réparties suivant une loi normale de moyenne 𝜇 et d'écart-type 12 cm. Sachant que 10,56% des fleurs sont plus petites que 47 cm, déterminer 𝜇.

Réponse

Soit 𝑋 une variable aléatoire qui représente la taille d'une fleur. Alors, 𝑋𝑁𝜇;12. Puisque 10,56% des fleurs sont plus petites que 47 cm, on sait que 𝑃(𝑋47)=0,1056. On a converti le pourcentage en un nombre décimal en divisant par 100.

On centre et on réduit la distribution normale, 𝑃(𝑋47)=𝑃(𝑋𝜇47𝜇)=𝑃𝑍47𝜇12.

Posons, 𝑧=47𝜇12. D'aprés l'énoncé, 𝑃(𝑍𝑧)=0,1056. En d’autres termes, 0,1‎ ‎056 est la probabilité associée à la cote 𝑧 donnée par 𝑧. Étant donné que la probabilité 0,1‎ ‎056 est inférieure à 0,5, 𝑧 doit être négatif.

Utilisons les figures ci-dessous pour visualiser le processus.

Cela conduit aux équations 𝑃(𝑍𝑧)=𝑃(𝑍𝑧)=𝑃(𝑍0)𝑃(0𝑍𝑧).

Puisque 𝑃(𝑍0)=0,5 et 𝑃(𝑍𝑧)=0,1056, cela signifie que 0,1056=0,5𝑃(0𝑍𝑧)𝑃(0𝑍𝑧)=0,50,1056=0,3944.

En utilisant la table de la loi normale centrée réduite, la valeur de 𝑧 qui correspond à la probabilité de 0,3‎ ‎944 est 1,25:𝑃(0𝑍𝑧)=𝑃(0𝑍1,25), donc 𝑧=1,25 ou, de manière équivalente 𝑧=1,25. On rappelle que l'on a défini 𝑧=47𝜇12. Ainsi, 47𝜇12=1,2547𝜇=15𝜇=62.

Donc, 𝜇=62cm.

Exemple 6: Déterminer une moyenne en utilisant une loi normale

Les tailles d’un groupe d’élèves suivent une loi normale avec un écart-type de 20 cm. La probabilité que la taille d’un élève soit inférieure ou égale à 180 cm est égale à la probabilité qu’une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite soit inférieure ou égale à 2,2. Déterminez la taille moyenne du groupe d’élèves.

Réponse

Soit 𝑋 une variable aléatoire qui représente la taille d'un élève et qui suit une loi normale avec 𝜎=20. Alors, 𝑋𝑁𝜇;20. On remarque ici que la moyenne 𝜇 est inconnue et l'énoncé nous demande de déterminer cette valeur.

D'après l'énoncé, 𝑃(𝑋180)=𝑃(𝑍2,2);et on rappelle que 𝑍=𝑋𝜇𝜎;donc 𝑃(𝑋180)=𝑃𝑋𝜇𝜎2,2=𝑃(𝑋𝜇2,2×𝜎)=𝑃(𝑋𝜇+2,2×𝜎).

Cela signifie que 180=𝜇+2,2𝜎. Or, on sait que 𝜎=20, 180=𝜇+2,2×20𝜇=1802,2×20=136.

Ainsi, la taille moyenne du groupe d’élèves est 136 cm.

Points clés

  • Pour les problèmes d’application impliquant une loi normale, on commence par définir 𝑋 comme la variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne 𝜇 et d'écart-type 𝜎.
  • Si le problème fournit la variance au lieu de l’écart-type, alors il faut penser à prendre la racine carrée pour obtenir l’écart-type 𝜎.
  • Étant donnée une variable aléatoire 𝑋 suivant la loi normale de moyenne 𝜇 et d'écart-type 𝜎, on peut la centrer et la réduire en utilisant la formule 𝑍=𝑋𝜇𝜎.
  • Étant donnée une valeur 𝑥 d’une variable aléatoire, sa cote 𝑧 est 𝑧=𝑥𝜇𝜎. La probabilité associée à la cote 𝑧 est 𝑃(𝑍𝑧).

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