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Vidéo de la leçon : Applications de la loi normale Mathématiques

Dans cette vidéo, on va apprendre à appliquer la loi normale dans des situations concrètes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, on va apprendre à appliquer la loi normale dans des situations concrètes. De nombreuses variables continues dans le monde réel suivent approximativement une loi normale. Par exemple, les tailles et les poids collectés à partir d’un échantillon non biaisé suivent généralement une loi normale.

Vous devriez déjà être familier avec la notion de la loi normale. Si 𝑋 est une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne 𝜇 et d’écart-type σ ou de variance σ carré, on écrit que 𝑋 suit une loi normale 𝜇, σ carré. Vous devriez également déjà connaître la courbe caractéristique en forme de cloche de la fonction de densité d’une variable aléatoire à loi normale. On rappelle en particulier qu’elle est symétrique par rapport à la moyenne 𝜇. On sait également qu’on peut utiliser la fonction de densité de la loi normale pour évaluer de manière approximative la probabilité que la valeur de la variable appartienne à un intervalle particulier.

Par exemple, l’aire sous la courbe entre les valeurs 𝑎 et 𝑏 donne la probabilité que la variable aléatoire suivant cette loi soit comprise entre 𝑎 et 𝑏, c’est-à-dire la probabilité que 𝑋 soit supérieure ou égale à 𝑎 et inférieure ou égale à 𝑏. Il est important de rappeler ici que les variables suivant une loi normale sont des variables aléatoires continues. Par conséquent, la probabilité que 𝑋 soit égale à une valeur particulière est nulle. Il n’est donc pas nécessaire de se préoccuper si les inégalités aux bornes de l’intervalle sont strictes ou larges. Et on peut être convaincu que la probabilité de 𝑋 strictement inférieure à 𝑏 est la même que la probabilité de 𝑋 inférieure ou égale à 𝑏.

Vous devriez également déjà connaître la loi normale centrée réduite, qui a une moyenne égale à zéro et un écart-type égal à un. Si 𝑋 est une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne 𝜇 et d’écart-type σ, alors 𝑍 qui est égal à 𝑋 moins 𝜇 sur σ est une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. On peut convertir une valeur petit x de la variable aléatoire X à l’échelle centrée réduite en appliquant la formule z égale petit 𝑥 moins 𝜇 sur σ. Et cette variable centrée réduite est alors standard. On peut notamment utiliser des tables de probabilité pour rechercher les probabilités associées à des valeurs de 𝑍 particulières.

La table qu’on va utiliser dans cette vidéo est la table qui correspond à l’aire comprise entre zéro et une valeur 𝑧 positive. Elle nous permet donc de rechercher la probabilité que 𝑍 soit supérieure ou égale à zéro et inférieure ou égale à une valeur positive petit 𝑧. On peut ensuite utiliser la symétrie de la densité de la loi normale et d’autres propriétés pour déterminer les probabilités associées à d’autres intervalles, comme nous le verrons dans nos exemples. Les problèmes sur lesquels on va se concentrer dans cette vidéo sont tous des applications concrètes des connaissances que nous venons de résumer. Dans le premier problème, on va voir comment estimer une probabilité à partir d’une loi normale pour un cas concret.

Dans une récolte, les pommes ont un poids moyen de 105 grammes et un écart-type de 3 grammes. On suppose qu’une loi normale est un modèle approprié pour ces données. Quelle est la probabilité approximative qu’une pomme sélectionnée au hasard dans la récolte ait un poids inférieur à 105 grammes ?

Utilisons la variable aléatoire 𝑋 pour désigner le poids d’une pomme. La question indique qu’une loi normale est appropriée pour 𝑋. Et qu’elle a une moyenne de 105 grammes et un écart-type de 3 grammes. On peut donc écrire que 𝑋 suit une loi normale 105, trois au carré. On doit alors trouver la probabilité que le poids d’une pomme sélectionnée au hasard soit inférieur à 105 grammes. En termes de probabilité, on cherche la probabilité de 𝑋 inférieure à 105.

Maintenant, avant de se lancer et d’essayer de transformer cette variable en une variable centrée réduite, faisons une pause et réfléchissons à cela. La valeur de 105 grammes est importante pour cette variable. Il s’agit en fait de sa moyenne. Et on sait que la fonction de densité d’une loi normale est symétrique par rapport à sa moyenne. Donc, elle est ici symétrique par rapport à la valeur 105. La probabilité qu’on cherche, la probabilité de 𝑋 inférieure à 105, est la probabilité qu’une observation se trouve dans la moitié inférieure des données. Sans effectuer de calculs, on peut affirmer que cette probabilité est égale à 0,5 ou 50 pour cent.

On aurait bien sûr pu passer par le processus de transformation en loi centrée réduite puis utiliser les tables de probabilités pour la distribution normale standard. Mais si on est intelligent et qu’on remarque la signification de cette valeur 105 pour cette loi, alors ce n’est pas nécessaire. On conclut donc que la probabilité approximative qu’une pomme sélectionnée au hasard dans la récolte ait un poids inférieur à 105 grammes est de 50 pour cent.

Considérons maintenant un autre exemple de calcul de probabilité pour une application concrète de la loi normale.

Les salaires mensuels des ouvriers d’une usine suivent une loi normale avec une moyenne de 210 livres et un écart-type de 10 livres. Déterminez la probabilité de choisir au hasard un ouvrier dont le salaire est compris entre 184 et 233 livres.

Commençons par introduire la variable aléatoire 𝑋 pour désigner le salaire mensuel. La question indique que les salaires suivent une loi normale avec une moyenne de 210 livres et un écart-type de 10 livres. On peut donc écrire que 𝑋 suit une loi normale 210, 10 au carré.

On doit alors déterminer la probabilité qu’un ouvrier choisi au hasard ait un salaire compris entre 184 et 233 livres. Il s’agit de la probabilité que 𝑋 soit supérieure ou égale à 184 et inférieure ou égale à 233. Voyons maintenant à quoi ressemblerait l’aire sous la courbe de la fonction de densité de cette loi. On sait que cette courbe est symétrique par rapport à la moyenne de 210. 184 est inférieur à 210 donc cette valeur est située dans la moitié inférieure des données, alors que 233 est supérieur à 210 donc cette valeur est située dans la moitié supérieure. La probabilité qu’on cherche est alors égale à l’aire sous la courbe entre ces deux valeurs.

Pour trouver ces probabilités, on doit d’abord transformer les valeurs de 184 et 233 en valeurs de la loi normale centrée réduite grâce à la formule z égale 𝑥 moins 𝜇 sur σ. Pour 184, on a z égale 184 moins 210 sur 10, ce qui est égal à moins 2,6. Et pour 233, z égale 233 moins 210 sur 10, soit 2,3. Sur une échelle centrée réduite, l’aire qu’on cherche est donc comprise entre les valeurs moins 2,6 et 2,3. La probabilité que 𝑋 soit supérieure ou égale à 184 et inférieure ou égale à 233 est la même que la probabilité que la variable aléatoire 𝑍 suivant la loi normale centrée réduite soit supérieure ou égale à moins 2,6 et inférieure ou égale à 2,3.

La région dont nous recherchons l’aire est constituée de zones situées de chaque côté de la moyenne, on doit donc déterminer la meilleure façon de la trouver. L’aire à droite de la moyenne, qui est la probabilité que 𝑍 soit comprise entre zéro et 2,3, est dans le bon format pour pouvoir utiliser la table de probabilité. On y viendra dans un instant. Mais qu’en est-il de l’aire située à gauche de la moyenne ? Il s’agit de la probabilité que 𝑍 soit supérieure ou égale à moins 2,6 et inférieure ou égale à zéro.

On rappelle alors que la fonction de densité de la loi normale est symétrique. La probabilité que 𝑍 soit supérieure ou égale à moins 2,6 et inférieure ou égale à zéro est la même que la probabilité que 𝑍 soit supérieure ou égale à zéro et inférieure ou égale à 2,6. Et cette probabilité est bien dans le format requis pour la rechercher dans la table de la loi normale. On va donc trouver les probabilités associées aux variables centrées réduites correspondantes aux observations 2,6 et 2,3, puis les additionner. Voici la table de la loi normale. Elle présente l’unité et la première décimale de la valeur de z dans la première colonne, puis les valeurs de la deuxième décimale dans la ligne du haut.

En lisant la table, on voit que la probabilité associée à la valeur 2,6 est 0,4953, ce qui, par symétrie est égal à la probabilité que 𝑍 soit supérieure ou égale à moins 2,6 et inférieure ou égale à zéro. Et la probabilité associée à la valeur 2,3 est 0,4893. La somme de ces valeurs donne 0,9846. On peut donc conclure que la probabilité de choisir au hasard un ouvrier dont le salaire est compris entre 184 et 233 livres est de 0,9846.

Étudions maintenant un dernier exemple. Dans ce problème, un des deux paramètres de la loi normale est inconnu. Et on doit le calculer en utilisant d’autres informations données dans la question.

Les tailles des fleurs dans un échantillon suivent une loi normale avec une moyenne 𝜇 et un écart-type de 12 centimètres. Sachant que 10,56 pour cent des fleurs ont une taille inférieure à 47 centimètres, déterminez 𝜇.

Il est indiqué que les tailles des fleurs dans cet échantillon suivent une loi normale. On connaît de plus l’écart-type, il est égal à 12 centimètres. Mais on ne connaît pas sa moyenne. Utilisons la variable aléatoire 𝑋 pour représenter la taille des fleurs. On peut alors dire que 𝑋 suit une loi normale 𝜇, 12 au carré. L’autre information donnée dans la question est que 10,56 pour cent de cet échantillon de fleurs ont une taille inférieure à 47 centimètres. En notation de probabilité, on peut écrire que la probabilité que 𝑋 soit inférieur à 47 est égale à 0,1056.

Réfléchissons à ce que cela nous indique concernant l’aire sous la courbe de la fonction de densité de la loi normale. Comme cette probabilité est inférieure à 0,5, cela nous indique que la valeur de 47 est dans la moitié inférieure des données. Et cette probabilité de 0,1056 correspond à l’aire sous la courbe de la fonction de densité à gauche de 47. Cette probabilité a probablement été calculée en déterminant la variable centrée réduite pour l’observation 47 et en utilisant ensuite des tables de probabilité. On va maintenant tenter ce processus, mais en sens inverse.

On rappelle que la formule de la variable centrée réduite z pour une observation 𝑥 est z égale 𝑥 moins 𝜇 sur σ. Comme cette valeur de 47 est dans la moitié inférieure des données, la valeur z qui lui est associée doit être négative. Mais rappelez-vous que les valeurs négatives de z n’apparaissent pas dans la table de la loi normale. On ne peut rechercher que des valeurs positives. Si on considère plutôt l’opposé de cette valeur z, ce sera une valeur positive car l’opposé d’un nombre négatif est positif.

D’après la symétrie de la courbe de la densité de la loi normale, l’aire à gauche de notre valeur z est la même que l’aire à droite de son opposé. Donc, cette aire ici dans la moitié supérieure des données est aussi égale à 0,1056. On peut alors calculer l’aire entre zéro et l’opposé de notre valeur z, en utilisant le fait que l’aire de chaque côté de la moyenne est égale à 0,5. Donc, l’aire de cette zone maintenant hachée en orange est égale à 0,3944. On a ainsi enfin déterminé une probabilité pour laquelle on peut utiliser la table de la loi normale centrée réduite. En utilisant la table en sens inverse, on peut rechercher la valeur de Z associée à la probabilité 0,3944.

Rappelez-vous cependant que cela nous donnera l’opposé de la variable centré réduit correspondante à l’observation 47. En regardant attentivement la table de probabilité, on voit que la valeur de Z associée à la probabilité 0,3944 est 1,25. Cela nous dit que moins z est égal à 1,25, donc z égale moins 1,25. Cela signifie que l’observation 47 est inférieure de 1,25 écart-type à la moyenne de la loi. Pour déterminer la moyenne, on a alors le processus de calcul de la valeur z.

En substituant moins 1,25 à z, 47 à 𝑥 et 12 à σ, on a moins 1,25 égale 47 moins 𝜇 sur 12. On peut multiplier les deux membres de l’équation par 12 pour obtenir 12 fois moins 1,25 égale 47 moins 𝜇. Et 12 fois moins 1,25 égale moins 15. On peut alors soustraire 47 de chaque membre, ce qui donne moins 15 moins 47 égale moins 𝜇, et moins 15 moins 47 égale moins 62. Enfin, en divisant ou en multipliant les deux membres de l’équation par moins un, on obtient 𝜇 égale 62. On a ainsi déterminé que la moyenne de cette loi modélisant la taille des fleurs dans un échantillon est de 62 centimètres.

Passons maintenant en revue certains des points clés de cette vidéo. De nombreuses variables continues dans le monde réel suivent approximativement la loi normale. On a vu des exemples concernant le poids de pommes, le salaire d’ouvriers et enfin, la hauteur de fleurs. Dans les problèmes relatifs à la loi normale, on commence généralement par donner un nom, souvent 𝑋, à la variable aléatoire suivant la loi normale. On écrit ensuite que 𝑋 suit une loi normale 𝜇, σ au carré. Ces paramètres peuvent être connus ou l’un d’entre eux peut être inconnu, selon le problème.

On peut alors transformer une observation petit x de la variable aléatoire X en une valeur centrée réduite en utilisant la formule z égale petit 𝑥 moins 𝜇 sur σ. Cela donne une observation de la loi normale centrée réduite qui a une moyenne de zéro et un écart-type de un. Les probabilités de la loi normale centrée réduite peuvent être déterminées à l’aide de la table de la loi normale ou de calculatrices scientifiques. La table qu’on a utilisée dans cette vidéo concerne les probabilités de la forme 𝑍 supérieure ou égale à zéro et inférieure ou égale à une valeur positive petit 𝑧. Mais d’autres types de tables existent.

Enfin, on peut utiliser la symétrie de la courbe de la fonction de densité de la loi normale pour effectuer des équivalences entre les probabilités de ces tables et les probabilités correspondantes à d’autres régions sous la courbe.

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