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Considérons deux fils conducteurs de courant parallèles et une petite boussole entre les fils. Un fil est à une distance de 30 centimètres de la boussole et conduit un courant d’intensité de trois ampères du dessous du plan de la boussole au-dessus du plan de la boussole. L’autre fil est à une distance de 50 centimètres de la boussole, et l’aiguille de la boussole pointe initialement vers ce fil. Que devrait être l’intensité du courant traversant le deuxième fil pour que l’aiguille de la boussole ne soit pas déviée ? (A) cinq ampères, (B) 1,8 ampères, (C) 8,3 ampères, ou (D) 1,1 ampères.
Commençons par dessiner un schéma de la configuration décrite. Donc, nous avons deux fils droits parallèles. Et on nous dit qu’il y a une petite boussole à une certaine position entre eux. On nous dit également que le fil le plus proche de la boussole transporte un courant de trois ampères du dessous du plan de la boussole au-dessus du plan de la boussole. Appelons ce courant 𝐼 un. On nous dit également que l’autre fil transporte un courant, mais on ne nous donne pas l’intensité ni le sens de ce courant. Pour l’instant, appelons-le 𝐼 deux.
Maintenant, comme les fils vont du dessous du plan de la boussole au-dessus, cela signifie que sur cette figure, nous regardons le côté de la boussole. Changeons de vue pour regarder la scène d’en haut. Ici, nous avons dessiné la boussole un peu plus grande pour pouvoir voir l’aiguille. Et nous regardons maintenant la section de chaque fil. Alors, dans la question, on nous dit que l’aiguille de la boussole pointe initialement vers le fil le plus éloigné, donc à droite sur notre figure. Et nous devons calculer l’intensité du courant dans ce fil, 𝐼 deux, qui empêcherait l’aiguille de la boussole de dévier de cette position.
Donc, pour répondre à cette question, nous devrons rappeler qu’un courant va créer un champ magnétique autour de lui-même. Pensons au champ magnétique produit par le courant de trois ampères, 𝐼 un, dans le fil à gauche. Les lignes de champ magnétique suivent un motif circulaire autour d’un fil conducteur de courant, comme ceci. Cela signifie qu’au centre de la boussole, le sens du champ magnétique produit par 𝐼 un sera ainsi. Appelons l’intensité du champ en ce point 𝐵 un. Maintenant, l’aiguille d’une boussole s’aligne naturellement avec le champ magnétique qu’elle subit. Donc, si 𝐵 un était le seul champ magnétique ici, nous nous attendrions à voir l’aiguille de la boussole dévier vers cette position. Cependant, 𝐵 un n’est pas le seul champ magnétique dans ce scénario. Nous avons également un champ magnétique produit par le courant 𝐼 deux dans l’autre fil.
Maintenant, le seul moyen pour que l’aiguille de la boussole reste non déviée de cette position est que le champ magnétique produit par 𝐼 un et le champ magnétique produit par 𝐼 deux s’annulent parfaitement à la position de la boussole. En d’autres termes, si l’intensité du champ magnétique produit par 𝐼 deux à la position de la boussole, appelons-le 𝐵 deux, est exactement la même mais agit dans le sens opposé à 𝐵 un, alors les deux champs s’annuleront de sorte que l’intensité de champ nette à la position de la boussole est zéro. Et si l’intensité du champ magnétique est nulle, l’aiguille ne déviera pas. En d’autres termes, il faut que 𝐵 un, l’intensité du champ magnétique à la position de la boussole due à 𝐼 un, plus 𝐵 deux, l’intensité du champ magnétique à la position de la boussole due à 𝐼 deux, soit égale à zéro. Nous pouvons réarranger cette équation comme 𝐵 deux est égal à moins 𝐵 un.
Maintenant, à ce stade, nous pouvons rappeler que l’intensité du champ magnétique mesurée à une certaine distance d’un fil conducteur de courant est donnée par l’équation 𝐵 égale 𝜇 zéro 𝐼 sur deux 𝜋𝑟, où 𝜇 zéro est la perméabilité du vide, 𝐼 est le courant dans le fil, et 𝑟 est la distance par rapport au fil où l’intensité du champ magnétique est calculée. Nous pouvons utiliser cette expression pour réécrire 𝐵 deux et 𝐵 un dans l’équation que nous avons écrite à droite. Donc, 𝐵 deux, c’est l’intensité du champ magnétique à la position de la boussole due à 𝐼 deux, peut être écrit 𝜇 zéro fois 𝐼 deux sur deux 𝜋𝑟 deux. Et 𝐵 un peut s’écrire 𝜇 zéro 𝐼 un sur deux 𝜋𝑟 un. Ici, 𝑟 deux est la distance entre le centre de la boussole et le fil conduisant 𝐼 deux. Et 𝑟 un est la distance entre le centre de la boussole et le fil conduisant 𝐼 un.
Alors maintenant, tout ce que nous devons faire pour trouver la réponse à la question est de résoudre cette équation pour 𝐼 deux. Nous pouvons commencer par remarquer que les deux côtés de l’équation contiennent un facteur 𝜇 zéro sur deux 𝜋. Ainsi, nous pouvons diviser les deux côtés de l’équation par 𝜇 zéro sur deux 𝜋, ce qui nous laisse avec 𝐼 deux sur 𝑟 deux égal à moins 𝐼 un sur 𝑟 un. Ensuite, nous pouvons multiplier les deux côtés de l’équation par 𝑟 deux pour nous donner 𝐼 deux égal à moins 𝐼 un sur 𝑟 un fois 𝑟 deux. Et maintenant, tout ce que nous devons faire est de remplacer chacune des valeurs connues.
Tout d’abord, on nous dit que 𝐼 un, le courant dans le fil le plus proche de la boussole, est de trois ampères. Ensuite, nous savons que 𝑟 un, la distance de la boussole au fil le plus proche, est de 30 centimètres. Et en unités SI, cela fait 0,3 mètre. Enfin, 𝑟 deux, c’est la distance de la boussole au fil conduisant 𝐼 deux, est de 50 centimètres. Et en unités SI, cela fait 0,5 mètre. En calculant cette expression, nous obtenons une valeur de moins cinq ampères.
Alors, nous avons obtenu une valeur négative ici. Mais tout cela signifie que le courant 𝐼 deux doit être dans le sens opposé au courant positif 𝐼 un. Cependant, nous n’avons pas besoin d’inclure ce signe moins dans notre réponse, car la question ne demande que l’intensité du courant. Cela signifie que notre réponse finale à la question est l’option (A). L’intensité du courant passant à travers le deuxième fil pour que l’aiguille de la boussole ne soit pas déviée devrait être de cinq ampères.
