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La mesure de l'angle compris entre deux forces est 120 degrés, et l'intensité de leur résultante est de 79 newtons. Déterminez leurs intensités, sachant qu'elles ont une différence de 51 newtons.
Commençons par définir chacune de nos forces. Définissons les forces comme étant des quantités vectorielles 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux d’intensités 𝐹 indice un et 𝐹 indice deux, respectivement. Ensuite, nous définirons leur résultante comme étant le vecteur 𝐑. Et puisque la résultante de deux forces est trouvée en calculant leur somme, le vecteur 𝐑 est la somme du vecteur 𝐅 un et du vecteur 𝐅 deux. Supposons alors que le vecteur 𝐅 un agit dans la direction des 𝑥 positives comme indiqué. On nous dit que l’angle entre les forces est de 120 degrés. Nous pouvons donc mettre le vecteur force 𝐅 deux comme agissant dans la direction indiquée. Si nous faisons un schéma de telle sorte que le point d’application de 𝐅 deux agit à partir de l’extrémité de 𝐅 un, alors nous pouvons ajouter la force résultante au diagramme comme indiqué.
Alors, regardons cela comme un triangle de forces. La longueur de chaque côté représente la norme de chaque vecteur. Ainsi, la base de ce triangle est 𝐹 un, et l’un de ses autres côtés est 𝐹 deux. Puisque l’intensité de la résultante est 79, le troisième côté de ce triangle est 79 newtons. Maintenant, il y a un calcul supplémentaire que nous pouvons faire. Nous pouvons trouver l’angle, appelons cela 𝜃, entre deux côtés de notre triangle. En regardant notre diagramme de force d’origine, nous voyons que nous avons construit deux côtés représentant la force 𝐹 deux. Par définition, ceux-ci doivent absolument être parallèles. Cela signifie que l’angle 𝜃 est supplémentaire à l’angle de 120 degrés. C’est-à-dire qu’ils totalisent 180. Cela signifie que 𝜃 doit être égal à 180 moins 120, ce qui est de 60 degrés. Donc, nous avons un triangle de forces ayant un angle de 60 degrés et un côté de 79 newtons.
Nous pouvons utiliser la loi des cosinus pour relier tous ces éléments. Définissant l’angle de 60 degrés comme l’-angle 𝐴 majuscule et le côté opposé comme étant 𝑎 minuscule, la loi des cosinus nous dit que 𝑎 au carré est égal à 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins deux 𝑏𝑐 cosinus 𝐴. Nous remplaçons ensuite tout ce que nous savons de notre triangle dans cette formule. Nous obtenons 79 au carré égal 𝐹 un carré plus 𝐹 deux carré moins deux 𝐹 un 𝐹 deux cosinus 60. Or 79 carré est 6241, tandis que cosinus 60 est un demi. Donc, cela se simplifie à 6241 égal 𝐹 un carré plus 𝐹 deux carré moins 𝐹 un fois 𝐹 deux.
Maintenant nous allons avoir un problème parce que nous avons une équation impliquant deux inconnues. Donc, nous devons utiliser un dernier fait, et c’est que les intensités des forces ont une différence de 51 newtons. Nous ne savons pas quelle est la plus grande force. Donc, nous faisons une hypothèse. Nous supposerons que 𝐹 un est plus grande, donc 𝐹 un moins 𝐹 deux est égale à 51. Nous pouvons alors réorganiser et dire que cela signifie que 𝐹 un est égal à 51 plus 𝐹 deux. Dans cet esprit, nous pouvons ensuite remplacer par 51 plus 𝐹 deux toute instance de 𝐹 un dans notre équation précédente. Cela aboutira à une équation du second degré en 𝐹 deux, que nous pouvons alors résoudre. Le côté droit deviendra 51 plus 𝐹 deux au carré plus 𝐹 deux au carré moins 51 plus 𝐹 deux fois 𝐹 deux. Et puis nous développons nos parenthèses comme indiqué.
Nous simplifions d’abord en remarquant que 𝐹 deux carré moins 𝐹 deux carré est zéro. Et donc nous obtenons l’équation 6241 égale 2601 plus 51𝐹 deux plus 𝐹 deux carré. Enfin, soustrayons 6241 des deux côtés, et nous sommes prêts à résoudre cette équation. Nous pouvons factoriser le côté droit pour obtenir 𝐹 deux moins 40 fois 𝐹 deux plus 91. Ensuite, en mettant chaque expression dans chaque paire de parenthèses à zéro, nous trouvons 𝐹 deux égal 40 ou 𝐹 deux égal 91. Rappelez-vous cependant que 𝐹 deux est l’intensité de cette force, donc elle doit être positive. Et donc nous choisissons 𝐹 deux égale 40.
Dans cet esprit, nous pouvons alors trouver la valeur de 𝐹 un. Nous revenons à notre équation précédente 𝐹 un égale 51 plus 𝐹 deux. Puisque 𝐹 deux est 40, 𝐹 un est 51 plus 40, ce qui équivaut à 91. Et nous avons donc trouvé les intensités des deux forces en question. Ils sont 40 newtons et 91 newtons.
