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Fiche explicative de la leçon : Résultante de deux forces Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer la force résultante de deux forces agissant sur un même point et à déterminer la direction de cette résultante.

Nous commençons par définir une force et explorer ses propriétés.

Définition : Force

La force est définie comme l’effet d’un corps sur un autre. Chaque force est décrite en fonction de son intensité (taille), de sa direction, de son sens, de son point d’action et de sa ligne d’action.

On représente souvent une force en utilisant la notation 𝐹.

Propriétés : Forces

  1. L’intensité d’une force est sa taille, qui est mesurée en newtons (N). En utilisant un segment dirigé pour représenter la force 𝐹, et en traçant le segment à une échelle appropriée, nous pouvons utiliser la longueur du segment pour indiquer l’intensité, 𝐹.
  2. La direction d’une force est la direction dans laquelle elle agit. En utilisant un segment dirigé pour représenter la force 𝐹, on peut utiliser le sens de la flèche pour montrer le sens de la force.
  3. Le point d’action d’une force est le point auquel elle est appliquée.
  4. La ligne d’action d’une force est un moyen géométrique de représenter son application. Elle est tracée comme une ligne passant par le point d’action dans la même direction que 𝐹.

Par exemple, le diagramme ci-dessous montre la force 𝐹 représentée par le segment dirigé 𝐴𝐵.

L’intensité de la force est déterminée par 𝐴𝐵. Le sens de la flèche correspond au sens de 𝐹. Le point d’action est 𝐴. La ligne d’action est indiquée en étendant 𝐴𝐵 dans la même direction (comme indiqué par la ligne pointillée).

Une force agissant sur un corps est représentée par un vecteur 𝐹. Lorsque deux forces agissent sur un même corps, la force décrivant leur action combinée est appelée la force résultante.

Définition : Force résultante

Lorsque deux forces, 𝐹 et 𝐹 agissent sur un corps au même point, l’action combinée de ces deux forces est la même que l’action d’une unique force, appelée la force résultante.

La force résultante, notée 𝑅, est donnée par 𝑅=𝐹+𝐹.

On peut représenter l’égalité vectorielle 𝑅=𝐹+𝐹 de deux façons, comme illustré sur la figure suivante.

Puisque 𝐹, 𝐹 et 𝑅 sont trois côtés d’un triangle, nous pouvons utiliser soit la loi des sinus, soit la loi des cosinus, dans le triangle pour déterminer l’intensité de la force résultante des deux forces, les angles entre la force résultante et les forces, ou toute autre inconnue.

Soit 𝛼 l’angle entre les forces 𝐹 et 𝐹, soit 𝜃 l’angle entre 𝑅 et 𝐹, et soit 𝜃 l’angle entre 𝑅 et 𝐹, comme illustré sur la figure ci-dessous.

En appliquant la loi des sinus dans ce triangle, on obtient 𝐹𝜃=𝐹𝜃=𝑅(180𝛼),sinsinsin𝐹, 𝐹 et 𝑅 sont les intensités des vecteurs 𝐹, 𝐹 et 𝑅 respectivement.

Puisque sinsin(180𝑥)=𝑥 pour tout 𝑥, nous avons la propriété suivante.

Propriété : Loi de sinus dans un triangle formé par deux forces et leur force résultante

Nous avons toujours 𝐹𝜃=𝐹𝜃=𝑅𝛼,sinsinsin𝐹, 𝐹 et 𝑅 sont les intensités des vecteurs 𝐹, 𝐹 et 𝑅, respectivement, et où 𝛼 est l’angle entre les forces 𝐹 et 𝐹, 𝜃 est l’angle entre 𝑅 et 𝐹, et 𝜃 est l’angle entre 𝑅 et 𝐹.

En appliquant à présent la loi des cosinus dans ce même triangle, on obtient 𝑅=𝐹+𝐹2𝐹𝐹(180𝛼).cos

Puisque coscos(180𝑥)=𝑥 pour tout 𝑥, nous avons la propriété suivante.

Propriété : Loi des cosinus dans un triangle formé par deux forces et leur force résultante

Nous avons toujours 𝑅=𝐹+𝐹+2𝐹𝐹𝛼,cos𝐹, 𝐹 et 𝑅 sont les intensités des vecteurs 𝐹, 𝐹 et 𝑅, respectivement, et 𝛼 est l’angle entre les forces 𝐹 et 𝐹.

En prenant la racine carrée des deux côtés de l’égalité ci-dessus et en rappelant que l’intensité d’un vecteur est positive, on peut obtenir une formule explicite pour 𝑅, l’intensité de 𝑅. Il est également simple de dériver une formule pour la direction de 𝑅. Nous indiquons ces résultats ci-dessous.

Formule : Intensité et direction de la résultante de deux forces

Soit 𝑅 la force résultante de deux forces, 𝐹 et 𝐹, qui agissent en un seul point avec un angle 𝛼 entre eux. Alors, 𝑅=𝐹+𝐹+2𝐹𝐹𝛼𝜃=𝐹𝛼𝐹+𝐹𝛼,cosettansincos𝐹, 𝐹 et 𝑅 sont les intensités de 𝐹, 𝐹 et 𝑅, respectivement, et 𝜃 est l’angle entre 𝑅 et 𝐹.

Commençons par un exemple dans lequel on calcule l’intensité de la force résultante de deux forces s’exerçant sur un même point.

Exemple 1: Calcul de l’intensité de la force résultante de deux forces

Deux forces de intensités 35 N et 91 N agissent sur une particule. Calculez l’intensité de la force résultante, sachant que celle-ci est orthogonale à la première force.

Réponse

Pour simplifier le problème, on peut supposer, sans perte de généralité, que cette première force agit horizontalement. Appelons cette force 𝐹 et la seconde force 𝐹. La résultante de ces forces, que l’on note 𝐹+𝐹, agit verticalement puisqu’étant orthogonale à 𝐹, comme illustré sur la figure suivante.

La force 𝐹 peut être représenté par une flèche dont l’origine est sur l’extrémité de 𝐹  et dont l’extrémité coïncide avec l’extrémité de 𝐹+𝐹, comme illustré sur la figure suivante.

La force résultante 𝑅 est donnée par 𝑅=𝐹+𝐹.

Les vecteurs 𝐹 et 𝑅 étant orthogonaux, les deux forces et leur force résultante forment un triangle rectangle. Donc, en appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle, on obtient 𝐹+𝑅=𝐹.

Il convient de noter que le théorème de Pythagore n’est qu’un cas particulier de la loi des cosinus.

En substituant les valeurs de 𝐹 et 𝐹 dans l’équation précédente, on trouve que 35+𝑅=91𝑅=9135=7056𝑅=7056=84.N

Remarquons que l’intensité d’un vecteur étant une quantité positive, 84N n’est pas une solution.

La force résultante a donc une intensité égale à 84 N.

Regardons maintenant un exemple dans lequel on détermine la direction et le sens de l’action de la force résultante de deux forces.

Exemple 2: Calcul de la direction et du sens de la force résultante de deux forces agissant au même point

Deux forces d’intensités 88 N et 44 N agissant orthogonalement sur un même point. Leur force résultante forme un angle 𝜃 avec la force d’intensité 88 N. Calculez sin𝜃.

Réponse

On suppose pour simplifier, et sans perte de généralité, qu’une des forces agit horizontalement. On note cette force 𝐹 et la seconde force 𝐹, comme indiqué sur la figure suivante.

En choisissant de faire de 𝐹 le côté adjacent à 𝜃, c’est cette force qui a pour intensité 88 newton. L’intensité de 𝐹 est égale à 44 newtons;donc, l’intensité de 𝐹 est la moitié de celle de 𝐹. L’intensité de la force résultante, que l’on note, 𝑅, est donnée par 𝑅=𝐹+𝐹=𝐹+𝐹2.

On déduit de cette expression que 𝑅=𝐹+𝐹2=𝐹+𝐹4=54𝐹.

En prenant la racine carrée des deux côtés, on a 𝑅=5𝐹2.

En appliquant la loi des sinus dans ce triangle, on obtient sinsin𝜃𝐹=90𝑅.

Puisque sin90=1, nous avons sinsin𝜃=𝐹𝑅𝜃==15=55.

Ainsi, on a sin𝜃=55.

Regardons maintenant un exemple dans lequel nous devons déterminer les intensités de deux forces orthogonales dont la force résultante est d’intensité, direction et sens connus.

Exemple 3: Calcul de deux forces étant donnés l’intensité, le sens et la direction de leur force résultante

Deux forces orthogonales, notées, 𝐹 et 𝐹, agissent au même point. Leur force résultante, notée, 𝑅, est d’intensité 188 N et forme un angle de 60 avec 𝐹. Calculez les intensités des forces 𝐹 et 𝐹.

Réponse

Les forces orthogonales, 𝐹 et 𝐹, ainsi que l’intensité de leur force résultante sont représentées sur la figure suivante.

On voit que les forces 𝐹 et 𝐹 sont orthogonales et que la force résultante 𝐹+𝐹 forme un angle de 60 avec 𝐹. Puisque nous sommes dans un triangle rectangle, nous avons coscosN60=𝐹188𝐹=18860=12×188=94 et sinsinN60=𝐹188𝐹=18860=32×188=943.

La force 𝐹 a une intensité égale à 94 N, et 𝐹 a une intensité égale à 943N.

Étudions à présent un exemple portant sur deux forces non orthogonales.

Exemple 4: Recherche d’une force inconnue étant données des propriétés de la force résultante

L’angle formé par les forces 𝐹 et 𝐹 est égal à 112, et la mesure de l’angle entre leur force résultante et 𝐹 est de 56. Si l’intensité de 𝐹 est égale à 28 N, quelle est l’intensité de la force 𝐹?

Réponse

La figure suivante montre les forces 𝐹 et 𝐹 et leur résultante 𝐹+𝐹. Les forces agissent sur le point 𝑃.

Les forces 𝐹 et 𝐹 forment un parallélogramme dont la diagonale contenant 𝑃 est la force résultante.

L’angle 𝜃, formé par 𝐹 et la force résultante de 𝐹 et 𝐹, est donnée par 𝜃=11256=56.

Nous pouvons maintenant noter cet angle ainsi que son angle alterne-interne sur la figure, comme illustré ci-dessous.

En appliquant la loi des sinus dans le triangle formé par 𝐹, 𝐹 et 𝐹+𝐹, on trouve que 𝐹56=𝐹56,sinsin c’est-à-dire 𝐹=𝐹.

Puisque la force 𝐹 est d’intensité 28 N, la force 𝐹 est, elle aussi, d’intensité égale à 28 N.

Étudions, sur un dernier exemple, ce qui se produit lorsque l’on change le sens de l’une des deux forces.

Exemple 5: Calcul de l’intensité commune de deux forces étant donnée leur force résultante dans deux cas

Deux forces de intensités égales à 𝐹N, agissent au même point. Leur force résultante est d’intensité égale à 90 N. Lorsque l’on change le sens de l’une des forces, la nouvelle force résultante a une intensité égale à 90 N. Calculez la valeur de 𝐹.

Réponse

Illustrons le premier cas.

Lorsque l’on ajoute deux forces, 𝐹 et 𝐹, leur force résultante est la diagonale du parallélogramme formé par 𝐹 et 𝐹, d’origine le point d’application de 𝐹 et 𝐹. Si les deux forces ont la même intensité, alors le parallélogramme est un losange, et le triangle formé par les deux forces et leur force résultante est isocèle, comme le montre la figure suivante.

En appliquant la loi des cosinus, on constate que 𝑅=𝐹+𝐹+2𝐹𝐹𝛼,cos avec 𝐹=𝐹, 𝐹=𝐹 et 𝑅=𝑅.

Puisque 𝐹=𝐹=𝐹, nous avons 𝑅=2𝐹+2𝐹𝛼.cos

Si nous changeons à présent le sens de l’une des deux forces (le choix de la force n’est pas important car les deux situations sont symétriques et donnent le même résultat), alors la force résultante est toujours la diagonale d’un losange isométrique au précédent, à ceci près qu’il s’agit de l’autre diagonale, et l’angle formé par les forces 𝐹 et 𝐹 devient alors 180𝛼.

L’intensité de 𝐹 est égale à l’intensité 𝐹, 𝐹.

En appliquant la loi des cosinus dans le triangle formé par 𝐹, 𝐹 et leur force résultante, on obtient 𝑅=2𝐹+2𝐹(180𝛼),cos c’est-à-dire 𝑅=2𝐹2𝐹𝛼.cos

D’après l’énoncé, l’intensité de la résultante reste la même;dans les deux cas, elle est égale à 90 N. Donc, nous avons 𝑅=𝑅=90,N ce qui implique que 2𝐹+2𝐹𝛼=2𝐹2𝐹𝛼=90.coscos

Ceci ne peut être vrai que dans le cas où cos𝛼=0, c’est-à-dire si 𝛼=90. Les forces 𝐹 et 𝐹 sont donc orthogonales.

Donc, nous avons 2𝐹=90𝐹=902𝐹=9012𝐹=452.N

Il convient de noter que, dans l’exemple précédent, on aurait pu déduire l’orthogonalité des forces à partir de considérations géométriques élémentaires:un losange dont les diagonales sont égales entre elles est un carré.

Résumons maintenant ce qui a été appris dans ces exemples.

Points clés

  • La force est définie comme l’effet d’un corps sur un autre. Chaque force est décrite en fonction de son intensité (taille), de sa direction, de son sens, de son point d’action et de sa ligne d’action. On représente souvent une force en utilisant la notation 𝐹.
  • La force résultante, notée 𝑅 de deux forces, 𝐹 et 𝐹, agissant sur un corps au même point est une force unique qui est donnée par 𝑅=𝐹+𝐹.
  • L’action combinée des forces 𝐹 et 𝐹 est égale à l’action de la seule force 𝑅.
  • Les forces 𝐹, 𝐹 et 𝑅 forment trois côtés d’un triangle, ou deux côtés adjacents et une diagonale d’un parallélogramme..
  • En appliquant la loi des sinus dans le triangle formé par les deux forces 𝐹 et 𝐹 et leur force résultante, notée 𝑅, on obtient 𝐹𝜃=𝐹𝜃=𝑅𝛼,sinsinsin𝐹, 𝐹 et 𝑅  sont les intensités respectives des forces 𝐹, 𝐹 et 𝑅, et où 𝛼 est l’angle formé par les forces 𝐹 et 𝐹, 𝜃 est l’angle formé par les forces 𝑅 et 𝐹, et 𝜃 est l’angle formé par les forces 𝑅 et 𝐹.
  • En appliquant la loi des cosinus dans le triangle formé par les deux forces 𝐹 et 𝐹 et leur force résultante, notée 𝑅, on obtient 𝑅=𝐹+𝐹+2𝐹𝐹𝛼,cos𝐹, 𝐹 et 𝑅 sont les intensités respectives des forces 𝐹, 𝐹 et 𝑅, et où 𝛼 est l’angle formé par les forces 𝐹 et 𝐹.
  • Soit 𝑅 la force résultante de deux forces, 𝐹 et 𝐹, qui agissent en un seul point avec un angle 𝛼 entre eux. Alors, 𝑅=𝐹+𝐹+2𝐹𝐹𝛼𝜃=𝐹𝛼𝐹+𝐹𝛼,cosettansincos𝐹, 𝐹 et 𝑅 sont les intensités de 𝐹, 𝐹 et 𝑅, respectivement, et 𝜃 est l’angle entre 𝑅 et 𝐹.

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