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Vidéo de la leçon: La résultante de deux forces Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer la résultante de deux forces qui agissent sur un point et déterminer la direction de la résultante.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer la résultante de deux forces agissant sur un même point et à déterminer la direction de la résultante. Nous commençons par définir une force et explorer ses propriétés.

La force est définie comme l’effet d’un corps sur un autre. Chaque force est décrite en fonction de son intensité, de sa direction, de son point d’action et de sa ligne d’action. Nous représentons une force en utilisant le vecteur de notation 𝐅 comme indiqué.

Considérons maintenant les propriétés de la norme, de la direction, du point d’action et de la ligne d’action d’une force. L’intensité d’une force est sa taille, qui est mesurée en newtons. En utilisant un segment de droite dirigé pour représenter la force 𝐅 et en traçant la droite à une échelle appropriée, nous pouvons utiliser la longueur du segment pour désigner l’intensité. Cela peut être écrit comme indiqué.

La direction d’une force est la direction dans laquelle elle agit. En utilisant à nouveau un segment de droite dirigé pour représenter la force 𝐅, nous pouvons utiliser la direction de la flèche pour montrer le sens de la force.

Le point d’action d’une force est le point auquel elle est appliquée.

Et enfin, la ligne d’action d’une force est un moyen géométrique de représenter l’application de la force. Elle est tracée comme une droite passant par le point d’action dans la même direction que 𝐅. Nous pouvons le démontrer comme suit.

Le diagramme montre la force 𝐅 représentée par le segment dirigé 𝐴𝐵. L’intensité de la force est déterminée par la longueur du segment 𝐴𝐵. Le sens de la flèche correspond au sens de 𝐅. Le point d’action est 𝐴. Et la ligne d’action est indiquée en étendant 𝐴𝐵 dans la même direction, comme indiqué par la ligne pointillée.

Voyons maintenant ce qui se passe lorsque deux forces agissent sur un corps avec leur effet combiné, qui est connu comme la résultante. Lorsque deux forces 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux agissent sur un corps au même point, l’effet combiné de ces deux forces est le même que l’effet d’une seule force appelée la force résultante. Le vecteur de la force résultante 𝐑 est donné par 𝐑 est égal à 𝐅 indice un plus 𝐅 indice deux. La quantité vectorielle 𝐑, qui est égale à 𝐅 indice un plus 𝐅 indice deux, peut être représentée de deux façons comme indiqué. Comme 𝐅 un, 𝐅 deux et 𝐑 sont les trois côtés d’un triangle, nous pouvons utiliser soit la loi des sinus, soit la loi des cosinus dans le triangle pour trouver la résultante des deux forces, les angles entre la résultante et les forces, ou toute autre inconnue.

Si nous posons 𝛼 l’angle entre les forces 𝐅 un et 𝐅 deux, 𝜃 un est l’angle entre 𝐑 et 𝐅 un, et 𝜃 deux est l’angle entre 𝐑 et 𝐅 deux comme indiqué, puis en utilisant notre connaissance des angles correspondants alternes, la loi des sinus nous donne 𝐹 indice un sur sinus de 𝜃 indice deux est égal à 𝐹 indice deux sur sinus de 𝜃 indice un, qui est égal à 𝑅 sur sinus de 180 degrés moins 𝛼, où 𝐹 indice un, 𝐹 indice deux et 𝑅 sont les normes des vecteurs 𝐅 indice un, 𝐅 indice deux et 𝐑, respectivement. Nous rappelons que sinus de 180 degrés moins 𝑥 est égal à sinus 𝑥. Et en tant que tel, le sinus de 180 degrés moins 𝛼 est égal à sinus 𝛼. Notre équation se simplifie comme indiqué.

En appliquant la loi des cosinus dans notre triangle, nous avons 𝑅 au carré est égal à 𝐹 indice un au carré plus 𝐹 indice deux au carré moins deux multiplié par 𝐹 indice un multiplié par 𝐹 indice deux multiplié par cosinus de 180 degrés moins 𝛼. Cosinus de 180 degrés moins 𝑥 est égal à moins cosinus 𝑥. Et en tant que tel, notre équation se simplifie comme indiqué.

Nous avons maintenant deux équations avec de nombreuses inconnues que nous pouvons simplifier davantage. Si nous prenons la racine carrée des deux membres de la deuxième équation et en rappelant que la norme d’un vecteur est positive, nous pouvons obtenir une formule explicite pour 𝑅, la norme du vecteur 𝐑. Il est également simple de dériver une formule pour la direction du vecteur 𝐑. Nous allons exposer ces résultats maintenant.

Soit le vecteur 𝐑 la résultante de deux forces vectorielles 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux qui agissent en un seul point d’angle 𝛼 entre eux. Ensuite, 𝑅 est égal à la racine carrée de 𝐹 indice un au carré plus 𝐹 indice deux au carré plus deux 𝐹 indice un 𝐹 indice deux multiplié par cosinus 𝛼. Et tangente 𝜃 est égale à 𝐹 indice deux sinus 𝛼 divisé par 𝐹 indice un plus 𝐹 indice deux cosinus 𝛼, où 𝐹 indice un, 𝐹 indice deux et 𝑅 sont les normes des vecteurs 𝐅 indice un, 𝐅 indice deux et 𝐑, respectivement. Et 𝜃 est l’angle entre le vecteur 𝐑 et le vecteur 𝐅 indice un.

Nous allons maintenant considérer deux exemples, un où nos deux forces sont perpendiculaires et un quand elles ne le sont pas.

Deux forces perpendiculaires d’intensité 88 newtons et 44 newtons agissent en un point. Leur résultante fait un angle 𝜃 avec la force de 88 newton. Trouvez la valeur de sinus 𝜃.

Dans cette question, il sera commode de supposer que l’une des forces agit horizontalement. Nous allons laisser cela être la force de 88 newton et l’appeler vecteur 𝐅 indice un. Nous appellerons donc le vecteur de force 44-newton 𝐅 indice deux, et cela agira verticalement. Puisque les deux forces perpendiculaires agissent en un point, nous pouvons les représenter comme indiqué. La force résultante, le vecteur 𝐑, agira dans la direction indiquée. Et on nous dit que cela fait un angle de 𝜃 avec la force de 88 newtons 𝐅 indice un.

Puisque les vecteurs ont à la fois une direction et une intensité, nous pouvons créer un triangle de forces. C’est un triangle rectangle, et nous pouvons utiliser les propriétés des triangles rectangles pour trouver la valeur de sinus 𝜃 comme requis. Comme déjà mentionné, nous savons que la norme du vecteur 𝐅 indice un est de 88 newtons et la norme de 𝐅 indice deux est de 44 newtons. En appliquant le théorème de Pythagore, nous avons 𝑅 au carré est égal à 𝐹 indice un au carré plus 𝐹 indice deux au carré, où 𝑅, 𝐹 indice un et 𝐹 indice deux sont les intensités des forces vectorielles correspondantes. Cela signifie que 𝑅 au carré est égal à 88 au carré plus 44 au carré. Le membre de droite de notre équation se simplifie en 9680. Nous pouvons alors prendre la racine carrée des deux membres. Et puisque 𝑅 doit être positive, nous avons 𝑅 est égale à 44 racine cinq. L’intensité de la force résultante est de 44 racine cinq newtons.

Ensuite, nous utilisons nos connaissances de la trigonométrie à angle droit, souvent appelée l’acronyme SOH CAH TOA. Le rapport sinus nous indique que sinus 𝜃 est égal à l’opposé sur l’hypoténuse. Cela signifie que dans cette question, sinus 𝜃 est égal à la norme de 𝐅 indice deux sur l’intensité de la résultante. En substituant dans les valeurs que nous connaissons, cela équivaut à 44 sur 44 racine cinq. Nous pouvons alors diviser le numérateur et le dénominateur par 44, ce qui nous donne un sur la racine cinq. Enfin, nous pouvons rendre rationnel le dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par la racine cinq, ce qui nous donne sinus 𝜃 est égal à la racine cinq sur cinq. C’est le sinus de l’angle que la résultante fait avec la force de 88 newton.

Considérons maintenant un deuxième exemple où l’angle entre les deux forces n’est pas de 90 degrés.

L’angle entre les forces vectorielles 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux est de 112 degrés, et la mesure de l’angle entre leur résultante et le vecteur 𝐅 indice deux est 56 degrés. Si la norme du vecteur 𝐅 indice un est de 28 newtons, quelle est la norme du vecteur 𝐅 indice deux ?

Commençons par esquisser un diagramme pour modéliser la situation. On nous dit que l’angle entre deux forces 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux est de 112 degrés. On nous dit aussi que la mesure de l’angle entre la force résultante et 𝐅 indice deux est de 56 degrés. Nous voyons que nos deux forces forment un parallélogramme, où la résultante est sa diagonale. Nous pouvons calculer l’angle 𝜃 entre 𝐅 indice un et la résultante en soustrayant 56 degrés de 112 degrés. Cela équivaut à 56 degrés. Nous pouvons maintenant ajouter cet angle et son angle intérieur alterne dans notre diagramme comme indiqué.

Ensuite, nous pouvons appliquer la loi des sinus à l’un ou l’autre de nos triangles dans le parallélogramme. Nous avons la norme de 𝐅 indice un sur sinus de 56 degrés est égale à la norme de 𝐅 indice deux sur le sinus de 56 degrés. Cela signifie que la norme de 𝐅 indice un est égale à la norme de 𝐅 indice deux. Et comme on nous dit dans la question que la norme de 𝐅 indice un est de 28 newtons, alors la norme de 𝐅 indice deux doit également être de 28 newtons.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. La force est définie comme l’effet d’un corps sur un autre. Chaque force est décrite en fonction de son intensité, de sa direction, de son point d’action et de sa ligne d’action. Nous représentons une force en utilisant le vecteur de notation 𝐅. Le vecteur de la résultante 𝐑 de deux forces vectorielles 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux agissant sur un corps au même point est une seule force qui est donnée par le vecteur 𝐑 est égale au vecteur 𝐅 indice un plus le vecteur 𝐅 indice deux. L’effet combiné du vecteur 𝐅 indice un et du vecteur 𝐅 indice deux est le même que celui du seul vecteur 𝐑. Les vecteurs 𝐅 indice un, 𝐅 indice deux et 𝐑 sont les trois côtés d’un triangle ou deux côtés adjacents et une diagonale d’un parallélogramme.

En appliquant la loi des sinus dans le triangle formé par deux forces 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux et leur résultante 𝐑 donne 𝐹 indice un sur sinus de 𝜃 indice deux égal à 𝐹 indice deux sur sinus de 𝜃 indice un, qui est égal à 𝑅 sur sinus 𝛼, où 𝐹 indice un, 𝐹 indice deux et 𝑅 sont les normes des vecteurs 𝐅 indice un, 𝐅 indice deux et 𝐑, respectivement. 𝛼 est l’angle entre les forces 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux. 𝜃 indice un est l’angle entre la résultante 𝐑 et 𝐅 indice un. Et 𝜃 indice deux est l’angle entre 𝐑 et 𝐅 indice deux.

Appliquer la loi des cosinus de la même manière dans les mêmes conditions nous donne 𝑅 au carré est égal à 𝐹 indice un au carré plus 𝐹 indice deux au carré plus deux multiplié par 𝐹 indice un multiplié par 𝐹 indice deux multiplié par cosinus 𝛼. Prendre la racine carrée des deux membres de cette équation, nous avons 𝑅 est égal à la racine carrée de 𝐹 indice un au carré plus 𝐹 indice deux au carré plus deux multiplié par 𝐹 indice un multiplié par 𝐹 indice deux multiplié par cosinus 𝛼. Et enfin, nous avons vu que si 𝜃 est l’angle entre la résultante 𝐑 et 𝐅 indice un, alors tangente 𝜃 est égale à 𝐹 indice deux sinus 𝛼 divisé par 𝐹 indice un plus 𝐹 indice deux cosinus 𝛼.

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