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Sachant que 𝐿 et 𝑀 sont les racines de l’équation deux 𝑥 au carré moins 21𝑥 plus quatre égale à zéro, trouvez la forme la plus simple d’une équation du second degré dont les racines sont 2𝐿 et 2𝑀
On commence par rappeler les propriétés d'une équation du second degré écrite sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale à zéro, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes et 𝑎 est non nul. Si cette équation a pour racines 𝑟 indice un et 𝑟 indice deux, alors la somme de celles-ci est égale à moins 𝑏 sur 𝑎. Quant au produit des deux racines, 𝑟 un fois 𝑟 deux, il est égal à 𝑐 sur 𝑎. On nous donne dans cette question l'équation deux 𝑥 au carré moins 21𝑥 plus quatre égale zéro. En effet, la valeur de 𝑎 est égale à deux, 𝑏 est égale à moins 21 et 𝑐 est égale à quatre.
On nous indique que les deux racines sont 𝐿 et 𝑀. Ainsi, 𝐿 plus 𝑀 est égal à moins moins 21 sur deux. Ce qui est simplifié à 21 sur deux. Le produit des racines 𝐿 et 𝑀 est égal à quatre sur deux. Ce qui donne deux. On nous demande de déterminer l'équation du second degré dont les racines sont deux 𝐿 et deux 𝑀. La somme de ces racines est égale à deux 𝐿 plus deux 𝑀. Comme ces termes ont un facteur commun de deux, on peut réécrire cela comme deux fois 𝐿 plus 𝑀. On sait que 𝐿 plus 𝑀 est égal à 21 sur deux. Donc, la somme des racines est égale à deux fois 21 sur deux. La somme est donc égale à 21. Ainsi, moins 𝑏 sur 𝑎 égale 21.
Le produit de nos deux racines égale deux 𝐿 fois deux 𝑀. Il est donc égal à quatre 𝐿𝑀. Comme 𝐿𝑀 égale deux, on a quatre fois deux. On peut donc conclure que 𝑐 sur 𝑎 égale huit. À partir des deux équations : moins 𝑏 sur 𝑎 égale 21 et 𝑐 sur 𝑎 égale huit, nous pouvons calculer donc les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Ce qui nous donnera l'équation du second degré dont les racines sont deux 𝐿 et deux 𝑀. Puisque 21 et huit sont des entiers relatifs, on peut considérer que 𝑎 égale un. Ceci signifie que moins 𝑏 égale 21 et donc 𝑏 égale moins 21. Si, d'après la deuxième équation, 𝑎 égale un, alors 𝑐 égale huit.
L'équation du second degré dont les racines sont deux 𝐿 et deux 𝑀 est 𝑥 au carré moins 21𝑥 plus huit égal zéro.
