Vidéo de la leçon: Construire une équation du second degré à partir d’une autre équation du second degré Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à formuler une équation du second degré à partir des racines d’une autre équation du second degré. Commençons par rappeler la relation entre les racines d’une équation du second degré et ses coefficients.

Pour une équation du second degré de la forme 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale à zéro, d’après la formule des racines du second degré, ses solutions ou ses racines sont 𝑟 un et 𝑟 deux, où 𝑟 un est égal à moins 𝑏 plus racine carrée de 𝑏 carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎. Et 𝑟 deux est égal à moins 𝑏 moins racine carrée de 𝑏 carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎. Nous allons maintenant calculer la somme et le produit de ces racines.

Leur somme est égale à 𝑟 un plus 𝑟 deux. Dont l’expression est affichée ici. Mais bien sûr, on peut séparer la première fraction en moins 𝑏 sur deux 𝑎 plus racine carrée de 𝑏 carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎. Et on peut séparer la deuxième fraction en moins 𝑏 sur deux 𝑎 moins racine carrée de 𝑏 carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎. On voit maintenant que la somme du deuxième et du quatrième terme est égale à zéro, ils s’annulent. On a donc moins 𝑏 sur deux 𝑎 plus moins 𝑏 sur deux 𝑎, ce qui est égal à moins deux 𝑏 sur deux 𝑎. On peut enfin diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction par deux, ce qui donne moins 𝑏 sur 𝑎. Par conséquent, la somme des racines est égale à moins 𝑏 sur 𝑎. En d’autres termes, elle est égale à l’opposé du coefficient de 𝑥 sur le coefficient de 𝑥 carré.

Nous allons maintenant suivre un raisonnement similaire pour calculer le produit des racines. Nous calculons donc 𝑟 un fois 𝑟 deux. Encore une fois, on sépare la première fraction, puis on sépare la deuxième fraction. Et on va maintenant développer en multipliant les premiers termes, les termes extérieurs et les termes intérieurs et les deux derniers termes. En multipliant les premiers termes, on obtient 𝑏 carré sur quatre 𝑎 carré. Ensuite, multiplier les termes extérieurs et intérieurs nous donne les versions positives et négatives de 𝑏 racine carrée de 𝑏 carré moins quatre 𝑎𝑐 sur quatre 𝑎 carré. Mais bien sûr, leur somme est égale à zéro. Donc, ces termes s’annulent.

Ensuite, en multipliant les derniers termes, on obtient moins 𝑏 carré moins quatre 𝑎𝑐 sur quatre 𝑎 carré. On sépare à présent cette deuxième fraction, en se rappelant que soustraire moins quatre 𝑎𝑐 sur quatre 𝑎 carré revient à ajouter quatre 𝑎𝑐 sur quatre 𝑎 carré. Et on voit maintenant que 𝑏 carré sur quatre 𝑎 carré moins 𝑏 carré sur quatre 𝑎 carré est égal à zéro. On peut également annuler les facteurs 𝑎 et quatre dans cette fraction finale, ce qui donne simplement 𝑐 sur 𝑎. Nous pouvons donc dire que le produit des deux racines d’une équation du second degré est égal au terme constant sur le coefficient de 𝑥 carré.

Maintenant, bien que cela puisse ne pas sembler être un résultat extrêmement utile, si nous revenons à notre équation d’origine 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro et que nous la divisons par 𝑎, ce que nous pouvons faire car 𝑎 est différent de zéro, nous voyons que notre équation devient 𝑥 carré plus 𝑏 sur 𝑎 𝑥 plus 𝑐 sur 𝑎 égale zéro. Et nous voyons maintenant le lien avec nos résultats précédents. Moins 𝑏 sur 𝑎 est égal à l’opposé du coefficient de 𝑥 et 𝑐 sur 𝑎 est le terme constant. Nous pouvons donc dire qu’une équation du second degré dont le coefficient dominant est un peut être écrite comme 𝑥 carré moins la somme des racines fois 𝑥 plus le produit des racines égale zéro.

Voyons dans un exemple la façon dont nous pouvons appliquer ces résultats.

Sachant que 𝐿 plus trois et M plus trois sont les racines de l’équation 𝑥 carré plus huit 𝑥 plus 12 égale zéro, déterminez l’équation du second degré avec coefficients entiers dont les racines sont 𝐿 et M.

Commençons par rappeler la relation entre une équation du second degré dont le coefficient dominant est un et ses racines. L’équation est équivalente à 𝑥 carré moins la somme des racines fois 𝑥 plus le produit des racines égale zéro. Donc si nous considérons l’équation 𝑥 carré plus huit 𝑥 plus 12 égale zéro, la somme des racines doit être égale à moins huit. La raison pour laquelle elle est égale à moins huit et non plus huit est parce que le coefficient de 𝑥 est égal à l’opposé de la somme des racines ; or dans cet exemple, le coefficient de 𝑥 est positif. Nous pouvons aussi dire que le produit des racines, qui est le terme constant, doit être égal à 12.

Et nous allons maintenant substituer les racines données dans la question. Les racines sont ici 𝐿 plus trois et M plus trois. Mais nous pouvons en fait trouver directement deux nombres dont la somme est moins huit et le produit 12. Deux nombres qui vérifient ce résultat sont moins six et moins deux car le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif. Donc, moins six fois moins deux est égal à plus 12. Mais aussi, moins six plus moins deux est égal à moins huit. Et donc, en définissant nos racines comme 𝑟 un et 𝑟 deux, nous voyons qu’elles sont égales à moins six et moins deux.

Mais la question indique que les racines de cette équation sont 𝐿 plus trois et M plus trois. Nous pouvons donc former deux équations, une en fonction de 𝐿 et une en fonction de M. La première équation est 𝐿 plus trois égale moins six et la seconde est M plus trois égale moins deux. On résout ces deux équations en soustrayant trois à tous les membres. Moins six moins trois égale moins neuf. Donc 𝐿 doit être égal à moins neuf. De même, M est égal à moins cinq. Et cela est très utile car nous connaissons maintenant les racines de notre nouvelle équation. Nous pouvons ainsi formuler cette équation en calculant la somme et le produit de ces racines. La somme est égale à moins neuf plus moins cinq, ce qui donne moins 14. Et le produit est égal à moins neuf fois moins cinq, soit 45.

À présent que nous savons que la somme de nos racines est moins 14 et que le produit est 45, nous pouvons les substituer dans la forme générale de l’équation. Cela nous donne 𝑥 carré moins moins 14 fois 𝑥 plus 45 égale zéro, ce qui se simplifie par 𝑥 carré plus 14𝑥 plus 45 égale zéro.

Nous allons maintenant étudier un exemple similaire. Mais il ne sera pas facile cette fois de déterminer directement les racines de l’équation d’origine, nous devrons donc utiliser un peu d’algèbre pour trouver la nouvelle équation.

Sachant que 𝐿 et M sont les racines de l’équation 𝑥 carré moins deux 𝑥 plus cinq égale zéro, trouvez l’équation du second degré avec coefficients entiers dont les racines sont 𝐿 au carré et M au carré.

Commençons par rappeler la relation entre une équation du second degré dont le coefficient dominant est un et ses racines. Elle est équivalente à 𝑥 carré moins la somme des racines fois 𝑥 plus le produit des racines égale zéro. Cela signifie essentiellement que si nous avons une équation du second degré égale à zéro dont le coefficient dominant est un, le coefficient de 𝑥 carré est un, l’opposé du coefficient de 𝑥 nous indique la somme des racines et le terme constant nous indique leur produit.

Nous étudions ici l’équation 𝑥 carré moins deux 𝑥 plus cinq égale zéro. Le coefficient de 𝑥 est moins deux. Donc la somme doit être égale à l’opposé de moins deux, c’est-à-dire plus deux. Et le terme constant est cinq. Donc le produit des racines doit être égal à cinq. Pouvons-nous alors trouver deux nombres dont la somme est deux et le produit cinq ? Eh bien non, pas facilement en tout cas. Nous n’obtiendrions pas de simples solutions entières. Nous allons donc devoir construire des équations en utilisant 𝐿 et M. Puisque la somme des racines est égale à deux et que 𝐿 et M sont les racines, nous pouvons dire que 𝐿 plus M égale deux. Ainsi que 𝐿 fois M égale cinq.

Les racines de notre nouvelle équation sont 𝐿 au carré et M au carré. Cela signifie que leur somme sera égale à 𝐿 carré plus M carré et que nous devons donc manipuler nos équations pour trouver une expression de 𝐿 carré plus M carré ainsi qu’une autre expression pour leur produit, 𝐿 carré M carré. Appelons nos équations un et deux. On met alors la totalité de l’équation un au carré. En d’autres termes, on met les deux membres au carré. Sur le membre droit, on obtient deux au carré, ce qui est bien sûr égal à quatre. Et sur le membre gauche, on obtient 𝐿 plus M au carré, que l’on peut considérer comme 𝐿 plus M fois 𝐿 plus M.

Et en distribuant ces parenthèses, on a 𝐿 au carré plus deux 𝐿M plus M au carré égale quatre. Si on soustrait alors deux 𝐿M aux deux membres, on obtient l’expression de la somme des racines 𝐿 carré et M carré. Elle est égale à quatre moins deux 𝐿M. Mais nous connaissons déjà la valeur de 𝐿M, l’équation deux nous dit que 𝐿M égale cinq. Donc, 𝐿 carré plus M carré devient quatre moins deux fois cinq, ce qui fait quatre moins 10 ou simplement moins six. Nous avons ainsi calculé la somme des racines de notre nouvelle équation et donc l’opposé du coefficient de 𝑥.

On répète maintenant cette opération pour l’équation deux ; on met les deux membres au carré. Autrement dit, 𝐿M au carré égale cinq au carré. Mais, bien sûr, cinq au carré égale 25. Et on peut distribuer la puissance deux sur les deux variables. On obtient alors 𝐿 carré M carré égale 25. Nous avons ainsi trouvé que la somme de nos nouvelles racines est égale à moins six et que leur produit est égal à 25. Remplaçons donc ces valeurs dans la forme générale de l’équation. On obtient 𝑥 carré moins moins six 𝑥 plus 25 égale zéro. Par conséquent, l’équation du second degré dont les racines sont 𝐿 au carré et M au carré est 𝑥 carré plus six 𝑥 plus 25 égale zéro.

Dans le prochain exemple, nous allons voir comment utiliser la relation entre les coefficients d’une équation du second degré et ses racines pour calculer la valeur d’une expression.

Sachant que 𝐿 et M sont les racines de l’équation 𝑥 carré plus 20𝑥 plus 15 égale zéro, quelle est la valeur de un sur M plus un sur 𝐿 ?

Commençons par la relation entre les coefficients d’une équation du second degré et ses racines. Pour une équation du second degré dont le coefficient dominant est un, c’est-à-dire dont le coefficient de 𝑥 carré est un, l’opposé du coefficient de 𝑥 nous indique la somme des racines et le terme constant nous indique leur produit. Et cela est vraiment utile car le coefficient de 𝑥 est ici 20 et la constante 15. Donc la somme des racines doit être égale à moins 20. Rappelez-vous, qu’elle est en effet égale à l’opposé du coefficient de 𝑥. Le produit, qui est le terme constant, doit quant à lui être égal à 15.

Et la question indique que 𝐿 et M sont les racines de cette équation. Nous pouvons donc dire que 𝐿 plus M égale moins 20 et 𝐿 fois M égale 15. Mais comment cela nous aide-t-il ? Nous recherchons la valeur de un sur M plus un sur 𝐿 et nous ne pouvons pas trouver facilement deux nombres dont la somme est moins 20 et le produit est 15. Nous allons donc devoir manipuler nos expressions. Penchons-nous sur un sur M plus un sur 𝐿.

Nous savons que pour additionner deux fractions, nous devons créer un dénominateur commun. Et la façon la plus simple de le faire est de multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le dénominateur de l’autre. On va donc multiplier le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 𝐿 et ceux de la deuxième fraction par M. Cela nous donne 𝐿 sur 𝐿M plus M sur 𝐿M. Et maintenant que les dénominateurs sont les mêmes, on additionne simplement les numérateurs, ce qui nous donne 𝐿 plus M sur 𝐿M.

Et cela est vraiment utile car nous savons que le numérateur 𝐿 plus M est égal à moins 20 et que le dénominateur 𝐿M est égal à 15. Cela signifie donc que un sur M plus un sur 𝐿 égale moins 20 sur 15, ce qui se simplifie en moins quatre tiers. Par conséquent, si 𝐿 et M sont les racines de notre équation, alors un sur M plus un sur 𝐿 est égal à moins quatre tiers.

Nous allons maintenant étendre cette notion à la construction d’équations du second degré.

Sachant que 𝐿 et M sont les racines de l’équation trois 𝑥 carré plus 16𝑥 moins un égale zéro, trouvez l’équation du second degré avec coefficients entiers dont les racines sont 𝐿 sur deux et M sur deux.

Commençons par rappeler la relation entre les coefficients d’une équation du second degré et ses racines. Pour une équation du second degré dont le coefficient dominant est un, le coefficient de 𝑥 est égal à l’opposé de la somme des racines de l’équation, et la constante est égale au produit des racines. En comparant cela à notre équation, nous voyons ici que nous avons un petit problème. Le coefficient dominant, le coefficient de 𝑥 carré, est égal à trois. Nous allons donc diviser chaque terme par trois. Trois 𝑥 carré divisé par trois égale 𝑥 carré. 16𝑥 divisé par trois égale 16𝑥 sur trois ou 16 sur trois 𝑥. Et le terme constant devient moins un sur 3.

En comparant cela à la forme générale, nous savons que la somme des racines de l’équation est égale à l’opposé du coefficient de 𝑥. Donc, moins 16 sur trois. Leur produit est ensuite égal à moins un sur 3. Nous savons de plus que 𝐿 et M sont les racines de l’équation, nous pouvons donc remplacer la somme par 𝐿 plus M et le produit par 𝐿 fois M. Et nous cherchons l’équation du second degré dont les racines sont 𝐿 sur deux et M sur deux. Nous allons donc trouver une expression de la somme de ces racines, 𝐿 sur deux plus M sur deux. Nous allons également chercher une expression du produit de ces racines, 𝐿 sur deux fois M sur deux, soit 𝐿M sur quatre.

Essayons donc de relier les équations que nous avons. On appelle cette première équation un. On a 𝐿 plus M égale moins 16 sur trois. Si on divise l’expression entière par deux, c’est-à-dire 𝐿 plus M sur deux, on sait que c’est en fait égal à 𝐿 sur deux plus M sur deux. On peut donc trouver la valeur de 𝐿 sur deux plus M sur deux en divisant la valeur de 𝐿 plus M par deux. Cela fait moins 16 sur trois divisé par deux, soit moins huit sur trois.

Et nous pouvons suivre un raisonnement similaire avec la deuxième équation. On recherche cette fois 𝐿M divisé par quatre. Et cela est donc égal à moins un sur 3 divisé par quatre, soit moins un sur 12. Maintenant que nous connaissons la somme et le produit des racines, nous pouvons les remplacer dans l’équation générale. On trouve alors que l’équation du second degré dont les racines sont 𝐿 sur deux et M sur deux est 𝑥 carré moins moins huit sur trois 𝑥 plus moins un sur 12 égale zéro.

On simplifie alors les signes. Moins moins huit sur 3 est simplement égal à huit sur 3. Et ajouter moins un sur 12 revient à soustraire un sur 12. La dernière étape consiste à créer des coefficients entiers. On multiplie donc les deux membres par 12. 𝑥 carré fois 12 égale 12𝑥 carré. Ensuite, en multipliant huit sur 3 par 12, on simplifie un facteur trois. Et on trouve huit fois quatre, soit 32. Moins un sur 12 fois 12 est égal à moins un. Et, bien sûr, zéro fois 12 est égal à zéro. L’équation du second degré est donc 12𝑥 carré plus 32𝑥 moins un égale zéro.

Récapitulons maintenant les points clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons appris que pour une équation de la forme 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro, la somme des racines est égale à moins 𝑏 sur 𝑎. C’est-à-dire l’opposé du coefficient de 𝑥 divisé par le coefficient de 𝑥 carré. Et leur produit est égal à 𝑐 sur 𝑎. C’est-à-dire le terme constant divisé par le coefficient de 𝑥 carré. Nous pouvons utiliser ces propriétés pour exprimer la relation entre les racines d’une équation du second degré, dont le coefficient dominant est un, et ses coefficients. Lorsque l’équation est écrite sous cette forme, l’opposé du coefficient de 𝑥 nous indique la somme des racines et le terme constant nous indique leur produit.