Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment écrire une équation du second degré étant données les racines d’une autre équation du second degré.
On considère une équation du second degré sous la forme , où , et sont des constantes, et n’est pas égal à 0. La formule des racines d’une équation du second degré indique que les solutions ou les racines de l’équation sont
Algébriquement, on peut montrer que , soit la somme de ces deux racines, est égale à , et que , soit le produit de ces deux racines, est égal à , comme suit :
Cela permet de généraliser la relation entre une équation du second degré et ses racines.
Propriété : Relation entre une équation du second degré et ses racines
Pour toute équation du second degré sous la forme , la somme des racines et est égale à , et le produit de ses racines est égal à . C’est-à-dire
Notez que si , le coefficient dominant de l’équation , est égal à 1, alors la somme des racines devient et le produit des racines devient
On peut par conséquent établir une autre généralisation sur la relation entre une équation du second degré et ses racines lorsque le coefficient dominant de l’équation est 1.
Propriété : Relation entre une équation du second degré de coefficient dominant 1 et ses racines
Pour toute équation du second degré sous la forme pour laquelle , la somme des racines et est égale à , soit l’opposé du coefficient de , et le produit des racines est égal à , soit le terme constant. C’est-à-dire
En utilisant ces relations, on peut former une équation du second degré en utilisant une autre équation du second degré et ses racines. Par exemple, si on sait que les racines de l’équation sont et , alors on sait que la somme de ces racines est égale à , soit 7, et que le produit de ces racines est égal à 10. Avec ces connaissances, on peut former des équations qu’on peut utiliser pour déterminer l’équation du second degré dont les racines sont et . Étudions comment nous pouvons résoudre de tels problèmes dans les exemples qui suivent.
Exemple 1: Former une équation du second degré à partir d’une autre équation du second degré et ses racines
Sachant que et sont les racines de l’équation , trouvez la forme la plus simple de l’équation du second degré dont les racines sont et .
Réponse
On sait que pour toute équation du second degré sous la forme pour laquelle , la somme des racines est égale à , soit l’opposé du coefficient de , et le produit des racines est égal à , soit le terme constant.
Dans l’équation du second degré , on voit que la valeur de est 1, la valeur de est 8, et la valeur de est 12. Comme les racines de cette équation sont et , cela signifie que
Il est demandé de trouver une autre équation du second degré dans sa forme la plus simple dont les racines sont et . On suppose que cette autre équation du second degré est sous la forme . Si on suppose que , alors on sait que doit être égal à et que doit être égal à . On commence par utiliser l’équation pour trouver la valeur de l’expression :
Comme la valeur de est , on sait que c’est la valeur de et par conséquent, la valeur de doit être 14.
On utilise ensuite l’équation pour trouver la valeur de l’expression :
Notez que l’expression est multipliée par 3 dans le deuxième terme du membre gauche de l’équation. On sait déjà que la valeur de l’expression est , on peut donc substituer à puis déterminer :
Comme est égal à 45, on sait qu’il s’agit de la valeur de . Par conséquent, comme , et , on a montré que l’équation du second degré a les racines et .
Étudions maintenant un exemple similaire où nous devons former une équation du second degré en utilisant une autre équation du second degré et ses racines.
Exemple 2: Former une équation du second degré à partir d’une autre équation du second degré et ses racines
Sachant que et sont les racines de l’équation , trouvez la forme la plus simple de l’équation du second degré dont les racines sont et .
Réponse
On rappelle que pour toute équation du second degré sous la forme pour laquelle , la somme des racines est égale à , soit l’opposé du coefficient de , et le produit des racines est égal à , soit le terme constant.
On peut voir que dans l’équation du second degré , la valeur de est 1, la valeur de est , et la valeur de est 5. On sait que les racines de cette équation sont et , donc on sait que
Le problème nous demande de trouver une autre équation du second degré dans sa forme la plus simple dont les racines sont et . On suppose que cette autre équation du second degré est sous la forme . Si on suppose que , alors on sait que doit être égal à et que doit être égal à . Afin de trouver une valeur de l’expression , on doit commencer par élever au carré les deux membres de l’équation puis développer le membre gauche :
Notez que l’expression est multipliée par 2 dans le deuxième terme du membre gauche de l’équation. Comme on sait déjà que la valeur de l’expression est 5, on peut substituer 5 à puis déterminer :
Comme la valeur de est , on sait qu’il s’agit de la valeur de et par conséquent, la valeur de doit être 6.
On cherche maintenant la valeur de l’expression . On peut la déterminer en élevant au carré les deux membres de l’équation puis en distribuant la puissance :
Comme est égal à 25, on sait qu’il s’agit de la valeur de . Par conséquent, comme , et , on a montré que l’équation du second degré a les racines et .
Ensuite, nous allons à nouveau former une équation du second degré en utilisant une autre équation du second degré et ses racines. Cependant, cette fois, les coefficients auxquels nous arrivons ne seront pas des entiers, nous devrons donc multiplier les deux côtés de l'équation par une constante pour éliminer les fractions.
Exemple 3: Forming a Quadratic Equation Using Another Quadratic Equation and Its Roots
Étant donné que et sont les racines de l'équation , trouvez, dans sa forme irréductible, l'équation du second degré dont les racines sont et .
Réponse
Rappelons que pour toute équation du second degré de la forme pour laquelle , la somme des racines est égale à (le négatif du coefficient ), et le produit des racines est égal à (le terme constant).
Maintenant, l'équation donnée a un coefficient de , donc plutôt que 1, mais nous pouvons le convertir vers la forme désirée en multipliant l'équation entière par . Cela nous donne
À partir de cette équation, nous avons une valeur pour de et pour de 9, donc puisque les racines sont et , nous avons
L'énoncé nous demande maintenant de trouver une équation du second degré de racines et . En utilisant le résultat ci-dessus, si l'équation que nous voulons trouver est de la forme (où ), alors la somme des deux racines doit être égale à , et le produit doit être égal à . Pour simplifier l'expression de la somme, nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le dénominateur de l'autre et simplifier pour obtenir
Notez que le numérateur de l'expression résultante est la somme des racines de l'équation d'origine et que le dénominateur de l'expression est le produit des racines. Nous avons déjà déterminé que la somme des racines est égale à 7, et le produit est égal à 9, donc cela nous dit , ce qui signifie .
Pour le produit, rappelons que nous avons . Cela se simplifie en multipliant les dénominateurs ensemble pour obtenir
Puisque nous savons , cela signifie . Maintenant, en prenant les valeurs que nous avons calculées pour et , nous avons l'équation suivante :
Enfin, nous pouvons simplifier cela en multipliant l'équation par 9 pour transformer les coefficients en nombres entiers. Cela nous donne
Ayant vu l'approche que nous pouvons adopter pour un problème où les racines sont des fractions, appliquons une fois de plus cette méthode à un problème similaire mais légèrement plus complexe.
Exemple 4: Former une équation du second degré à partir d’une autre équation du second degré et ses racines
Sachant que et sont les racines de l’équation , trouvez la forme la plus simple de l’équation du second degré dont les racines sont et .
Réponse
On rappelle que pour toute équation du second degré sous la forme pour laquelle , la somme des racines est égale à , soit l’opposé du coefficient de , et le produit des racines est égal à , soit le terme constant.
Dans l’équation du second degré , on voit que la valeur de est 1, la valeur de est , et la valeur de est 12. Ainsi, comme les racines de cette équation sont et , on sait que
Le problème nous demande de trouver une autre équation du second degré dans sa forme la plus simple dont les racines sont et . On suppose que cette autre équation du second degré est sous la forme . Si on suppose que , alors on sait que doit être égal à et que doit être égal à .
Afin de trouver la valeur de l’expression , on doit commencer par trouver un dénominateur commun pour les deux fractions dans l’expression, puis additionner les fractions pour obtenir , ou .
On élève maintenant au carré les deux membres de l’équation puis on développe le membre gauche :
Notez que l’expression est multipliée par 2 dans le deuxième terme du membre gauche de l’équation. Comme on sait déjà que la valeur de l’expression est 12, on peut substituer 12 à puis déterminer :
On cherche ensuite la valeur de l’expression . On peut le faire en élevant au carré les deux membres de l’équation puis en distribuant la puissance :
Maintenant, en remplaçant par et dans l’expression , on obtient pour , ou pour , le coefficient de dans l’équation qu’on cherche.
En outre, en remplaçant par dans l’expression , on obtient pour , le terme constant dans l’équation. Cela donne l’équation .
Enfin, pour éliminer les fractions, on peut multiplier les deux membres par 144 pour obtenir , soit pour l’équation recherchée.
Étudions maintenant un exemple de formation d’une équation du second degré en utilisant une équation du second degré non unitaire et ses racines. Une équation du second degré non unitaire a un coefficient dominant différent de 1.
Exemple 5: Former une équation du second degré à partir d’une équation du second degré non unitaire et ses racines
Sachant que et sont les racines de l’équation , trouvez la forme la plus simple de l’équation du second degré dont les racines sont et .
Réponse
On sait que pour toute équation du second degré sous la forme , la somme des racines est égale à , et le produit des racines est égal à . Dans l’équation , la valeur de est 3, la valeur de est 16, et la valeur de est . Ainsi, comme les racines de cette équation sont et , on sait que
Le problème nous demande de trouver une autre équation du second degré dans sa forme la plus simple dont les racines sont et . On suppose que cette autre équation du second degré est sous la forme . On rappelle que pour toute équation du second degré sous la forme pour laquelle , la somme des racines est égale à , soit l’opposé du coefficient de , et le produit des racines est égal à , soit le terme constant.
Ainsi, si on suppose que , alors on sait que doit être égal à , ou , et que doit être égal à , ou .
En remplaçant par dans l’expression , on obtient pour , ou pour , le coefficient de dans l’équation qu’on cherche.
De plus, en remplaçant par dans l’expression , on obtient pour , le terme constant de l’équation. Cela donne l’équation .
Enfin, pour éliminer les fractions, on peut multiplier les deux membres par 12 pour obtenir , soit pour l’équation recherchée.
Nous allons enfin travailler sur un autre problème dans lequel on doit former une équation du second degré en utilisant une équation du second degré non unitaire et ses racines.
Exemple 6: Former une équation du second degré sous sa forme la plus simple à partir de la relation entre une équation du second degré et ses racines
Si et sont les racines de l’équation , trouvez la forme la plus simple de l’équation du second degré dont les racines sont et .
Réponse
On sait que pour toute équation du second degré sous la forme , la somme des racines est égale à , et le produit des racines est égal à . Dans l’équation , la valeur de est 2, la valeur de est , et la valeur de est 1. Ainsi, comme les racines de cette équation sont et , on sait que
Le problème nous demande de trouver une autre équation du second degré dans sa forme la plus simple dont les racines sont et . On suppose que cette autre équation du second degré est sous la forme . On rappelle que pour toute équation du second degré sous la forme pour laquelle , la somme des racines est égale à , soit l’opposé du coefficient de , et le produit des racines est égal à , soit le terme constant.
Par conséquent, si on suppose que , alors on sait que doit être égal à et que doit être égal à , ou .
Afin de déterminer une valeur de l’expression , on commence par élever au carré les deux membres de l’équation et développer le membre gauche :
Notez que l’expression est multipliée par 2 dans le deuxième terme du membre gauche de l’équation. Comme on sait déjà que la valeur de l’expression est , on peut maintenant substituer à puis déterminer :
Ensuite, en multipliant les deux membres de l’équation par 2, on obtient
Comme la valeur de est , on sait qu’il s’agit de la valeur de et par conséquent, la valeur de doit être égale à .
On détermine maintenant la valeur de l’expression . On peut commencer par élever au carré les deux membres de l’équation puis distribuer la puissance :
Ensuite, en multipliant les deux membres de l’équation par 4, on obtient
Comme la valeur de est 1, on sait que c’est la valeur de .
Ainsi, on peut maintenant substituer , et dans pour obtenir l’équation . Enfin, pour éliminer la fraction, on peut multiplier les deux membres par 2 pour obtenir , soit pour l’équation recherchée.
Terminons maintenant par récapituler quelques points clés.
Points clés
- Pour toute équation du second degré sous la forme , la somme des racines est égale à , et le produit des racines est égal à .
- Pour toute équation du second degré sous la forme pour laquelle , la somme des racines est égale à , soit l’opposé du coefficient de , et le produit des racines est égal à , soit le terme constant.
- Il est possible de former une équation du second degré à partir d’une autre équation du second degré et ses racines.
- Une équation du second degré non unitaire est une équation du second degré avec un coefficient dominant différent de 1.
