Transcription de la vidéo
Déterminez l'équation du plan qui coupe les axes du repère en 𝐴, 𝐵 et 𝐶, sachant que le point d'intersection des médianes du triangle 𝐴𝐵𝐶 est le point de coordonnées 𝑙, 𝑚, 𝑛.
Pour commencer, on peut tracer le segment de notre plan qui coupe les axes des 𝑥, des 𝑦 et des 𝑧. On nous indique que l’abscisse 𝑥 de l'intersection de notre plan avec l'axe des 𝑥 est 𝐴 majuscule, ce qui fait que les coordonnées de ce point sont 𝐴 majuscule, zéro, zéro. L’ordonnée 𝑦 du point d'intersection avec l'axe des 𝑦 est 𝐵 majuscule. Donc ce point a pour coordonnées zéro, 𝐵 majuscule, zéro et de même pour l'axe des 𝑧 qui a pour coordonnées zéro, zéro, 𝐶 majuscule.
On nous dit alors quelque chose d'intéressant à propos de ce triangle 𝐴𝐵𝐶. On nous dit que les coordonnées du point d'intersection des médianes de notre triangle sont 𝑙, 𝑚, 𝑛. Ces trois médianes de notre triangle sont des droites qui vont des angles au milieu du côté opposé du triangle. Comme nous le voyons, elles se coupent toutes en un point. Et ce point, on nous dit, a pour coordonnées 𝑙, 𝑚, 𝑛. A partir de tout ça, on veut déterminer l'équation de ce plan. Il existe de nombreuses formes pour exprimer l'équation d'un plan. Mais dans le cas présent, étant donné que nous disposons des points d'intersection entre notre plan et les axes du repère, nous chercherons à écrire l'équation de notre plan sous ce que l'on appelle la forme d’intersection avec les axes.
Cette forme s'écrit en fonction des coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 des points d'intersection sur ces axes respectifs, mais notre problème est que nous ne connaissons pas les valeurs de 𝐴, 𝐵 et 𝐶. En revanche, on connaît les coordonnées du point au centre de gravité de 𝐴, 𝐵, et 𝐶. Pour pouvoir donner l'équation de notre plan en fonction des valeurs connues 𝑙, 𝑚, et 𝑛, on va tenir compte du fait que les coordonnées du centre de gravité d'un triangle sont égales aux valeurs moyennes des coordonnées 𝑥, 𝑦, et 𝑧 de ses sommets. Autrement dit, cette valeur 𝑙 égale la moyenne de 𝐴, zéro, et zéro, les valeurs 𝑥 des trois sommets. De même, 𝑚 égale la valeur moyenne de zéro, 𝐵, et zéro et ainsi de suite.
On peut écrire cela comme suit : 𝑙 égale 𝐴 plus zéro plus zéro sur trois. 𝑚 égale zéro plus 𝐵 plus zéro sur trois. 𝑛 égale zéro plus zéro plus 𝐶 sur trois. Ces équations impliquent que 𝐴 égale trois 𝑙, 𝐵 égale trois 𝑚, et 𝐶 égale trois 𝑛. Connaissant cela, on est maintenant prêt à écrire l'équation de notre plan sous la forme d’intersection avec les axes. On a 𝑥 sur 𝐴 ou trois 𝑙 plus 𝑦 sur 𝐵 ou trois 𝑚 plus 𝑧 sur 𝐶 ou trois 𝑛 égale un. En multipliant les deux membres de cette équation par trois, on obtient ce résultat final. Le plan qui remplit les conditions décrites ici a pour équation 𝑥 sur 𝑙 plus 𝑦 sur 𝑚 plus 𝑧 sur 𝑛 égale trois.
