Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer l'équation d'un plan sous différentes formes, telles que la forme d’intersection avec les axes et la forme paramétrique.
On considère un plan qui ne passe pas par l’origine du repère, n’est parallèle à aucun des trois axes et coupe par conséquent chacun d’entre eux en trois points, , et . Ainsi, les coordonnées d’intersection du plan avec l’axe des , l’axe des et l’axe des sont , et respectivement.
Ayant les coordonnées de trois points du plan, on peut facilement trouver deux vecteurs non colinéaires appartenant à ce plan ; par exemple, et . Un vecteur normal au plan est alors donné par
Comme est aussi un vecteur normal au plan et l’on peut par conséquent écrire une équation générale du plan de la forme
Si l’on remplace par les coordonnées de l’un des trois points connus inclus dans le plan, on trouve que
Définition : Équation d’un plan sous la forme d’intersection avec les axes
L’équation sous la forme d’intersection avec les axes d’un plan dont les coordonnées d’intersection avec l’axe des , l’axe des et l’axe des sont , et respectivement, est donnée par
Examinons l’équation des plans parallèles à un axe. Prenons par exemple un plan parallèle à l’axe des et qui coupe l’axe des au point et l’axe des au point . Deux vecteurs de ce plan sont, par exemple, et (un vecteur parallèle à l’axe des ). Par conséquent, un vecteur normal au plan est donné par
Si on prend, comme vecteur normal du plan, , on trouve que l’équation sous la forme d’intersection avec les axes est
Cette équation est équivalente à celle d’une droite du plan , mais il faut aussi prendre en compte le fait que la coordonnée peut prendre n’importe quelle valeur dans .
On considère maintenant un plan parallèle à deux axes ; l’axe des et l’axe des , par exemple. Il coupe alors le troisième axe (l’axe des dans notre cas) au point de coordonnées . Ce plan comprend tous les points qui ont pour coordonnée ; par conséquent, son équation est simplement , ou encore , sous la forme d’intersection avec les axes.
Passons maintenant à un exemple dans lequel nous trouverons l’équation d’un plan sous la forme d’intersection avec les axes.
Exemple 1: Trouver l’équation d’un plan sous la forme d’intersection avec les axes à partir de ses intersections
Trouvez l’équation du plan dont les coordonnées d’intersection avec l’axe des , l’axe des et l’axe des sont , 3 et respectivement.
Réponse
L’équation d’un plan sous la forme d’intersection avec les axes dont les coordonnées d’intersection avec l’axe des , l’axe des et l’axe des sont , et respectivement est donnée par
Ici, , et . Par conséquent, l’équation du plan est
Voyons dans le prochain exemple comment convertir une équation d’un plan sous la forme générale en une équation sous la forme d’intersection avec les axes.
Exemple 2: Convertir une équation d’un plan sous la forme générale en équation sous la forme d’intersection avec les axes
Écrivez l’équation du plan sous la forme d’intersection avec les axes.
Réponse
L’équation d’un plan sous la forme d’intersection avec les axes est de la forme
En ajoutant 16 à chaque membre de l’équation, on trouve
Comme on cherche à avoir 1 dans le membre droit de l’équation, donc on divise par 16 chaque membre et on obtient
On aurait aussi pu, pour trouver cette équation, commencer par déterminer les valeurs de , et , les coordonnées d’intersection du plan avec l’axe des , l’axe des et l’axe des respectivement. On peut déterminer l’intersection avec l’axe des en remplaçant, dans notre équation, et par 0. On trouve alors
Par conséquent, . On trouve de la même manière que et . En remplaçant par ces valeurs dans l’équation sous la forme d’intersection avec les axes, on trouve
Ainsi, le plan dont l’équation sous la forme générale est a pour équation sous la forme d’intersection avec les axes.
Intéressons-nous maintenant à une autre forme d’équation du plan : la forme paramétrique.
Tout point du plan de coordonnées est défini de manière unique par ses deux coordonnées. Autrement dit, le vecteur position pour tout point est donné par où est l’origine du repère et et sont les vecteurs unitaires portés par les deux axes. On peut écrire une équation similaire à partir de n’importe quelle paire de vecteurs et non colinéaires du plan : où et sont deux nombres réels. Cela signifie que tout vecteur du plan peut s’écrire sous la forme d’une combinaison linéaire de deux vecteurs non colinéaires. Par conséquent, on peut définir n’importe quel point du plan avec deux vecteurs non colinéaires. On utilise cette propriété pour écrire les équations paramétriques d’un plan dans l’espace.
Considérons un plan dans l’espace contenant un point et deux vecteurs non colinéaires et . Pour tout point de ce plan, on a où et sont deux nombres réels.
On a alors trois équations, une pour chacune des trois composantes du vecteur :
En réarrangeant ces équations, on obtient les équations paramétriques d’un plan.
Définition : Équations paramétriques d’un plan
Les équations paramétriques d’un plan dans l’espace contenant un point et deux vecteurs non colinéaires et forment un système de trois équations de la forme où et sont deux nombres réels pouvant varier appelés les paramètres.
En faisant varier les paramètres et sur , les trois équations décrivent les coordonnées de tous les points du plan.
Voyons un premier exemple.
Exemple 3: Trouver l’équation paramétrique d’un plan passant par un point donné et deux vecteurs donnés
Déterminez l’équation, sous la forme paramétrique, du plan qui passe par le point et par les deux vecteurs et .
Réponse
Les équations paramétriques d’un plan contenant un point et deux vecteurs et sont de la forme où et sont deux nombres réels.
En remplaçant par , et , on trouve
Voyons maintenant comment trouver les équations paramétriques d’un plan passant par trois points donnés.
Exemple 4: Trouver l’équation paramétrique d’un plan à partir de trois points non alignés
Trouvez les équations paramétriques du plan qui passe par les points , et .
- , ,
- , ,
- , ,
- , ,
- , ,
Réponse
On nous donne trois points du plan : , , Commençons par vérifier que ces trois points ne sont pas alignés en utilisant le produit vectoriel, car on sait que le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul. En prenant et , on trouve que par conséquent les points ne sont pas alignés et définissent bien un plan.
On sait que les équations paramétriques d’un plan dans l’espace contenant un point et deux vecteurs non colinéaires et forment un système de trois équations de la forme où et sont deux nombres réels.
Identifions, dans chacune des propositions, les coordonnées du point, , et celles des deux vecteurs, et . On présente nos résultats dans le tableau ci-dessous.
| Proposition | |||
|---|---|---|---|
| A | |||
| B | |||
| C | |||
| D | |||
| E |
À partir de nos trois points, , et , on peut former les vecteurs , et , ainsi que leurs vecteurs opposés, , et .
Examinons maintenant quels sont les points et les vecteurs utilisés dans chacune des propositions. Dans le tableau ci-dessous, les cellules sont grisées lorsque les coordonnées qu’elles contiennent ne correspondent pas à l’un de nos trois points ou à l’un des vecteurs pouvant être formés à partir de nos trois points.
On constate que la proposition correcte est la D. Les équations paramétriques de la proposition D correspondent en effet à un plan contenant le point et les vecteurs et .
Voyons maintenant comment écrire l’équation d’un plan sous la forme générale à partir de ses équations paramétriques. On rappelle que la forme standard de l’équation d’un plan est où est un vecteur normal au plan et est un point du plan. La forme standard peut facilement être réarrangée pour donner la forme générale
Puisque le produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires d’un plan nous donne un vecteur normal à ce plan, on peut écrire la forme générale de l’équation d’un plan à partir de ses équations paramétriques.
Comment : Trouver l’équation générale d’un plan à partir de ses équations paramétriques
En calculant le produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires du plan, on obtient un vecteur normal à ce plan. Par conséquent, en prenant les vecteurs et des équations paramétriques on trouve
Alors, l’équation sous la forme standard est
On peut la réarranger pour obtenir la forme générale où
Mettons cette méthode en pratique dans l’exemple suivant.
Exemple 5: Trouver l’équation générale d’un plan à partir de son équation paramétrique
Déterminez l’équation générale du plan , , .
Réponse
On nous a donné les équations paramétriques du plan. On sait que les coefficients de d’une part et de d’autre part correspondent aux composantes de deux vecteurs du plan. On note ces vecteurs et . On a alors et . Par conséquent, un vecteur normal au plan est
On a déterminé que le vecteur est normal au plan. Les vecteurs normaux à un plan sont tous parallèles, donc ils peuvent tous s’écrire comme le produit , où est un vecteur normal et est un nombre réel. Ici, toutes les composantes de sont des multiples de 4, donc on peut choisir d’utiliser le vecteur normal pour écrire l’équation générale.
L’équation générale d’un plan est de la forme où , et sont les composantes d’un vecteur normal au plan. En remplaçant par les composantes de notre vecteur normal dans cette équation générale, on trouve
Pour déterminer la constante , il nous faut connaitre les coordonnées d’un point appartenant au plan. On peut trouver les coordonnées d’un point appartenant au plan en utilisant ses équations paramétriques : dans chacune des trois équations, la constante correspond à l’une des coordonnées d’un point du plan. Ainsi, le point de coordonnées appartient au plan. On remplace donc par ces valeurs dans notre équation et on obtient
Par conséquent, l’équation générale du plan est
Il est important de noter que l’on aurait aussi pu écrire l’équation générale à partir du vecteur normal d’origine ; après avoir divisé par 4 les deux membres de l’équation, on aurait finalement obtenu la même équation.
Points clés
- L’équation sous la forme d’intersection d’un plan dont les coordonnées d’intersection avec l’axe des , l’axe des et l’axe des sont , et respectivement, est donnée par
- Les équations paramétriques d’un plan dans l’espace contenant un point et deux vecteurs non colinéaires et forment un système de trois équations de la forme où et sont deux nombres réels pouvant varier appelés les paramètres.
- Un vecteur normal au plan est donné par .
