Vidéo de la leçon : Équation d’un plan : équation cartésienne et représentation paramétrique | Nagwa Vidéo de la leçon : Équation d’un plan : équation cartésienne et représentation paramétrique | Nagwa

Vidéo de la leçon : Équation d’un plan : équation cartésienne et représentation paramétrique Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer l’équation d’un plan sous différentes formes, telles que l’équation cartésienne et la représentation paramétrique.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, notre étudions les formes cartésienne et paramétrique de l’équation d’un plan . Nous allons apprendre ici comment écrire l’équation d’un plan sous ces deux formes. Nous verrons également comment ces formes sont liées à d’autres façons d’exprimer l’équation d’un plan.

Pour commencer, rappelons les autres façons d’écrire l’équation d’un plan. Si on a un plan qui existe dans l’espace et qu’on connait un vecteur qui est normal à ce plan ainsi qu’un point qui se trouve dans celui-ci, alors on peut définir un vecteur - ici nous l’avons appelé 𝐫 zéro - de l’origine du repère au point connu. On peut aussi définir un vecteur - nous l’appelons 𝐫 – qui va de l’origine de notre repère à un point arbitraire 𝑃 dans notre plan, de sorte que si on soustrait 𝐫 zéro de 𝐫, on obtient un vecteur qui se trouve entièrement dans ce plan. Par conséquent, le produit scalaire de ce vecteur et de notre vecteur normal 𝐧 doit être égal à zéro.

De même, on peut écrire 𝐧 scalaire 𝐫 est égal à 𝐧 scalaire 𝐫 zéro. Et voici ce qu’on appelle la forme vectorielle de l’équation d’un plan. Maintenant, si on dit que le point connu, 𝑃 zéro a les coordonnées 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et 𝑧 zéro, cela implique qu’on peut écrire le vecteur 𝐫 zéro comme un vecteur avec ces composantes. Ainsi, lorsqu’on effectue les deux produits scalaires sous la forme vectorielle de l’équation d’un plan, on obtient ce résultat. Si on rassemble les termes qui ont 𝑎, 𝑏 et 𝑐, en commun on obtient ce qu’on appelle la forme scalaire de l’équation d’un plan.

Puis, pour obtenir la forme générale de l’équation d’un plan, on peut revenir à cette étape de notre calcul. Nous allons regrouper tout ce qui est à droite, nous appellerons cela moins 𝑑. Si on ajoute ensuite 𝑑 aux deux côtés, on obtient cette expression, qui est la forme générale de l’équation d’un plan.

Sachant tout cela, nous pouvons maintenant examiner deux autres façons d’écrire l’équation d’un plan. Comme nous l’avons vu, une est la forme cartésienne et l’autre, la forme paramétrique. Le concept derrière la forme cartésienne est le suivant. En général, un plan dans l’espace coupe les axes des 𝑥, 𝑦 et 𝑧 du repère. Après tout, bien que nous ayons représenté notre plan ici comme un objet à quatre côtés, nous savons que tous ces côtés s’étendent infiniment loin vers l’extérieur. Sauf dans des cas très exceptionnels, ce plan coupera à un moment donné nos trois axes.

Pour visualiser cela plus clairement, supposons qu’on change de perspective et qu’on oriente le plan vers nos axes comme ceci. Si nous devions marquer les points où le plan coupe les axes des 𝑥, 𝑦 et 𝑧, ils pourraient ressembler à ceci. Supposons aussi que nous connaissons ces points d’intersection. Le long de l’axe des 𝑥, par exemple, notre point a les coordonnées grand 𝐴, zéro, zéro. En outre, sur l’axe des 𝑦, nous dirons que cette intersection est à une distance grand 𝐵 de l’origine, puis à une distance grand 𝐶 le long de l’axe 𝑧.

Maintenant, connaissant ces trois points, nous pouvons les introduire un par un dans la forme générale de l’équation de notre plan. Par exemple, lorsqu’on introduit le point d’intersection le long de l’axe des 𝑥 dans l’équation, on obtient 𝑎 fois grand 𝐴 plus 𝑏 fois zéro plus 𝑐 fois zéro plus 𝑑 est égal à zéro. On peut simplifier cela et avoir 𝑎 fois grand 𝐴 plus 𝑑 égale zéro, si on détermine ensuite petit 𝑎, on obtient moins 𝑑 sur grand 𝐴.

Nous pouvons garder ce résultat et utiliser ensuite le point d’intersection sur l’axe des 𝑦 de la même manière. Lorsqu’on substitue ce point dans la forme générale, on obtient 𝑎 fois zéro plus 𝑏 fois grand 𝐵 plus 𝑐 fois zéro plus 𝑑 est égal à zéro. Cela devient 𝑏 fois grand 𝐵 plus 𝑑 égale zéro, ce qui nous donne 𝑏 est égal à moins 𝑑 sur grand 𝐵. Nous allons aussi garder ce résultat. Et enfin, nous allons substituer le point d’intersection sur l’axe des 𝑧. 𝑎 fois zéro plus 𝑏 fois zéro plus 𝑐 fois grand 𝐶 plus 𝑑 est égal à zéro. Donc 𝑐 fois grand 𝐶 plus 𝑑 égale zéro ou 𝑐 égale moins 𝑑 sur grand 𝐶.

Maintenant que nous avons des expressions pour 𝑎, 𝑏 et 𝑐 en fonction des points d’intersection de notre plan, nous pouvons revenir une fois de plus à la forme générale et remplacer 𝑎, 𝑏 et 𝑐 par ces valeurs dans l’équation. Cela nous donne cette équation. Et en regardant le côté gauche, nous remarquons que notre facteur de 𝑑 est commun aux quatre termes. Alors, voici ce que nous pouvons faire. Si on soustrait 𝑑 des deux côtés, puis que l’on divise les deux côtés par moins 𝑑, notez que sur le côté droit, on obtient plus un. Et sur le côté gauche, toutes les instances de la variable 𝑑 s’annulent.

Puisqu’on divise par moins 𝑑, on perd également les signes négatifs. Et on obtient cette expression. Voici la forme cartésienne de l’équation de notre plan, où le plan coupe les axes des 𝑥, 𝑦 et 𝑧 aux points que nous avons identifiés.

Cela nous amène à la dernière forme de l’équation d’un plan que nous allons examiner. Comme point de départ, revenons à notre plan et supposons que nous connaissons un point, non pas les points que nous avons identifiés, mais un autre quelque part sur la surface du plan. Pour définir complètement ce plan et pouvoir accéder à n’importe quel point du plan, nous pouvons commencer par ce point qui est dans le plan, puis on parcourt une distance dans n’importe quelle direction qui se trouve également dans le plan. Appelons ce point connu 𝑃 zéro.

Pour accéder à tous les points du plan à partir de 𝑃 zéro, nous avons besoin de deux vecteurs - nous les appellerons 𝐯 un et 𝐯 deux - qui se trouvent dans le plan et ne sont pas parallèles. L’idée ici est que si on multiplie chacun de ces deux vecteurs par un facteur d’échelle – appelons les respectivement 𝑡 un et 𝑡 deux - alors si 𝑡 un et 𝑡 deux couvrent toutes les valeurs négatives et positives possibles, cette expression couvre tous les points de notre plan.

Pour le dire autrement, revenons à notre dessin sur lequel on a 𝑃 zéro et ces trois points d’intersection. Puisque les points d’intersection sont tous situés dans le plan, par définition, tout vecteur qui part de l’un de ces points pour aller vers un autre de ces points sera aussi dans le plan. Ce que nous faisons alors, c’est s’éloigner d’un vecteur partant de l’origine jusqu’à atteindre le point connu dans le plan 𝑃 zéro. Mathématiquement, on peut représenter cela comme un vecteur 𝐫 zéro. Si on ajoute ensuite, à cette valeur dans le plan, tous les multiples possibles de nos vecteurs non parallèles 𝐯 un et 𝐯 deux, alors on aura couvert tous les points de notre plan. Nous l’aurons défini.

Dans cette équation, les valeurs 𝑡 un et 𝑡 deux sont nos paramètres. Ce sont les valeurs que nous pouvons faire varier pour couvrir tous les points de notre plan. Maintenant, puisque nous cherchons une équation pour un vecteur tridimensionnel, il y a vraiment trois équations distinctes impliquées ici. Si nous écrivons 𝐫 comme un vecteur avec les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 ; notre vecteur d’origine avec les composantes 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et 𝑧 zéro ; et de même 𝐯 un et 𝐯 deux en fonction de leurs composantes, nous pouvons alors écrire des équations distinctes pour 𝑥, 𝑦 et 𝑧 comme ceci. Les paramètres 𝑡 un et 𝑡 deux sont dans les trois équations. Voici donc la forme paramétrique de l’équation d’un plan.

Nous connaissons donc maintenant cinq façons d’écrire l’équation d’un plan. À présent, essayons de bien comprendre ces formes avec quelques exemples.

Déterminez, sous forme paramétrique, l’équation du plan qui passe par le point 𝐴 un, deux, un et les deux vecteurs 𝐝 un égale à un, moins un, deux et 𝐝 deux égale à deux, moins un, un.

Bien, nous avons ici toutes ces réponses possibles pour la forme paramétrique de l’équation de notre plan. Et comme nous l’avons vu, ce plan passe par ce point 𝐴 et contient ces deux vecteurs 𝐝 un et 𝐝 deux. Visuellement, notre plan pourrait ressembler à ceci. En écrivant l’équation de ce plan, l’idée est de commencer au point connu, puis s’éloigner de ce point en multiples des vecteurs 𝐝 un et 𝐝 deux. Nous pourrions donc dire qu’un vecteur décrivant la surface entière de notre plan - nous l’appellerons 𝐫 - est égal à un vecteur de notre point connu sur le plan plus un paramètre qui varie sur tous les nombres possibles multipliés par notre vecteur 𝐝 un ajouté à un autre paramètre qui varie également sur tous les nombres possibles multiplié par le vecteur 𝐝 deux.

Bien qu’on pourrait avoir l’impression que nous ne considérons qu’une seule équation ici, il y en a en fait trois : une pour la dimension 𝑥, une pour la 𝑦 et une pour la 𝑧. Pour voir cela, on peut remplacer ce vecteur 𝐫 par ses composantes. Maintenant, nous voyons que 𝑥 est égal à un plus 𝑡 un fois un plus 𝑡 deux fois deux. Alors, de même, 𝑦 est égal à deux plus 𝑡 un fois moins un plus 𝑡 deux fois moins un. Enfin, nous avons aussi une équation pour la composante 𝑧 de notre vecteur. 𝑧 égale un plus deux fois 𝑡 un plus 𝑡 deux. Voici la forme paramétrique de l’équation de notre plan. Et si nous examinons nos options, nous voyons que notre résultat correspond à l’option (A). L’équation de notre plan sous forme paramétrique est 𝑥 est égal à un plus 𝑡 un plus deux fois 𝑡 deux, 𝑦 est égal à deux moins 𝑡 un moins 𝑡 deux, 𝑧 est égal à un plus deux 𝑡 un plus 𝑡 deux.

Voyons maintenant un exemple dans lequel on détermine la forme paramétrique de l’équation d’un plan en utilisant trois points.

Déterminez la forme paramétrique de l’équation du plan qui passe par les points 𝐴 un, cinq, un ; 𝐵 trois, quatre, trois ; et 𝐶 deux, trois, quatre.

Bien, nous avons donc ce plan qui contient ces trois points 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Nous voulons déterminer laquelle de ces cinq options nous donne la forme paramétrique de l’équation du plan. Rappelons que pour définir la forme paramétrique de l’équation d’un plan, on doit connaître un point sur le plan et deux vecteurs qui se trouvent dans le plan. Ici, nous avons trois points. Nous pouvons réellement utiliser ces points pour définir deux vecteurs coplanaires. Par exemple, si on soustrait le point 𝐴 du point 𝐵, on obtient ce vecteur en rose. Et de même, si on soustrait 𝐴 de 𝐶, on obtient ce vecteur.

Lorsqu’on remplace 𝐵 moins 𝐴 par les coordonnées de ces points, on a trois moins un égale deux, quatre moins cinq égale moins un et trois moins un égale deux. Et puis, pour 𝐶 moins 𝐴, deux moins un égale un, trois moins cinq égale moins deux et quatre moins un égale trois. Et nous disons que ces coordonnées sont en fait les composantes de deux vecteurs dans notre plan. Nous les appellerons 𝐯 un et 𝐯 deux.

Maintenant, notez que nous avons un point - nous avons choisi le point 𝐴 - ainsi que deux vecteurs qui se trouvent dans ce plan. Nous pouvons maintenant rappeler la manière la plus générale d’écrire la forme paramétrique de l’équation d’un plan. C’est en fonction d’un point dans le plan que nous avons deux vecteurs, 𝐯 un et 𝐯 deux, qui se trouvent dans le plan, chacun étant multiplié par son propre paramètre.

Si on applique cette équation à notre scénario, on peut écrire que le vecteur 𝐫 ayant les composantes 𝑥, 𝑦, 𝑧 est égal à un vecteur de notre point connu, un, cinq, un, plus un paramètre 𝑡 un fois notre premier vecteur 𝐯 un plus un second paramètre 𝑡 deux fois 𝐯 deux. Notez que, à partir de cette expression, on peut obtenir des équations pour 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Par exemple, 𝑥 est égal à un plus deux fois 𝑡 un plus un fois 𝑡 deux. 𝑦 est égal à cinq moins un fois 𝑡 un moins deux fois 𝑡 deux. Et 𝑧 est égal à un plus deux fois 𝑡 un plus trois fois 𝑡 deux. Ces équations sont la forme paramétrique de l’équation de notre plan. Lorsqu’on examine les options de réponse, on constate que notre résultat correspond au choix (E).

Alors, il existe de nombreuses façons équivalentes d’exprimer la forme paramétrique de l’équation d’un plan. Par exemple, nous aurions pu choisir un point différent, 𝐵 ou 𝐶, plutôt que le point 𝐴. Et nous aurions obtenu des vecteurs coplanaires différents de ceux que nous avons eus ici. Néanmoins, nous n’aurions toujours pas choisi les options (A), (B), (C) ou (D) car aucune de ces options n’utilise le point 𝐴, 𝐵 ou 𝐶 comme point situé dans le plan.

Notre réponse finale est donc l’option (E). 𝑥 est égal à un plus deux fois 𝑡 un plus 𝑡 deux, 𝑦 est égal à cinq moins 𝑡 un moins deux 𝑡 deux et 𝑧 est égal à un plus deux 𝑡 un plus trois 𝑡 deux.

Voyons maintenant un exemple dans lequel on commence par la forme paramétrique de l’équation d’un plan et on la convertit en une autre forme.

Déterminez l’équation générale du plan 𝑥 égale quatre plus sept 𝑡 un plus quatre 𝑡 deux, 𝑦 égale moins trois moins quatre 𝑡 deux, 𝑧 égale un plus trois 𝑡 un.

Bien dans cet exercice, on nous donne l’équation d’un plan sous forme paramétrique. Cela signifie que nous avons trois équations pour 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Elles sont écrites en fonction de deux paramètres, 𝑡 un et 𝑡 deux. Nous voulons convertir la forme paramétrique en la forme générale de l’équation de ce plan. Nous savons que la forme générale ou cartésienne de l’équation d’un plan est donnée par 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 égale zéro. La question est donc de savoir comment exprimer ces équations sous cette forme.

Nous pouvons commencer par rappeler que la forme paramétrique de l’équation d’un plan implique un point dans le plan et deux vecteurs qui se trouvent également dans celui-ci. Nous pouvons écrire cela mathématiquement comme ceci. Cette équation signifie que nous pouvons arriver à n’importe quel point dans notre plan en commençant par un point connu dans le plan puis en s’éloignant de celui-ci dans ces deux directions définies par ces vecteurs 𝐯 un et 𝐯 deux, où ces vecteurs varient par ces paramètres 𝑡 un et 𝑡 deux.

Maintenant, ces trois équations données pour 𝑥, 𝑦 et 𝑧 entrent dans cette forme paramétrique générale. Cela signifie que, par exemple, 𝑥 est égal à quatre - cela serait 𝑥 zéro sous cette forme - plus sept fois 𝑡 un - donc 𝐯 un 𝑥 serait sept - plus quatre fois 𝑡 deux - donc 𝐯 deux 𝑥 serait égal à quatre. Lorsqu’on effectue cela pour 𝑥, 𝑦 et 𝑧, on obtient ce résultat, qui nous dit que, selon ces équations paramétriques, notre plan contient le point quatre, moins trois, un et les vecteurs sept, zéro, trois et quatre, moins quatre, zéro.

Maintenant, à ce stade, rappelons que la forme générale d’un plan est basée sur la définition d’un plan en fonction d’un vecteur qui lui est normal et d’un point sur le plan, tandis que, la forme paramétrique vient de la définition d’un plan en fonction d’un point sur le plan et deux vecteurs qui se trouvent dans le plan. Pour passer de la forme paramétrique à la forme générale, nous devons prendre ces deux vecteurs coplanaires et les combiner d’une certaine manière pour obtenir un vecteur normal au plan.

Nous pouvons faire cela en évaluant le produit vectoriel de nos deux vecteurs coplanaires. Nous les avons appelés 𝐯 un et 𝐯 deux. Notez que les composantes de 𝐯 un sont sept, zéro, trois et celles de 𝐯 deux sont quatre, moins quatre, zéro. Ce sont donc les valeurs que nous allons utiliser dans les deux dernières lignes de notre matrice trois trois. Lorsqu’on calcule ce déterminant, on obtient 𝐢 fois zéro moins moins 12 moins 𝐣 fois zéro moins 12 plus 𝐤 fois moins 28 moins zéro. Ce qui est équivalent à 12𝐢 plus 12𝐣 moins 28𝐤 ou simplement, 12, 12, moins 28.

Notez que si on divise toutes les composantes de ce vecteur par quatre, on obtient un vecteur réduit mais qui reste normal au plan d’intérêt. Par souci de simplicité, nous dirons donc que voici notre vecteur normal 𝐧.

Bien, nous avons un vecteur qui est normal à notre plan. Et nous avons aussi un point qui se trouve dans le plan : quatre, moins trois, un. Nous pouvons utiliser cette information pour écrire l’équation de notre plan comme un vecteur normal scalaire un vecteur à un point général du plan égal à notre vecteur normal scalaire un vecteur à un point qui se trouve dans le plan. Lorsqu’on effectue ces produits scalaires, on obtient trois 𝑥 plus trois 𝑦 moins sept 𝑧 est égal à 12 moins neuf moins sept, ce qui est égal à moins quatre.

Avec notre équation écrite de cette façon, nous pouvons voir que nous sommes très proches de la forme générale de l’équation d’un plan. Enfin, ajoutons plus quatre aux deux côtés de cette équation, ce qui nous donne ce résultat. Ainsi, la forme générale de l’équation de notre plan est trois 𝑥 plus trois 𝑦 moins sept 𝑧 plus quatre est égal à zéro.

Terminons maintenant cette leçon en résumant quelques points clés. Nous avons commencé cette leçon en rappelant qu’on peut écrire l’équation d’un plan sous des formes vectorielles, scalaires et générales. Nous avons ensuite vu qu’on peut également utiliser ce qu’on appelle la forme cartésienne, où on utilise les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 où notre plan coupe les axes des 𝑥, 𝑦 et 𝑧 pour définir le plan. Enfin, nous avons appris qu’il est possible d’écrire l’équation d’un plan sous ce qu’on appelle une forme paramétrique. Cela implique d’utiliser deux vecteurs situés dans le plan ainsi qu’un vecteur vers un point du plan pour générer un ensemble d’équations qui décrivent les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de tous les points du plan.

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