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La courbe de la figure (i) est celle de 𝑓 de 𝑥 égale cinq sur deux fois la valeur absolue de 𝑥 plus un demi de 𝑥, qui peut également s’écrire comme suit. 𝑓 de 𝑥 est égal à trois 𝑥 lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à zéro et 𝑓 de 𝑥 est égal à moins deux 𝑥 lorsque 𝑥 est strictement inférieur à zéro. Déterminez les valeurs de 𝑎 et 𝑏 qui feraient de la courbe (ii) celle de 𝑔 de 𝑥 égale 𝑎 fois la valeur absolue de 𝑥 moins cinq plus 𝑏 fois 𝑥 moins cinq.
Dans cette question, on nous donne les courbes de deux fonctions, et on nous donne deux façons différentes d’exprimer la fonction de la première courbe. Nous pouvons l’exprimer soit en utilisant un symbole de valeur absolue, soit en utilisant une fonction définie par morceaux. Nous pouvons voir que la deuxième courbe est très similaire à la première. En effet, on nous dit que 𝑔 de 𝑥 peut-être écrite de la même manière que 𝑓 de 𝑥, en utilisant un symbole de valeur absolue. Nous devons utiliser toutes ces informations pour déterminer les valeurs de 𝑎 et 𝑏, et il existe de nombreuses façons de procéder. Par exemple, nous pouvons le faire directement à partir de la figure et de la définition de 𝑔 de 𝑥. Cependant, nous allons d’abord examiner les deux définitions de 𝑓 de 𝑥 et voir en quoi elles correspondent à la figure.
Commençons par regarder la définition par morceaux de 𝑓 de 𝑥. Et regardons la première sous-fonction de 𝑓 de 𝑥. Cela vaut trois 𝑥 lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à zéro. Bien sûr, c’est la droite de coefficient directeur trois passant par l’origine que nous traçons uniquement lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à zéro. Nous pouvons la marquer en orange sur la figure. Nous pouvons alors faire de même pour la deuxième sous-fonction. Nous la marquons en rose. Par conséquent, nous pourrions déterminer la définition par morceaux de notre fonction 𝑓 de 𝑥 en déterminant les équations de chacune des sous-fonctions. A partir de la figure, nous pourrions déterminer que la droite rose a l’équation moins deux 𝑥 et la droite orange l’équation trois 𝑥. Cela nous donnerait alors la définition par morceaux de 𝑓 de 𝑥.
Nous pourrions le faire maintenant pour notre fonction 𝑔 de 𝑥 en utilisant la seconde figure. Cependant, cela ne nous donnerait pas directement les valeurs de 𝑎 et 𝑏. Au lieu de cela, nous devons déterminer en quoi les valeurs de 𝑎 et 𝑏 sont liées à la définition par morceaux. Pour ce faire, regardons encore une fois notre fonction 𝑓 de 𝑥. Cependant, cette fois, nous allons regarder la définition sous forme de valeur absolue de 𝑓 de 𝑥. Puisque la valeur absolue de 𝑥 change selon que 𝑥 est positif ou négatif, nous pouvons voir ce qui se passe dans ces deux cas. Premièrement, si 𝑥 est supérieur ou égal à zéro, alors la valeur absolue de 𝑥 est simplement égale à 𝑥. Par conséquent, 𝑓 de 𝑥 sera égale à cinq 𝑥 plus un demi de 𝑥, que nous pouvons évaluer comme trois 𝑥, ce qui est bien sûr la première sous-fonction de 𝑓 de 𝑥.
Nous pouvons faire exactement la même chose lorsque 𝑥 est strictement inférieur à zéro. Dans ce cas, la valeur absolue de 𝑥 est moins 𝑥, donc 𝑓 de 𝑥 égale moins cinq sur deux 𝑥 plus un demi de 𝑥, soit moins deux 𝑥, la deuxième sous-fonction de 𝑓 de 𝑥. Par conséquent, dans le cas de 𝑓 de 𝑥, ajouter les deux coefficients qui seraient les valeurs de 𝑎 et 𝑏 pour 𝑓 de 𝑥 nous a donné le coefficient de 𝑥 dans la première sous-fonction, puis changer le signe du premier coefficient et ajouter le deuxième coefficient nous a donné le coefficient de 𝑥 dans la deuxième sous-fonction. Cela est une relation entre les équations de chaque sous-fonction et les valeurs des coefficients que nous recherchons.
Nous pouvons maintenant appliquer ce même processus à 𝑔 de 𝑥. Et il y a plusieurs façons de procéder. Par exemple, nous pourrions trouver une définition par morceaux de 𝑔 de 𝑥 à partir de sa courbe. Cependant, cela n’est pas nécessaire. Au lieu de cela, nous allons simplement le faire directement à partir de l’équation donnée. Tout d’abord, commençons lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à cinq. Dans ce cas, la valeur absolue de 𝑥 moins cinq sera simplement 𝑥 moins cinq car cela est positif. Cela nous donne 𝑔 de 𝑥 égale 𝑎 fois 𝑥 moins cinq plus 𝑏 fois 𝑥 moins cinq lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à cinq. Et nous avons marqué en bleu la partie de notre courbe lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à cinq.
Nous pouvons ensuite développer les parenthèses et simplifier cette expression. Nous obtenons 𝑎 plus 𝑏 multiplié par 𝑥 moins cinq 𝑎 moins cinq 𝑏. Ce sera la sous-fonction pour la partie de la courbe marquée en bleu. Et maintenant, il existe différentes façons d’utiliser cette fonction pour trouver une expression en fonction de 𝑎 et 𝑏. Nous allons utiliser le fait qu’il s’agit d’une fonction affine. Et dans une fonction affine, le coefficient de 𝑥 est le coefficient directeur de la droite. Cela signifie que le coefficient directeur de la droite bleue doit être égal à 𝑎 plus 𝑏, et nous pouvons trouver le coefficient directeur de la droite à partir de la figure. Pour cinq unités vers la droite, nous nous déplaçons de cinq unités vers le haut. Le coefficient directeur de la droite est un. Par conséquent, le coefficient de 𝑥 doit être un. Alors 𝑎 plus 𝑏 est égal à un.
Appliquons le même processus pour l’autre sous-fonction. Dans cette sous-fonction, nos valeurs de 𝑥 sont strictement inférieures à cinq, donc la valeur absolue de 𝑥 moins cinq sera égale à cinq moins 𝑥. Alors 𝑔 de 𝑥 égale 𝑎 fois cinq moins 𝑥 plus 𝑏 fois 𝑥 moins cinq. Nous pouvons alors développer et simplifier exactement de la même manière. Cette fois, nous obtenons 𝑏 moins 𝑎 multiplié par 𝑥 plus cinq 𝑎 moins cinq 𝑏. Maintenant, nous pouvons trouver une expression pour 𝑏 moins 𝑎 en déterminant le coefficient directeur de la droite. Nous pouvons déterminer le coefficient directeur de cette droite à partir de la figure. Pour cinq unités vers la droite, nous nous déplaçons de 15 unités vers le bas. Et moins 15 divisé par cinq égale moins trois. Le coefficient directeur de la droite est moins trois. Le coefficient de 𝑥 est donc moins trois. Donc 𝑏 moins 𝑎 est égal à moins trois.
Par conséquent, nous avons deux équations d’inconnues 𝑎 et 𝑏. Nous pouvons les résoudre comme un système d’équations, et il existe plusieurs façons de procéder. Nous allons additionner les deux équations pour éliminer 𝑎. Nous obtenons deux 𝑏 égale moins deux, que nous pouvons résoudre en divisant par deux. Donc 𝑏 égale moins un. Enfin, nous pouvons déterminer la valeur de 𝑎 en substituant notre valeur de 𝑏 dans l’une de nos précédentes équations. Par exemple, nous savons que 𝑎 plus 𝑏 est égal à un et 𝑏 est égal à moins un, donc notre valeur de 𝑎 est deux.
Par conséquent, nous avons pu montrer que pour que la courbe de la figure (ii) soit la courbe de 𝑔 de 𝑥 égale 𝑎 fois la valeur absolue de 𝑥 moins cinq plus 𝑏 fois 𝑥 moins cinq, la valeur de 𝑎 doit être deux et la valeur de 𝑏 doit être moins un.
