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Dérivez la fonction définie par 𝐷 de 𝑡 égale un moins 81fois 𝑡 à la puissance quatre le tout divisé par trois 𝑡 le tout élevé à la puissance cinq.
On nous demande de dériver la fonction 𝐷 de 𝑡, et nous pourrions voir que 𝐷 de 𝑡 est le quotient de deux fonctions. Au numérateur, nous avons un moins 81fois 𝑡 à la puissance quatre. Et au dénominateur, nous avons trois 𝑡 le tout élevé à la puissance cinq. Nous pourrions donc être tentés de dériver cela en utilisant la règle du quotient. Après tout, nous pouvons dériver le numérateur et le dénominateur par rapport à 𝑡. Et cela fonctionnerait.
Cependant, dans ce cas, il existe une méthode plus simple. Au lieu d’utiliser directement la règle du quotient, nous allons d’abord répartir l’exposant de cinq sur les parenthèses au dénominateur. Ce faisant, nous obtenons que 𝐷 de 𝑡 est égal à un moins 81 fois 𝑡 à la puissance quatre le tout divisé par 243 fois 𝑡 à la puissance cinq. Et maintenant, nous pouvons voir quelque chose d’intéressant. Nous pouvons simplement diviser les deux termes du numérateur par le dénominateur. Ce faisant, nous obtenons un sur 243 𝑡 puissance cinq moins 81 𝑡 puissance quatre divisé par 243 𝑡 puissance cinq.
Et maintenant, nous pouvons commencer à simplifier. Dans notre deuxième terme, 81 divisé par 243 est juste égal à un tiers. Et nous pouvons également éliminer quatre des facteurs communs 𝑡 au numérateur et au dénominateur. Cela nous donne un sur 243 𝑡 puissance cinq moins un divisé par trois 𝑡. Et la dernière chose que nous ferons est d’utiliser les lois des exposants pour réécrire les facteurs de 𝑡 du dénominateur au numérateur. Cela nous donne 𝑡 à la puissance moins cinq divisé par 243 moins 𝑡 à la puissance moins un divisé par trois.
Et maintenant, nous pouvons voir que nous pouvons évaluer les dérivées de ces deux termes en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Nous voulons multiplier par l’exposant de 𝑡 puis réduire cet exposant de un, afin que nous puissions évaluer la dérivée de 𝐷 de 𝑡 terme à terme. Dans notre premier terme, l’exposant de 𝑡 est moins cinq. Nous devons donc multiplier par cet exposant de 𝑡, puis réduire cet exposant de un. Cela nous donne moins cinq 𝑡 à la puissance moins six divisé par 243. Et dans notre deuxième terme, notre exposant de 𝑡 est moins un. Nous multiplions donc par moins un, puis réduisons cet exposant de un.
Donc, nous soustrayons moins un fois 𝑡 à la puissance moins deux divisé par trois. Et bien sûr, nous pouvons simplifier. Soustraire moins un fois 𝑡 à la puissance moins deux sur trois revient à ajouter 𝑡 à la puissance moins deux sur trois. Et enfin, nous allons réorganiser ces termes pour obtenir un tiers fois 𝑡 à la puissance moins deux moins cinq divisé par 243 fois 𝑡 à la puissance moins six. Et voici notre réponse finale.
Dans cette question, on nous a donné la fonction 𝐷 de 𝑡 égale un moins 81 𝑡 puissance quatre le tout divisé par trois 𝑡 le tout élevé à la puissance cinq. Et on nous a demandé de dériver cela. Et au lieu de le faire en utilisant la règle du quotient, nous avons pu manipuler notre expression sous une forme que nous pourrions dériver en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Nous avons obtenu que 𝐷 prime de 𝑡 est égale à un tiers de 𝑡 à la puissance moins deux moins cinq divisé par 243 fois 𝑡 à la puissance moins six.
