Vidéo de la leçon : Propriétés des combinaisons Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment résoudre des problèmes impliquant des combinaisons.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment résoudre des problèmes impliquant des combinaisons.

Une combinaison est une sélection de 𝑟 éléments choisis sans remise parmi un ensemble de 𝑛 éléments. Et dans laquelle l’ordre n’a pas d’importance. Un arrangement, cependant, est une sélection de 𝑟 éléments choisis sans remise parmi un ensemble de 𝑛 éléments où l’ordre est important. La principale différence entre ces deux définitions est donc l’importance de l’ordre dans lequel les éléments sont choisis. Par exemple, pour choisir les éléments 𝐴 et 𝐵 dans un ensemble, on pourrait choisir 𝐴 puis 𝐵 ou 𝐵 puis 𝐴. Avec les combinaisons, l’ordre n’a pas d’importance. On considère donc que ces deux sélections sont identiques. Et elles constituent ainsi la même combinaison. Pour les arrangements en revanche, ces deux sélections sont différentes car l’ordre est inversé. Et ce sont donc deux arrangements différents.

On constate ainsi que le nombre d’arrangements est supérieur au nombre de combinaisons. Il est en fait supérieur d’un facteur égal à factorielle 𝑟. Cela signifie que l’on peut définir le nombre de combinaisons de 𝑟 parmi 𝑛 comme étant égal au nombre d’arrangements de r parmi 𝑛 divisé par factorielle 𝑟. On rappelle que A n r est égal à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑛 moins 𝑟. Cela signifie que A n r divisé par factorielle 𝑟 est égal à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Nous pouvons maintenant donner la définition suivante. Le nombre de combinaisons de 𝑟 éléments parmi un ensemble de 𝑛 éléments est défini par 𝑟 parmi 𝑛 égale factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟.

Cette notation se lit 𝐶𝑛𝑟 ou parfois aussi « 𝑟 parmi 𝑛 ». Et on parle parfois de coefficient binomial. Vous pouvez aussi parfois le voir écrit comme indiqué. Nous allons maintenant étudier les principales propriétés de 𝑟 parmi 𝑛 et voir comment les appliquer pour simplifier des expressions et résoudre des équations. Commençons par un exemple où nous devons utiliser cette formule pour calculer la valeur d’une expression impliquant des combinaisons.

Calculez la valeur de 8 parmi 23 sur 6 parmi 23 sans utiliser de calculatrice.

Cette question nous demande de calculer la valeur d’un quotient. Pour le calculer sans utiliser de calculatrice, nous allons simplement commencer par rappeler la définition de 𝑟 parmi n. 𝑟 parmi 𝑛 représente le nombre de combinaisons de 𝑟 éléments parmi un ensemble de 𝑛 éléments. Il est égal à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Nous allons donc commencer par trouver les expressions de 8 parmi 23 et de 6 parmi 23 en fonction des factorielles.

En commençant par 8 parmi 23, on voit que dans notre formule, 𝑛 est égal à 23 et 𝑟 est égal à huit. Cela signifie que 8 parmi 23 est égal à factorielle 23 sur factorielle huit fois factorielle 23 moins huit. Mais puisque 23 moins huit égale 15, on peut légèrement simplifier cela pour obtenir factorielle 23 sur factorielle huit fois factorielle 15.

Répétons ce raisonnement avec 6 parmi 23. Cette fois, 𝑛 est toujours égal à 23 mais 𝑟 est égal à six. On trouve donc que 6 parmi 23 est égal à factorielle 23 divisée par factorielle 6 fois factorielle 23 moins 6. Ce qui se simplifie par factorielle 23 sur factorielle 6 fois factorielle 17.

On calcule ensuite le quotient de ces expressions. C’est-à-dire 8 parmi 23 divisé par 6 parmi 23. On calcule donc factorielle 23 sur factorielle huit fois factorielle 15 divisé par factorielle 23 sur factorielle 6 fois factorielle 17. On peut simplifier cette expression en se souvenant que lorsque l’on divise par une fraction, cela revient à multiplier par l’inverse de cette fraction. On multiplie donc l’expression de 8 parmi 23 par un sur l’expression de 6 parmi 23, qui est égal à factorielle six fois factorielle 17 sur factorielle 23.

C’est alors vraiment utile car on peut déjà simplifier par le facteur commun factorielle 23. Mais nous pouvons en réalité simplifier un peu plus. En mettant cette expression sous la forme d’une fraction unique, on a factorielle six fois factorielle 17 sur factorielle huit fois factorielle 15. Et nous allons maintenant utiliser la définition de la factorielle. On rappelle que factorielle 𝑛 est égale à 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux et ainsi de suite jusqu’à un. Cela signifie que factorielle 17 est égal à 17 fois 16 fois 15 et ainsi de suite.

Mais bien sûr, on peut l’écrire comme 17 fois 16 fois factorielle 15. Donc dans notre fraction, si on remplace factorielle 17 par 17 fois 16 fois factorielle 15, on peut annuler le factorielle 15, ce qui nous laisse avec factorielle 6 fois 17 fois 16 sur factorielle huit. Mais que se passe-t-il si on écrit maintenant factorielle huit comme huit fois sept fois factorielle 6 ? Eh bien, on peut alors annuler le factorielle 6. Et il nous reste 17 fois 16 sur huit fois sept.

Il reste enfin un dernier diviseur commun au numérateur et au dénominateur. On peut les diviser par huit, ce qui nous donne un numérateur de 17 fois deux et un dénominateur de simplement sept. Et 17 fois deux est bien sûr égal à 34. Sans utiliser une calculatrice, nous avons ainsi montré que 8 parmi 23 sur 6 parmi 23 est égal à 34 sur sept.

Remarquez à quel point on peut simplifier des expressions avec quelques manipulations astucieuses des combinaisons et des factorielles. Nous allons maintenant voir comment résoudre des équations à l’aide de ces formules.

Sachant que 𝑟 parmi 9 est égal à 3 parmi 9, trouvez toutes les valeurs possibles de 𝑟.

Commençons simplement par rappeler la définition de 𝑟 parmi 𝑛. 𝑟 parmi 𝑛, qui représente le nombre de combinaisons de 𝑟 éléments parmi un ensemble de 𝑛 éléments, est égal à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Le membre de gauche de notre équation 𝑟 parmi 9 peut donc être écrit comme factorielle 9 sur factorielle 𝑟 fois factorielle neuf moins 𝑟. Et on peut écrire le membre de droite 3 parmi 9 comme factorielle 9 sur factorielle 3 fois factorielle neuf moins 3 ou simplement factorielle 9 sur factorielle 3 fois factorielle 6.

Et l’énoncé indique que ces deux expressions sont égales. On a donc factorielle 9 sur factorielle 𝑟 fois factorielle neuf moins 𝑟 égale factorielle 9 sur factorielle 3 fois factorielle 6. En comparant maintenant les deux membres, on pourrait associer 𝑟 à cette valeur ici. Dans ce cas, 𝑛 serait égal à neuf et 𝑟 serait égal à trois. Mais il existe en fait une autre valeur de 𝑟. Cette valeur de 𝑟 vient de la commutativité de la multiplication : elle peut en effet être effectuée dans n’importe quel ordre. En d’autres termes, nous pouvons échanger les termes du dénominateur. C’est-à-dire inverser le trois et le six.

En faisant cela, nous ne changeons pas la valeur de l’expression. Mais nous pouvons maintenant dire que 𝑛 peut être égal à neuf et que 𝑟 peut être égal à six. Dans ce cas, neuf moins 𝑟 serait alors égal à trois. Et en définissant 𝑟 égale six, on voit que neuf moins 𝑟 égale neuf moins six, ce qui est bien égal à trois. Il y a donc une deuxième valeur de 𝑟 possible. 𝑟 peut donc aussi être égal à six. Sachant que 𝑟 parmi 9 est égal à 3 parmi 9, 𝑟 peut ainsi être égal à trois ou à six.

Cet exemple illustre la propriété de symétrie des combinaisons. On peut en réalité généraliser cela et énoncer que 𝑟 parmi 𝑛 est toujours égal à 𝑛 moins 𝑟 parmi 𝑛. Dans le prochain exemple, nous allons étudier ce que l’on appelle la relation de récurrence.

En appliquant la relation 𝑟 parmi 𝑛 plus 𝑟 moins un parmi 𝑛 égale r parmi 𝑛 plus un, calculez la valeur de 2 parmi 59 plus 3 parmi 59.

Il s’agit de ce que l’on appelle la relation de récurrence. Et elle peut nous aider à simplifier des expressions. Dans ce cas, nous cherchons la valeur de 2 parmi 59 plus 3 parmi 59. Comparons donc cette expression avec la relation de récurrence. Dans cette relation, le membre gauche comporte deux termes avec la même valeur de 𝑛. Qui sont 2 parmi 59 et 3 parmi 59. On définit donc 𝑛 égale 59. On a ensuite 𝑟 et 𝑟 moins un. Le premier terme a une plus grande valeur de 𝑟. Et le deuxième terme a une valeur de 𝑟 inférieure de un.

On peut donc échanger 3 parmi 59 et 2 parmi 59 pour que l’expression corresponde à ce critère. Et on voit que 𝑟 doit être égal à trois. 𝑟 moins un est égal à trois moins un, ce qui fait bien deux. D’après la relation donnée dans l’énoncé on a donc, 3 parmi 59 plus 2 parmi 59 doit être égal à trois parmi 𝑛 plus un, soit 59 plus un. Ce qui fait 3 parmi 60. Pour calculer la valeur de l’expression de la question, nous devons donc calculer la valeur de 3 parmi 60.

On rappelle pour cela que 𝑟 parmi 𝑛 est égal à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Nous devons faire attention ici à ne pas confondre 𝑛 et 𝑟 avec les valeurs que nous avons définies précédemment. Cette fois, 𝑛 va être égal à 60 et 𝑟 est toujours égal à trois. Cela nous donne 3 parmi 60 égale factorielle 60 sur factorielle trois fois factorielle 60 moins 3, c’est-à-dire factorielle 60 sur factorielle 3 fois factorielle 57. Nous pourrions maintenant utiliser une calculatrice pour calculer cela, mais regardons comment la définition de la factorielle peut nous aider à simplifier un peu.

factorielle 𝑛 égale 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux et ainsi de suite jusqu’à un. Cela signifie que factorielle 60 égale 60 fois 59 fois 58 et ainsi de suite. Mais bien sûr, on voit que l’on peut en fait réécrire cela comme 60 fois 59 fois 58 fois factorielle 57. Cela signifie que l’expression de 3 parmi 60 peut être réécrite ainsi. Et c’est formidable parce que nous pouvons maintenant simplifier par le facteur commun de factorielle 57. Et factorielle 3 est en fait égal à six, donc on peut également diviser le numérateur et le dénominateur par six. On obtient ainsi que 3 parmi 60 est égal à 10 fois 59 fois 58 sur un. 59 fois 58 égale 3 422. Donc, 10 fois 59 fois 58 égale 34 220. 2 parmi 59 plus 3 parmi 59 est donc égal à 34 220.

Souvenez-vous que nous avons dit que cette formule s’appellait la relation de récurrence. Et elle peut nous aider à simplifier des expressions. On peut généraliser et énoncer que r parmi n moins un plus r moins un parmi n moins un est égal à 𝑟 parmi 𝑛.

Dans les derniers exemples, nous allons voir comment calculer des sommes de combinaisons.

Calculez la valeur de 0 parmi 5 plus 1 parmi 5 plus 2 parmi 5, jusqu’à 5 parmi 5.

Pour répondre à cette question, nous allons rappeler deux propriétés. La première est que 𝑟 parmi 𝑛 est égal à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Mais nous savons aussi que les combinaisons ont une symétrie telle que 𝑟 parmi 𝑛 est égal à 𝑛 moins 𝑟 parmi 𝑛.

Observons à présent les termes de notre somme. On voit que 𝑛 est ici égal à cinq. Commençons donc par évaluer 0 parmi 5. Dans ce cas, 𝑟 est égal à zéro. Donc, 0 parmi 5 égale factorielle 5 sur factorielle 0 fois factorielle cinq moins 0. Sauf que factorielle zéro est simplement égale à un. On obtient donc factorielle 5 sur factorielle 5, ce qui fait un. Dû à la symétrie des combinaisons, nous savons que cela doit aussi être égal à 5 parmi 5. On a donc trouvé que 0 parmi 5 et 5 parmi 5 sont tous les deux égaux à un.

Nous allons maintenant calculer 1 parmi 5. Cela est égal à factorielle 5 sur factorielle 1 fois factorielle cinq moins un. Factorielle 1 est aussi égal à un. On obtient donc factorielle 5 sur factorielle 4. Mais comme factorielle 5 égale cinq fois quatre fois trois et ainsi de suite, on peut l’écrire comme cinq fois factorielle 4. Cela signifie que l’on peut simplifier par factorielle 4, et on trouve ainsi que 1 parmi 5 est égal à cinq. En utilisant la symétrie, on obtient que 4 parmi 5 est aussi égal à cinq.

Il nous reste à calculer 2 parmi 5 et 3 parmi 5. 2 parmi 5, est égal à factorielle 5 sur factorielle 2 fois factorielle cinq moins 2, ce qui nous donne 10. Et à cause de la symétrie, on sait que cela est aussi égal à 3 parmi 5. Notre somme est donc égale à un plus cinq plus 10 plus 10 plus cinq plus un, ce qui fait 32.

Et ce n’est en fait pas une coïncidence si cette solution est une puissance de deux. La formule générale est que la somme de tous les 𝑟 parmi 𝑛 pour un 𝑛 donné est égale à deux puissance 𝑛. En utilisant la notation de somme. On voit que la somme de 𝑟 égale zéro jusqu’à 𝑛 de 𝑟 parmi 𝑛 est égale à deux puissance n.

Étudions un dernier exemple.

Calculez la valeur de 0 parmi 4 moins 1 parmi 4 plus 2 parmi 4 moins 3 parmi 4 plus 4 parmi 4.

On rappelle que les combinaisons ont une propriété de symétrie telle que 𝑟 parmi 𝑛 est égal à r moins n parmi n. Cela signifie donc que 0 parmi 4 est égal à 4 parmi 4 et que 1 parmi 4 est égal à 3 parmi 4. Nous pouvons en réalité aller plus loin et dire que 0 parmi n et n parmi n sont tous les deux égaux à un. 0 parmi 4 et 4 parmi 4 sont donc égaux à un. Et comme 𝑟 parmi 𝑛 égale factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟, on trouve que 1 parmi 4 est égal à factorielle 4 sur factorielle 1 fois factorielle 3, ce qui fait quatre ; on en déduit donc que 1 parmi 4 égale quatre et que 3 parmi 4 égale quatre.

Calculons enfin 2 parmi 4. Cela fait factorielle 4 sur factorielle 2 fois factorielle 2, ce qui est égal à six. Nous sommes à présent prêts à calculer cette somme à signes alternés. Que l’on pourrait également écrire avec cette notation. On obtient alors un moins quatre plus six moins quatre plus un, ce qui est égal à zéro. La valeur de cette somme à signes alternés est par conséquent nulle. Et il s’agit en réalité à nouveau d’une formule générale. Les sommes à signes alternés des 𝑟 parmi 𝑛 sont égales à zéro. De manière générale, la somme de 𝑟 égale zéro jusqu’à de moins un puissance 𝑟 fois 𝑟 parmi 𝑛 est égale à zéro.

Dans cette vidéo, nous avons appris que le nombre de combinaisons de 𝑟 éléments parmi un ensemble de 𝑛 éléments est défini par 𝑟 parmi 𝑛. Il est égal au nombre d’arrangements divisé par factorielle 𝑟, c’est-à-dire factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Nous avons vu que les combinaisons ont une propriété de symétrie où 𝑟 parmi 𝑛 est toujours égal à 𝑛 moins 𝑟 parmi 𝑛 et que 0 parmi n et n parmi n sont toujours égaux à un.

Nous avons également appris que r parmi n moins un plus r moins un parmi n moins un est égal à 𝑟 parmi 𝑛. C’est ce qu’on appelle la relation de récurrence. Cette relation peut nous aider à simplifier des expressions. Nous avons de plus vu que la somme de 𝑟 égale zéro jusqu’à 𝑟 égale 𝑛 de 𝑟 parmi 𝑛 est égale à deux puissance 𝑛 et que la somme de 𝑟 égale zéro jusqu’à de moins un puissance 𝑟 fois 𝑟 parmi 𝑛 est égale à zéro. Nous avons ainsi montré qu’en utilisant la définition de 𝑟 parmi 𝑛 et ses propriétés, on peut simplifier des expressions et résoudre des équations impliquant des combinaisons.

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