Fiche explicative de la leçon : Propriétés des combinaisons Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment résoudre des problèmes impliquant des combinaisons.

Une combinaison est une sélection de 𝑘 éléments choisis sans répétition parmi un ensemble de 𝑛 éléments pour laquelle l’ordre n’a pas d’importance. La principale différence entre une combinaison et un arrangement est que l’ordre n’a pas d’importance. Pour un arrangement, l’ordre est important. Considérons par exemple le nombre de façons dont on peut attribuer le rôle de président et de vice-président à un groupe de 5 personnes:Gabrielle, Bastien, Lily, Clovis et Alix. Si on choisit Gabrielle puis Alix, ce n’est pas la même chose que Alix puis Gabrielle car le premier choix sera la présidente et le second le vice-président. Cependant, si on souhaite simplement un comité de deux personnes, peu importe si on choisit Gabrielle puis Alix ou Alix puis Gabrielle. Compter avec des arrangements conduit donc à surévaluer le nombre de choix possibles si l’ordre n’a pas d’importance. En fait, on le surévalue d’un facteur 𝑘! exactement. Par conséquent, on peut définir le nombre de combinaisons de 𝑘 parmi 𝑛 comme le nombre d’arrangements de 𝑘 parmi 𝑛 divisé par 𝑘!.

Définition : Nombre de combinaisons

Le nombre de combinaisons de 𝑘 éléments parmi un ensemble de 𝑛 éléments est défini par C=𝐴𝑘!=𝑛!𝑘!(𝑛𝑘)!.

La notation C peut être lue comme « C-𝑛-𝑘 » ou comme, « parmi 𝑛 éléments, on choisit 𝑘 éléments » et on l’appelle également coefficient binomial. Une autre notation très courante de C est 𝑛𝑘;il existe cependant également d’autres notation fréquemment utilisées telles que C, C, C et C(𝑛;𝑘).

Cette fiche explicative se concentre sur les propriétés clés de C et sur leur application pour simplifier des expressions et résoudre des équations. Commençons par étudier un exemple où nous devons utiliser la formule ci-dessus pour calculer une expression avec des combinaisons.

Exemple 1: Calculer avec des combinaisons

Déterminez la valeur deCC sans utiliser de calculatrice.

Réponse

On rappelle que C=𝑛!𝑘!(𝑛𝑘)!.

En substituant 𝑛=23 et 𝑘=8, on aC=23!8!(238)!=23!8!×15!.

De même, en substituant 𝑛=23 et 𝑘=6, on a C=23!6!×17!.

En les substituant dans l’expression donnée, on obtient CC!!×!!!×!=.

En utilisant les propriétés des fractions, on peut le réécrire comme suit CC=23!8!×15!6!×17!23!.

En simplifiant par le facteur commun 23!, on a CC=6!×17!8!×15!.

Comme 𝑛!=𝑛(𝑛1)××2×1, on peut simplifier davantage pour obtenir17×168×7=347.

Pour résoudre l’exemple précédent, nous aurions pu simplement utiliser la fonction des combinaisons sur notre calculatrice pour calculer l’expression. Cependant, maîtriser l’application des formules des arrangements et des combinaisons vous donnera les compétences nécessaires pour aborder des problèmes plus complexes.

Étudions à présent un exemple où nous devons déterminer une inconnue dans une équation impliquant un arrangement et une combinaison.

Exemple 2: Égalité de combinaisons et d’arrangements

Sachant que C=𝐴, déterminez la ou les valeurs de 𝑘.

Réponse

D’après la définition des combinaisons, on a C=𝐴𝑘!.

En le remplaçant dans l’équation donnée, on obtient 𝐴==𝐴𝑘!.C

En multipliant par 𝑘! et en divisant par 𝐴, on peut le réécrire comme𝑘!=1.

Nous pourrions alors être tentés de sauter immédiatement à la conclusion 𝑘=1. Cela ne serait cependant qu’une réponse partielle car d’après la définition des factorielles, on sait également que 0!=1.

Notez que lorsque 𝑘=0, on a C=𝐴=1 et quand 𝑘=1, on a C=𝐴=𝑛.

Par conséquent, les deux valeurs possibles de 𝑘 sont 1 et 0.

Dans l’exemple suivant, nous devons déterminer l’expression écrite avec des arrangements égale à une expression écrite avec des combinaisons.

Exemple 3: Relation entre les combinaisons et les arrangements

Laquelle des expressions suivantes est égale à CCC×?

  1. 𝐴𝐴
  2. 𝐴𝐴
  3. 𝐴𝐴
  4. 𝐴𝐴

Réponse

On commence par remarquer que C=𝑛. Ainsi, on peut réécrire l’expression:CCCCC×=𝑛.

Comme nous essayons de trouver une expression impliquant des arrangements, nous devons essayer d’exprimer les combinaisons en fonction d’arrangements. Pour cela, on peut utiliser la définition suivante:C=𝐴𝑘! pour réécrire l’expression comme suit CCC!!×=𝑛.

En simplifiant par 6!, on aCCC×=7𝑛𝐴𝐴, que l’on peut également écrire comme CCC×=𝐴.

D’après la propriété des arrangements, 𝑛𝐴=𝐴, on peut ainsi réécrire 𝐴7𝑛=𝐴.

D’où, CCC×=𝐴𝐴.

Par conséquent, la bonne réponse est C.

Jusqu’à présent, nous avons simplement utilisé la définition et la formule de C pour résoudre des problèmes. De nombreux problèmes de combinaisons peuvent être résolus de cette manière. Cependant, nous pouvons souvent résoudre des problèmes de manière plus simple et plus directe en connaissant les propriétés des combinaisons. Une de ces propriétés est liée à la symétrie des combinaisons.

Remarquez dans la définition de C=𝑛!𝑘!(𝑛𝑘)! qu’il y a une symétrie au dénominateur. Si on substitue 𝑛𝑘 à 𝑘 dans la formule, on obtient la même expression:C=𝑛!(𝑛𝑘)!(𝑛(𝑛𝑘))!=𝑛!𝑘!(𝑛𝑘)!.

Cela nous amène à l’identité de symétrie suivante des combinaisons.

Identité : Symétrie des combinaisons

Pour des entiers positifs 𝑘 et 𝑛 tels que 𝑘<𝑛, CC=.

Cette identité a des implications intéressantes pour résoudre des équations avec C𝑘 est inconnu. Le prochain exemple montre cette implication.

Exemple 4: Symétrie des combinaisons

Déterminez les valeurs possibles de 𝑘 qui vérifient l’équation CC=.

Réponse

En utilisant l’identité CC=, on a CCC==.

Donc, 𝑘=15 ou 𝑘=6.

Cet exemple a permis de montrer que si CC= alors 𝑎=𝑏 ou 𝑎=𝑛𝑏.

Étudions un autre exemple où nous utilisons la symétrie des combinaisons.

Exemple 5: Utiliser la symétrie des combinaisons

Sachant que CCC+=2, calculez 𝑛.

Réponse

En utilisant l’identité CC=, on peut réécrire CC=. En le substituant dans l’équation donnée, on trouve2=2.CC

Cela implique que 𝑛42=43 ou 𝑛42=𝑛43. La dernière solution étant incohérente, la seule solution est donc 𝑛=85.

Dans l’exemple suivant, nous devons déterminer une constante inconnue dans des combinaisons sachant que les expressions impliquant ces combinaisons forment une suite arithmétique.

Exemple 6: Résoudre un problème de combinaisons

Sachant que 3×,4×,6×,CCC est une suite arithmétique, déterminez toutes les valeurs possibles de 𝑛.

Réponse

Dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs est constante. Par conséquent, les différences entre les deux premiers et les deux derniers termes sont égales et on peut écrire6×4×=4×3×.CCCC

En regroupant les termes semblables, on obtient 8×=6×+3×.CCC

En utilisant la définition C=𝑛!𝑘!(𝑛𝑘)!, on peut le réécrire comme8𝑛!11!(𝑛11)!=6𝑛!12!(𝑛12)!+3𝑛!10!(𝑛10)!.

En divisant par le facteur commun 𝑛!, on a811!(𝑛11)!=612!(𝑛12)!+310!(𝑛10)!.

On peut maintenant multiplier par 12!(𝑛10)! pour obtenir 8×12!(𝑛10)!11!(𝑛11)!=6×12!(𝑛10)!12!(𝑛12)!+3×12!(𝑛10)!10!(𝑛10)!.

En utilisant la propriété des factorielles, 𝑛!=𝑛(𝑛1)!, on peut le réécrire comme 8×12×11!11!×(𝑛10)(𝑛11)!(𝑛11)!=6×12!12!×(𝑛10)(𝑛11)(𝑛12)!(𝑛12)!+3×12×11×10!10!×(𝑛10)!(𝑛10)!.

En simplifiant par les facteurs communs des numérateurs et dénominateurs, on a 8×12(𝑛10)=6(𝑛10)(𝑛11)+3×12×11.

On peut maintenant diviser par 6 pour obtenir8×2(𝑛10)=(𝑛10)(𝑛11)+3×2×11.

En développant les parenthèses, on obtient16𝑛160=𝑛21𝑛+110+66.

En regroupant les termes semblables, on arrive à l’équation du second degré 0=𝑛37𝑛+336.

On peut alors la résoudre en la factorisant ou à l’aide de la formule des racines du second degré, ce qui donne 𝑛=21 et 𝑛=16.

Une autre des propriétés clés des combinaisons est la relation de récurrence.

Formule : Relation de récurrence pour les combinaisons

CCC+=,0<𝑘<𝑛.

Pour démontrer cette formule, on peut utiliser la définition C et écrire le membre gauche commeCC+=(𝑛1)!𝑘!(𝑛𝑘1)!+(𝑛1)!(𝑘1)!(𝑛𝑘)!.

On souhaite alors l’exprimer sous la forme d’une seule fraction sur le dénominateur commun 𝑘!(𝑛𝑘)!. On peut le faire en multipliant le premier terme par 𝑛𝑘𝑛𝑘 et le deuxième terme par𝑘𝑘:CC+=(𝑛𝑘)(𝑛1)!𝑘!(𝑛𝑘)(𝑛𝑘1)!+𝑘(𝑛1)!𝑘(𝑘1)!(𝑛𝑘)!.

En utilisant les propriétés des factorielles, 𝑛!=𝑛(𝑛1)!, on peut le réécrire comme CC+=(𝑛𝑘)(𝑛1)!𝑘!(𝑛𝑘)!+𝑘(𝑛1)!𝑘!(𝑛𝑘)!.

En l’exprimant sous forme d’une seule fraction et en développant les parenthèses, on a CC+=𝑛(𝑛1)!𝑘(𝑛1)!+𝑘(𝑛1)!𝑘!(𝑛𝑘)!.

En le simplifiant et en utilisant la même propriété des factorielles, on a CCC+=𝑛!𝑘!(𝑛𝑘)!= comme demandé.

Nous allons maintenant nous pencher sur un exemple où nous devons appliquer cette propriété pour simplifier une équation.

Exemple 7: Sommes de combinaisons

Déterminez la valeur de CC+.

Réponse

Cette expression semble être extrêmement longue à évaluer ou difficile à simplifier. Cependant, on peut commencer par remarquer que lorsque 𝑘=15 dans la somme, on a CC=. En sortant ce terme de la somme, on a

On peut alors appliquer la relation de récurrence, CCC+=, et simplifier parCCCC+=+.

On remarque alors que si on répète la même opération et que l’on retire le dernier terme de la somme, on a

Par conséquent, CCCC+=+.

En continuant avec la même méthode, on arrive finalement au dernier terme de la somme, C et on a l’expression

Par conséquent, l’expression initiale peut se simplifier par CCC+=.

Pour les deux derniers exemples, nous allons étudier les sommes de toutes les combinaisons C pour une certaine valeur de 𝑛.

Exemple 8: Somme de combinaisons

Déterminez la valeur de CCCC++++.

Réponse

En utilisant la définitionC=𝑛!𝑘!(𝑛𝑘)!, on peut réécrire cette expression commeCCCC++++=5!0!×5!+5!1!×4!+5!2!×3!++5!5!×0!.

En évaluant chaque terme, on aCCCC++++=1+5+10+10+5+1=32.

Dans cet exemple, nous avons montré que la somme de toutes les combinaisons C pour 𝑛=5 est égale à 32;ce n’est en fait pas un hasard, puisque cela est égal à 2. En règle générale, la somme de toutes les C pour tout 𝑛 est égale à 2. Nous pouvons écrire ceci comme CCCCC+++++=2, ou de manière plus concise comme suit.

Identité : Somme de combinaisons

Pour tout entier positif 𝑛, =2.C

Cette identité n’est peut-être pas si surprenante si on considère la relation de récurrence pour chaque terme:CCC+=.

Comme elle ne s’applique pas pour 𝑘=0 ou 𝑘=𝑛, on peut réécrire la somme comme suit =++++++++++.CCCCCCCCCCC

Comme CC=1= et CC=1=, on peut réécrire cette expression comme=++++++++++.CCCCCCCCCCC

En regroupant les termes semblables, on a=++++++++++=2.CCCCCCCCCCCC

Par conséquent, la somme des C est le double de la somme des C. De plus, comme C=1, on peut remarquer que la somme des C pour un 𝑛 donné est une puissance de deux:elle est égale à 2.

Nous allons terminer par étudier une somme alternée de combinaisons.

Exemple 9: Somme alternée de combinaisons

Déterminez la valeur de CCCCC++.

Réponse

On rappelle que C=𝑛!𝑘!(𝑛𝑘)!. En utilisant cela, on voit que CCCCC++=4!0!×4!4!1!×3!+4!2!×2!4!3!×1!+4!4!×0!.

Le calcul de chaque terme donne CCCCC++=14+64+1=0.

On peut à nouveau généraliser ce résultat et énoncer que les sommes alternées de C sont nulles:CCCCC++(1)+(1)=0 ou de manière plus concise, nous avons l’identité suivante.

Identité : Somme alternée de combinaisons

Pour tout entier positif 𝑛, (1)=0.C

Une autre façon d’envisager cela est que les sommes des termes impairs et pairs sont égales. Ce n’est pas surprenant lorsque 𝑛 est impair en raison de l’identité de symétrie:CC=. Cependant, comme l’exemple précédent l’a montré, cela est également vrai lorsque 𝑛 est pair.

Récapitulons quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Le nombre de combinaisons de 𝑘 éléments parmi un ensemble de 𝑛 éléments est défini par C=𝐴𝑘!=𝑛!𝑘!(𝑛𝑘)!.
  • Les combinaisons vérifient les propriétés clés suivantes pour des entiers positifs 𝑘 et 𝑛 tels que 𝑘<𝑛,
    • Symétrie:CC=,
    • Relation de récurrence:CCC+=,
    • Somme:=2,C
    • Somme alternée:(1)=0.C
  • En utilisant la définition de C et ses propriétés, on peut simplifier de nombreuses expressions et résoudre des équations impliquant des combinaisons.

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