Video Transcript
Le schéma illustre le trajet d’un rayon lumineux à travers un prisme triangulaire. Laquelle des formules suivantes permet de déterminer correctement l’angle 𝛼? (A) 𝛼 est égal à Φ un plus 𝜃 deux plus 𝐴. (B) 𝛼 est égal à Φ un plus 𝜃 deux moins 𝐴. (C) 𝛼 est égal à Φ deux plus 𝜃 un plus 𝐴. (D) 𝛼 est égal à Φ deux plus 𝜃 un moins 𝐴. (E) 𝛼 est égal à Φ un moins 𝜃 deux plus 𝐴.
Sur notre schéma, l’angle 𝛼 est indiqué ici. Il s’agit de l’angle entre le rayon de lumière entrant s’il n’avait pas été réfracté par le prisme et l’angle selon lequel le rayon se propage réellement du fait de la réfraction. En plus de l’angle 𝛼, l’angle au sommet du prisme 𝐴 est indiqué ainsi que l’angle d’incidence initial de notre rayon Φ un, l’angle de réfraction initial, 𝜃 un, le deuxième angle d’incidence Φ deux et le deuxième angle de réfraction 𝜃 deux. Comme dit dans l’énoncé du problème, on souhaite développer une équation exprimant 𝛼 en fonction de ces autres angles.
Pour commencer, faisons de la place sur l’écran. On va d’abord se concentrer sur ce triangle orange mis en évidence. En traçant une vue agrandie de ce triangle, on ne connait encore aucun des angles intérieurs, mais on peut commencer à identifier ces angles en fonction des autres informations qui nous sont données. Par exemple, cet angle ici, selon notre schéma, est 𝛼. Cela nous indique que cet angle intérieur doit être égal à 180 degrés moins 𝛼 car cet angle plus cet angle est égal à 180 degrés. D’autre part, on sait que l’angle d’incidence initial de notre rayon est Φ un et son angle de réfraction initial est 𝜃 un.
En regardant la configuration géométrique de ces deux angles, Φ un et 𝜃 un, on voit que cet angle intérieur du triangle orange vaut Φ un moins 𝜃 un. On peut déduire cela car l’addition de cet angle intérieur et cet angle ici 𝜃 un lui-même donne Φ un. De la même façon, on peut indiquer les seconds angles d’incidence et de réfraction respectivement Φ deux et 𝜃 deux, ce qui, en considérant ces angles, nous montre que cet angle intérieur final du triangle vaut 𝜃 deux, le plus grand des deux angles, moins Φ deux.
Rappelons-nous à présent que pour toute figure à trois côtés, pour tout triangle, la somme des angles intérieurs de cette figure vaut toujours 180 degrés. Par conséquent, si on additionne cet angle intérieur à cet angle intérieur et à celui-ci, cela nous donne Φ un moins 𝜃 un plus 180 degrés moins 𝛼 plus 𝜃 deux moins Φ deux. L’addition de tous ces angles doit valoir 180 degrés.
On remarque que cet angle apparaît des deux côtés de l’équation. Si on soustrait 180 degrés des deux côtés, cet angle s’annule alors. Cela nous laisse avec le côté gauche de l’équation égal à zéro. Et on remarque que si on ajoute l’angle 𝛼 des deux côtés, cet angle s’annule à gauche, et on constate que 𝛼 est égal à Φ un moins 𝜃 un plus 𝜃 deux moins Φ deux. Cependant, le problème est que toutes les possibilités de réponses sont données en fonction de l’angle au sommet 𝐴, alors que notre solution ici ne l’est pas.
Mettons de côté notre triangle agrandi et cherchons une expression pour cet angle au sommet. Pour nous aider, on va se concentrer sur ce quadrilatère en rose. Du fait des angles intérieurs impliqués, on sait que l’un de ces angles est l’angle au sommet 𝐴. Par ailleurs, il y a un angle intérieur d’exactement 90 degrés. Il en est ainsi car cet angle est défini par une droite normale à la surface du prisme. Et en fait, il y a même un deuxième angle intérieur, qui est aussi un angle droit. Il s’agit d’un angle de 90 degrés pour la même raison qu’auparavant. Il est défini par la surface du prisme de ce côté et aligné normalement sur cette surface. Le dernier angle intérieur de notre quadrilatère est cet angle sans nom, ici.
Rappelons à présent que pour toute forme à quatre côtés, si on additionne les quatre angles intérieurs sur ce schéma, la somme donne toujours 360 degrés. Ainsi, si on prend 𝐴 et nos deux angles de 90 degrés et notre angle inconnu, sans nom pour le moment, et qu’on les les additionne tous ensemble, leur somme sera de 360 degrés. On note que 90 degrés plus 90 degrés valent 180 degrés. Et si on soustrait 180 degrés des deux côtés, ce facteur s’annule à gauche, et à droite on se retrouve avec 180 degrés. Ainsi, l’angle 𝐴 plus notre angle inconnu est égal à 180 degrés. Et enfin, si on soustrait 𝐴 des deux côtés en annulant 𝐴 à gauche, on constate que l’angle inconnu ou sans nom dans notre quadrilatère rose est de 180 degrés moins 𝐴.
Sur le schéma, l’angle que l’on vient d’identifier est celui-ci ici. Cet angle, comme on l’a dit, est égal à 180 degrés moins 𝐴. Pour voir en quoi cela nous aide, concentrons-nous maintenant sur ce triangle vert, mis en évidence. Une vue agrandie de ce triangle ressemble à ceci. Ici, on a un triangle avec pour angles intérieurs 𝜃 un, Φ deux et 180 degrés moins 𝐴. La règle des triangles énoncée plus tôt nous dit que si on additionne ces trois angles, leur somme sera de 180 degrés. Si on soustrait ensuite cet angle des deux côtés de l’équation, 180 degrés s’annule, ce qui nous donne cette expression. Et si on ajoute ensuite 𝐴 des deux côtés pour que 𝐴 moins 𝐴 à gauche soit égal à zéro, on constate que notre angle au sommet 𝐴 peut être exprimé comme 𝜃 un plus Φ deux.
On remarque maintenant que dans notre expression pour 𝛼, on a un terme 𝜃 un et un terme Φ deux. En réalité, on peut regrouper ces deux termes afin d’obtenir une nouvelle expression pour 𝛼 qui ressemble à ceci. On note que dans cette expression, la valeur entre parenthèses, 𝜃 un plus Φ deux, est égale à 𝐴. Cela signifie que l’on peut la remplacer.
Et en faisant un peu de place, on peut maintenant écrire 𝛼 comme valant Φ un plus 𝜃 deux moins 𝐴. Comme on le constate, cela correspond, à la réponse (B) parmi les possibilités de réponses. L’angle total par lequel ce rayon de lumière a été dévié 𝛼 est égal à Φ un, l’angle d’incidence initial, plus 𝜃 deux, le deuxième angle de réfraction, moins 𝐴, l’angle au sommet du prisme.
