Transcription de vidéo
Dans cette vidéo, notre sujet est la déviation qu’un rayon lumineux subit lorsqu’il
passe à travers un prisme. Grâce à une analyse géométrique minutieuse, on va pouvoir quantifier l’angle,
symbolisé 𝛼 dans ce schéma, selon lequel le faisceau passant à travers un prisme
est dévié. Au cours de ce calcul, on verra à quels paramètres l’angle 𝛼 est lié. Et on verra également comment faire en sorte qu’il soit le plus petit possible.
Pour commencer, supposons que l’on ait un prisme et que ce prisme ait un angle à son
sommet. On appellera l’angle au sommet, 𝐴 majuscule. Parallèlement à cela, supposons que ce prisme ait un indice de réfraction noté
𝑛. Et on admet que ce prisme est entouré d’air ayant un indice de réfraction de un. On va également supposer que 𝑛 est supérieur à un. C’est généralement le cas avec les prismes. Dans ce cas, si un rayon de lumière est incident sur l’une des faces du prisme comme
celle-ci, au lieu de passer directement à travers le prisme de façon intacte, ce
rayon sera en fait réfracté ou dévié au niveau de cette interface.
Si on trace une droite perpendiculaire à la face du prisme sur laquelle le rayon
arrive, on sait qu’au lieu de continuer dans sa direction actuelle, le rayon de
lumière sera réfracté en direction de cette droite normale. Puis, lorsque le rayon traversant le prisme atteindra cette face, il sera, une fois
encore, réfracté. Mais cette fois, étant donné qu’il passe d’un matériau d’indice de réfraction plus
élevé à un matériau d’indice de réfraction plus faible, il sera réfracté dans la
direction opposée à la droite normale, selon une direction qui pourrait ressembler à
ceci. On se retrouve alors avec ce rayon de lumière dont la trajectoire a été déviée par
ces deux réfractions.
Dans cette leçon, on cherche à quantifier cette déviation. Pour ce faire, on va identifier un angle particulier sur cette figure. Cet angle est mesuré entre le trajet que le rayon suivait avant d’atteindre le prisme
et le trajet que le rayon suit finalement, après les deux réfractions. Donc, si cette ligne pointillée ici représente le trajet parcouru par le rayon et que
cette ligne continue représente le chemin qu’il parcourt réellement après avoir
traversé le prisme, l’angle que l’on cherche est celui-ci ici. Sur notre schéma, il s’agit de cet angle.
Tout comme on l’a fait auparavant sur notre premier schéma, on notera cet angle
𝛼. Et il s’avère que l’on peut trouver cet angle en fonction de l’angle au sommet 𝐴 de
notre prisme, ainsi que de quelques angles caractéristiques le long du parcours du
rayon à travers le prisme. Tout d’abord, pour trouver 𝛼, étudions les deux réfractions de notre rayon lumineux
qui se produisent sur les faces du prisme et indiquons l’angle d’incidence ainsi que
l’angle de réfraction pour chacune d’elles.
On a d’abord un rayon lumineux se propageant initialement dans l’air puis arrivant
sur cette face du prisme. L’angle selon lequel ce rayon arrive, est appelé angle d’incidence. Et cet angle se mesure par rapport à la droite normale à la surface sur laquelle le
rayon arrive. On note cet angle 𝜑, et on lui donnera l’indice un. Une fois que ce rayon entre dans le prisme, il est réfracté. Et cet angle de réfraction est à nouveau mesuré par rapport à la droite normale à la
surface sur laquelle le rayon arrive.
On note cet angle 𝜃. Ici encore, on lui donnera l’indice un. L’indice de l’angle d’incidence et de l’angle de réfraction indique qu’il s’agit de
la première réfraction du rayon lumineux. On sait, cependant, qu’il y en aura une deuxième qui se produira au niveau de cette
autre face du prisme. Pour cette deuxième réfraction, il existe également un angle d’incidence. C’est cet angle ici. Et on peut le noter 𝜑 indice deux. De plus, il existe un deuxième angle de réfraction. Encore une fois, il est mesuré entre la droite normale, cette ligne bleue en
pointillés, et la direction finale du rayon. On notera cet angle 𝜃 indice deux.
Ici, la raison pour laquelle on a annoté tous ces angles sur le schéma, est pour
permettre d’exprimer l’angle de déviation 𝛼 en fonction de ceux-ci. Pour continuer, regardons de plus près certaines trajectoires dans le prisme. Si on zoom un peu, on peut dire que cette ligne en pointillés est le chemin que notre
rayon de lumière aurait parcouru dans le prisme s’il n’avait pas été réfracté ni
dévié du tout. Et cette ligne pointillée représente la ligne le long de laquelle notre rayon finit
par se déplacer après avoir traversé le prisme. On a dit que l’angle entre ces deux droites, appelé 𝛼, est la déviation angulaire
que subit notre faisceau lumineux.
Et bien, si cet angle est 𝛼, alors on doit avoir cet angle ici qui est égal à 180
degrés moins 𝛼. Et on voit qu’il s’agit là d’un angle à l’intérieur d’un triangle que l’on peut
tracer. Si on établit que ce segment est ici le chemin parcouru par notre rayon de lumière
lorsqu’il passe à travers le prisme, alors notre droite en pointillés peut être
prolongée jusqu’à le rencontrer. Et il convient de noter que l’endroit où ces deux lignes se rencontrent est sur la
face du prisme. D’autre part, le point de rencontre entre notre ligne pointillée et ce rayon se situe
également sur une interface entre le prisme et son environnement.
À partir de là, on commence à discerner un triangle. Voici un côté, voici un deuxième côté, et voici le troisième côté. On va maintenant regarder attentivement les angles de ce triangle car on voit déjà
que l’un d’entre eux implique l’angle que l’on cherche à trouver, 𝛼. On va donc s’intéresser aux deux autres angles intérieurs. Tout d’abord, on peut examiner cet angle ici. Sur la base des angles que l’on a déjà annotés ci-dessus, les angles d’incidence et
les angles de réfraction, une fois que l’on a tracé notre droite normale en
pointillés, on peut dire que cet angle ici, cet angle de réfraction d’origine, est
𝜃 indice un. Et si on trace le rayon incident sur cette première interface de cette façon, alors
on peut dire que cet angle, ici, est 𝜑 indice un.
Maintenant, une fois que l’angle d’incidence 𝜑 indice un est ainsi défini de ce côté
de notre interface prisme-air, on peut voir comment cet angle pourrait également
être représenté de l’autre côté de l’interface. Si on représentait cet angle, il serait égal à cette étendue angulaire. Donc, cet angle est aussi 𝜑 indice un. Et la raison pour laquelle il est utile de savoir cela est que, en connaissant 𝜑
indice un et 𝜃 indice un, on peut définir cet angle intérieur du triangle. Cet angle valait 𝜑 indice un moins 𝜃 indice un. Sachant cela, utilisons maintenant un raisonnement similaire pour déterminer cet
angle intérieur.
Ici encore, on a notre droite normale. Et on a vu plus tôt que cet angle ici, ce qu’on appelle le deuxième angle
d’incidence, est représenté par 𝜑 indice deux et que si le rayon est finalement
dévié de cette façon lorsqu’il ressort du prisme, alors on a établi que cet angle
est le deuxième angle de réfraction. Rappelons qu’on l’a noté 𝜃 indice deux. Cet angle 𝜃 indice deux situé de ce côté de l’interface, va nous aider à identifier
le même angle de l’autre côté. 𝜃 indice deux est égal à cet angle ici. Ce qui indique que l’angle intérieur du triangle que l’on cherche peut être exprimé
comme 𝜃 indice deux moins 𝜑 indice deux.
De plus, ce triangle que l’on étudie ici possède ces trois angles intérieurs auxquels
on accorde une attention toute particulière afin de trouver cet angle 𝛼. C’est notre objectif final. À présent, on peut rappeler une propriété s’appliquant aux angles internes pour tout
triangle. Étant donné un triangle d’angles internes 𝐴, 𝐵 et 𝐶, la somme de ces angles est
toujours de 180 degrés. Cela signifie donc que si on additionne les trois angles que l’on a déterminés, leur
somme doit être égale à 180 degrés. Et là, on remarque que 180 degrés apparaît des deux côtés de cette équation. Donc, si on soustrait 180 degrés des deux côtés, ce terme va s’annuler. Et on se retrouvera avec cette équation ici.
Maintenant, si on ajoute l’angle 𝛼 des deux côtés de cette équation, on aura alors
cette expression. Et on constate que l’on a maintenant une équation correspondant à la déviation
angulaire du rayon 𝛼 en fonction des angles d’incidence du faisceau et de ses
angles de réfraction. Jusque-là, on a effectué une bonne partie du travail, mais il y a encore une étape
supplémentaire afin de trouver 𝛼. On a dit que l’on souhaite exprimer cet angle en fonction de l’angle au sommet 𝐴 de
notre prisme. Pour faire cela, il faut, encore une fois, examiner attentivement les propriétés
géométriques de notre cas. Laissons de côté la vue agrandie de notre triangle, et regardons maintenant une forme
géométrique différente.
Regardons de plus près ce quadrilatère ici, surligné en orange. Ici, sur une vue agrandie de cette forme géométrique à quatre côtés, on sait que
l’angle au sommet 𝐴 est en haut. Et on sait aussi que cet angle ici, ainsi que cet angle ici, sont des angles droits ;
ils mesurent 90 degrés. On peut déduire ceci car ces deux côtés de notre quadrilatère représentent les faces
du prisme, tandis que ces deux droites en pointillés représentent les droites
normales à ces faces. Donc, par définition, ces angles internes doivent être de 90 degrés. Maintenant, tout comme on a précédemment rappelé la règle s’appliquant à la somme des
angles internes d’un triangle, on peut en faire de même pour un quadrilatère.
Supposons que l’on ait une forme géométrique à quatre côtés et que les angles
internes de cette forme sont 𝑊, 𝑋, 𝑌 et 𝑍. Si on additionne ces angles, leur somme est de 360 degrés. Cette propriété est vraie pour tous les quadrilatères. Et donc c’est aussi vrai pour notre quadrilatère ici. Maintenant, si la somme de ces quatre angles est de 360 degrés et que cet angle ici
et cet angle ici sont tous deux de 90 degrés, on peut déduire que si on ajoute
l’angle au sommet, 𝐴, à celui-ci ici dans notre quadrilatère, alors leur somme doit
être égale à 180 degrés. Car la somme des 4 angles doit en effet être de 360. Et la somme de ces deux-là vaut déjà 180.
Donc, pour nous aider, annotons cet angle. On a déjà un angle 𝛼. Alors pourquoi ne pas l’appeler 𝛽 ? De ce que l’on a appris jusqu’à présent, on peut dire que l’angle au sommet 𝐴 plus
𝛽 vaut 180 degrés. Mais on se rappelle que l’on cherche à exprimer notre angle de déviation 𝛼 en
fonction de notre angle au sommet 𝐴. Donc, on voudrait bien pouvoir exprimer 𝐴 en fonction de certains des angles
d’incidence et des angles de réfraction avec lesquels on a déjà exprimé 𝛼. En d’autres termes, on voudrait bien exprimer 𝛽 en fonction de nos angles
d’incidence déjà définis, 𝜑 indice un et 𝜑 indice deux, et / ou des angles de
réfraction, 𝜃 indice un et 𝜃 indice deux. Voyons donc comment on peut faire ça.
Si on revient à notre quadrilatère, on sait que ces deux angles ici sont en fait
reliés par le rayon lumineux lorsque celui-ci traverse le prisme. Ce rayon ressemble à ceci dans le schéma ci-dessus. Ce qui nous indique que cet angle 𝛽 ne fait pas seulement partie du quadrilatère
évoqué à l’instant, mais qu’il est aussi un angle interne de ce triangle ici, défini
par ce côté, ce côté et ce côté. Peut-être qu’en utilisant cette information, on pourrait exprimer 𝛽 en fonction
d’autres variables. Ce qui est utile grâce à ce triangle dont les côtés sont surlignés en rose, c’est
qu’on a déjà identifié ses deux autres angles internes, autres que 𝛽.
Si on regarde notre schéma en entier, on voit que cet angle interne est ici le
premier angle de réfraction de notre rayon. On l’appellera 𝜃 un. Et puis cet angle ici est le deuxième angle d’incidence 𝜑 indice deux. On a donc annoté les trois angles internes. Et si on fait appel une fois de plus à cette règle des triangles, on peut alors dire
que 𝜃 indice un plus 𝜑 indice deux plus 𝛽 est égal à 180 degrés. On cherche toujours à exprimer cet angle 𝛽, on va alors soustraire les angles 𝜃
indice un et 𝜑 indice deux des deux côtés de cette équation, ce qui nous conduit à
ce résultat.
C’est une très bonne chose car, comme souhaité, on a maintenant exprimé cet angle 𝛽
en fonction de, dans ce cas, l’angle de réfraction initial et du deuxième angle
d’incidence. À présent, on va prendre cette expression entière de 𝛽 et la remplacer dans notre
équation disant que 𝐴 plus 𝛽 est égal à 180 degrés. Cela étant fait, on note qu’une fois de plus, 180 degrés apparaissent des deux
membres de cette équation, ce qui signifie que ce terme peut s’annuler des deux
membres. Bien, on y est presque, on peut maintenant ajouter 𝜃 indice un et 𝜑 indice deux des
deux membres de l’équation.
Et cela nous donne ce formidable résultat. L’angle au sommet de notre prisme, l’angle qui, en quelques sortes, définit le
prisme, est égal au premier angle de réfraction plus le deuxième angle d’incidence
de notre rayon. Et on notera aussi que dans l’équation de 𝛼, 𝜃 indice un et 𝜑 indice deux
apparaissent. D’ailleurs, on peut les regrouper. Si on passe l’angle 𝜃 indice deux ici avec 𝜑 indice un et l’angle 𝜃 indice un ici
avec 𝜑 indice deux, alors on se retrouve avec cette expression du membre gauche de
l’équation.
On remarque que ce terme ici, 𝜃 indice un plus 𝜑 indice deux, est égal à l’angle au
sommet 𝐴. On peut donc remplacer ce qui est entre parenthèses par ce terme 𝐴. Et ainsi, on a enfin exprimé 𝛼 en fonction de cet angle au sommet. Ce qui est vraiment bien avec ce résultat, c’est qu’il est généralement vrai que cet
angle de déviation est égal à l’angle d’incidence initial plus le deuxième angle de
réfraction moins l’angle au sommet du prisme traversé par le rayon.
Aussi, pour un prisme donné, 𝐴 est une valeur fixe. Et en supposant que l’indice de réfraction 𝑛 du prisme est également fixe, cela
signifie qu’une fois que l’on connait 𝑛 ainsi que l’angle d’incidence d’origine de
notre rayon, on peut déterminer le deuxième angle de réfraction. Tout cela pour dire que dans cette équation de 𝛼, il n’y a vraiment que deux
variables, l’angle d’incidence 𝜑 indice un et l’angle 𝛼. On pourrait donc chercher à faire varier cet angle d’incidence du rayon pour voir
comment il affecte la déviation du faisceau. Puis représenter l’une de ces variables en fonction de l’autre. On pourrait faire varier l’angle d’incidence de notre rayon et voir comment il
affecte 𝛼.
Ceci conduit généralement une courbe qui ressemble à ça. On note qu’il existe un angle d’incidence, que l’on peut noter 𝜑 indice zéro, pour
lequel la déviation angulaire subie par le faisceau est minimale. On appelle cet écart angulaire 𝛼 indice zéro. Ici, si on devait tracer un rayon sur notre schéma, arrivant avec un angle
d’incidence, 𝜑 indice zéro, ce rayon pourrait ressembler à ceci. Lorsqu’un rayon est dévié le moins possible, il se déplace alors parallèlement à la
face inférieure du prisme lorsqu’il le traverse. De plus, l’angle d’incidence d’origine du rayon ici et l’angle de réfraction final du
rayon ici sont égaux.
À présent, tandis qu’on appelait auparavant ces angles 𝜑 indice un et 𝜃 indice
deux, respectivement, vu qu’on sait qu’ils correspondent à la déviation angulaire
minimale de notre faisceau, on peut alors les annoter 𝜑 indice zéro et 𝜃 indice
zéro. Et comme on l’a précisé plus tôt, ils sont égaux dans ce cas. On peut donc écrire ici un cas particulier pour cette formule de déviation angulaire
du faisceau. On peut écrire que l’écart angulaire minimum est égal à l’angle d’incidence d’origine
𝜑 indice zéro plus l’angle de réfraction final 𝜃 indice zéro moins l’angle au
sommet 𝐴. Mais maintenant, en se souvenant que ces deux angles, 𝜑 indice zéro et 𝜃 indice
zéro, sont égaux, on pourrait également les écrire comme deux fois 𝜑 indice
zéro.
Puis, on peut réorganiser cette expression, pour trouver 𝜑 indice zéro. Il est égal à 𝛼 indice zéro plus 𝐴, le tout divisé par deux. En plus de ces deux équations jusqu’ici démontrées, on peut également donner une
équation pour l’indice de réfraction 𝑛 de notre prisme. Pour cela, on va faire appel à la loi de Snells. Cette loi s’applique lorsqu’un rayon lumineux passe d’un matériau ayant un certain
indice de réfraction à un matériau ayant un autre indice de réfraction. Dans ce cas, pour un angle d’incidence, 𝜃 indice i et un angle de réfraction, 𝜃
indice r, la loi de Snells cite que 𝑛 un fois le sinus de l’angle d’incidence est
égal à 𝑛 deux fois le sinus de l’angle de réfraction.
Ici, dans le cas de notre prisme ayant un indice de réfraction 𝑛 et étant entouré
d’air dont l’indice de réfraction vaut un, on peut appliquer la loi de Snells en
écrivant un fois le sinus de 𝜑 indice zéro est égal à 𝑛 fois le sinus de 𝜃, où 𝜃
est à la fois le premier angle de réfraction et le deuxième angle d’incidence. Si on utilise une technique similaire à celle employée plus tôt pour le quadrilatère,
on trouverait que deux fois cet angle 𝜃 est égal à 𝐴. Ou, en d’autres termes, 𝜃 est égal à 𝐴 sur deux, que l’on peut remplacer ici pour
𝜃.
De la même manière, on peut remplacer 𝜑 indice zéro par cette expression ici. Et puis diviser l’équation résultante des deux membres par le sinus de 𝐴 sur
deux. On obtient alors cette belle équation de l’indice de réfraction des prismes
uniquement exprimée selon l’angle de déviation minimum et l’angle au sommet du
prisme. Voici donc une autre relation utile. Et maintenant, intéressons-nous à celui qui reste. Sur le schéma, que se passerait-il si l’angle au sommet 𝐴 était très petit,
c’est-à-dire si notre prisme ressemblait à ceci ? Lorsque l’on a un petit angle, aussi petit que 𝐴 ici, il est généralement vrai que
le sinus de cet angle est approximativement égal à l’angle lui-même.
Et on peut appliquer cette approximation à notre équation de 𝑛 ici. On peut dire que pour un petit angle 𝐴 - en d’autres termes, pour un prisme mince
- 𝑛 est égal à 𝛼 indice zéro plus 𝐴 sur deux divisé par 𝐴 sur deux. Mais alors, dans cette fraction globale, les fractions par deux peuvent tous les deux
s’annuler. On a donc, pour un prisme mince, l’indice de réfraction de ce prisme qui est égal à
l’angle d’écart minimum 𝛼 indice zéro plus l’angle au sommet du prisme 𝐴 le tout
divisé par cet angle au sommet.
Résumons maintenant cette leçon en écrivant ces quatre équations. Dans cette leçon, on a d’abord établi l’équation de l’angle de déviation d’un rayon
lumineux traversant un prisme. Lorsque cet angle de déviation est à son minimum, on a pu exprimer l’angle
d’incidence correspondant à cette déviation minimale. On a également montré sa relation avec l’indice de réfraction du prisme. Pour finir, on a vu que lorsque l’angle au sommet 𝐴 est petit - en d’autres termes,
lorsque le prisme est mince - cet indice de réfraction du prisme est égal à l’angle
de déviation minimum plus l’angle au sommet, le tout divisé par cet angle au
sommet.
