Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer l’effet de la forme et de l’indice de réfraction d’un prisme sur la trajectoire des rayons lumineux qui le traversent.
Lorsqu’un rayon lumineux passe à travers un prisme, il est réfracté deux fois : une première fois lorsqu’il entre dans le prisme et une deuxième fois lorsqu’il sort du prisme. Ces deux événements ont pour effet de dévier sa trajectoire d’origine. À travers une analyse géométrique rigoureuse, nous allons voir comment établir une équation permettant de calculer l’angle avec lequel un rayon lumineux est dévié lorsqu’il passe à travers un prisme. Nous verrons quels paramètres influent sur cet angle et comment le rendre aussi faible que possible.
Commençons par donner un nom à cet angle. Nous l’appellerons .
Sur cette figure, les droites représentant le rayon incident et le rayon émergent ont été prolongées par des pointillés pour pouvoir représenter l’angle formé par ces deux droites.
Regardons de plus près ce qui se passe lorsqu’un rayon lumineux passe à travers un prisme en verre. Nous commencerons par définir l’angle qui est l’angle au sommet du prisme.
Nous supposerons aussi que le prisme est entouré d’air et qu’il possède un indice de réfraction qui est plus élevé que celui de l’air. Rappelons que , donc nous disons en fait que . C’est généralement le cas pour des prismes en verre.
Lorsqu'un rayon lumineux pénètre dans le prisme, le changement d'indice de réfraction signifie que, au lieu de le traverser de manière rectiligne, la lumière sera courbée, ou réfractée. On peut décrire le phénomène de réfraction en fonction de la normale (ou droite perpendiculaire) à la surface du prisme.
Plus précisément, comme l’indice de réfraction augmente lorsqu’un rayon de lumière pénètre dans le prisme, il est réfracté vers la normale.
Cependant, lorsque la lumière sort du prisme, l’indice de réfraction diminue à nouveau. Cela signifie qu’il est réfracté en s’écartant de la normale au point où il sort.
Nous pouvons voir que lorsqu’un rayon lumineux passe à travers le prisme, sa déviation totale est due à deux phénomènes de réfraction, à l’entrée et à la sortie du prisme. L’angle de déviation total, , est l’angle entre la trajectoire du rayon avant l’entrée dans le prisme et la trajectoire à la sortie du prisme. Notre objectif dans la première partie de cette fiche explicative est d’établir une expression donnant en fonction de l’angle au sommet et d’autres angles en lien avec la traversée du prisme par le rayon.
Pour commencer, nous devons définir quatre angles :
- : l’angle d’incidence lorsque le rayon entre dans le prisme,
- : l’angle de réfraction lorsque le rayon entre dans le prisme,
- : l’angle d’incidence lorsque le rayon sort du prisme,
- : l’angle de réfraction lorsque le rayon sort du prisme.
Selon notre convention, se réfère à des angles d’incidence et à des angles de réfraction. L’indice 1 se rapporte au point où le rayon pénètre dans le prisme et l’indice 2 au point où le rayon sort du prisme.
Rappelons que les angles d’incidence et les angles de réfraction sont tous deux mesurés par rapport à la normale à une surface.
Il y a beaucoup de choses sur cette figure, mais nous pouvons voir que les droites que nous avons tracées créent un triangle au milieu du prisme, formé par une ligne rose continue et par deux lignes roses pointillées. Nous allons nous concentrer sur ce triangle pendant quelques temps. Regardons de plus près.
En considérant les angles à l’intérieur du triangle formé ici, nous allons pouvoir exprimer l’angle alpha en fonction des autres angles que nous avons définis. Pour commencer, nous pouvons remarquer que l’angle et l’angle au sommet du triangle forment une droite. Cela signifie que l’angle au sommet du triangle doit être égal à .
Regardons maintenant l’angle situé à la base du triangle sur la gauche. Nous pouvons déterminer une expression de cet angle en faisant intervenir les angles d’incidence et de réfraction au point où le rayon lumineux entre dans le prisme ( et ).
est l’angle entre le rayon incident et la normale. Nous pouvons également représenter cet angle à l’intérieur du prisme.
Nous pouvons maintenant voir que l’angle situé à la base du triangle à gauche est égal à la différence entre et (c’est-à-dire égal à ). Ayant établi une expression pour cet angle, considérons maintenant le dernier angle de ce triangle, situé sur la droite. Nous allons faire intervenir les angles d’incidence et de réfraction au niveau du point où le rayon sort du prisme ( et ).
est l’angle entre le rayon réfracté et la normale au point où le rayon sort du prisme. Encore une fois, nous pouvons repérer cet angle à l’intérieur du prisme.
Nous pouvons maintenant voir que l’angle que nous cherchons à exprimer est égal à .
Maintenant que nous avons déterminé les expressions de ces angles, nous pouvons faire le lien entre eux sachant que la somme des angles d’un triangle est toujours égale à. Cela signifie que
Nous pouvons simplifier cette équation en soustrayant de chaque côté puis en exprimant en fonction des autres termes :
Ceci est un résultat important, car il fait le lien entre et les autres angles formés lorsque le rayon lumineux traverse le prisme. Cependant, rappelons-nous que nous cherchons à exprimer en fonction de la géométrie du prisme lui-même - en particulier en fonction de l’angle au sommet . Pour ce faire, nous devons établir une autre équation.
Considérons le quadrilatère (la figure à 4 côtés) formé par les droites normales et deux des faces du prisme.
Nous allons de nouveau considérer les angles situés à l’intérieur de cette figure. L’angle supérieur est l’angle au sommet du prisme, . Nous savons aussi que les deux angles situés à gauche et à droite valent , car ces angles sont formés par les faces du prisme et les droites normales à ces surfaces. Il nous reste donc seulement un angle inconnu : l’angle situé au bas du quadrilatère. Appelons cet angle .
On peut établir une relation entre tous ces angles en se rappelant que la somme des angles d’un quadrilatère est toujours égale à . Donc,
En soustrayant de chaque côté, nous avons
Rappelons que notre objectif ici est d’exprimer l’angle de déviation total en fonction de l’angle au sommet . Pour cela, nous devons être en mesure d’établir un lien entre et certains des angles d’incidence et de réfraction (c’est-à-dire , , et / ou ) que nous avons déjà exprimés en fonction de .
Nous pouvons faire cela en exprimant en fonction des angles d’incidence et de réfraction. Pour ce faire, lorsque nous réintroduisons le rayon lumineux à l’intérieur du prisme, nous pouvons voir que ce quadrilatère est en fait divisé en deux triangles.
Si nous considérons les angles situés à l’intérieur du triangle inférieur, nous remarquons que nous avons déjà nommé les deux angles intérieurs autres que . Sur la gauche, nous avons l’angle de réfraction lorsque le rayon de lumière pénètre dans le prisme, et sur la droite, nous avons l’angle d’incidence lorsque le rayon sort du prisme, .
Encore une fois, nous pouvons utiliser le fait que la somme des angles d’un triangle est égale à et écrire l’équation suivante :
Puis en exprimant en fonction des autres termes, nous obtenons une expression pour que nous pouvons utiliser dans l’équation établie précédemment.
En remplaçant les valeurs,
À ce point, nous avons presque atteint notre objectif. Il nous suffit d’intégrer cette expression de l’angle au sommet dans notre expression d’origine donnant l’angle de déviation :
Pour cela, nous allons d’abord regrouper les termes comme ceci :
Puis nous allons introduire un facteur devant les deux derniers termes :
Nous pouvons maintenant voir que les termes entre parenthèses correspondent à notre expression de l’angle au sommet . Cela signifie que nous pouvons remplacer cette valeur par :
Nous avons donc atteint notre objectif qui était d’exprimer l’angle de déviation en fonction de l’angle au sommet ainsi que de l’angle d’incidence selon lequel le rayon pénètre dans le prisme () et de l’angle de réfraction selon lequel le rayon lumineux quitte le prisme () !
Équation : Angle de déviation d’un prisme
L’équation de l’angle de déviation d’un prisme est
Exemple 1: Identifier les angles formés lorsqu’un rayon lumineux passe à travers un prisme en verre
La figure représente la trajectoire d’un rayon lumineux passant à travers un prisme triangulaire. L’angle au sommet du prisme est . Quelle est la valeur de l’angle ? Donnez la réponse arrondie au degré près.
Réponse
Pour répondre à cette question, nous utiliserons certaines parties du raisonnement géométrique utilisé pour établir l’équation de l’angle de déviation d’un prisme. Dans cette question, l’angle au sommet du prisme est appelé et nous avons aussi un autre angle, . Cet angle est formé par l’intersection entre les normales aux surfaces du prisme aux points où le rayon lumineux entre et où il ressort du prisme. Ces deux normales sont représentées en pointillés sur la figure.
Pour répondre à cette question, nous pouvons d’abord voir que comme ces lignes en pointillés sont des normales, alors elles sont perpendiculaires aux surfaces du prisme. Et nous pouvons donc représenter les deux angles égaux à sur la figure.
Sur cette figure, nous pouvons voir que nous avons un quadrilatère formé par les deux normales et le sommet du prisme.
Nous pouvons répondre à la question en nous rappelant que la somme des angles d’un quadrilatère est égale à . Cela nous permet d’écrire une équation entre les angles du quadrilatère représenté en jaune :
Nous pouvons modifier cette équation pour exprimer en fonction des autres termes
Maintenant, il ne nous reste plus qu’à remplacer , selon la valeur donnée dans l’énoncé :
Regardons ensuite comment établir une expression pour l’angle de déviation minimum () causé par le prisme. L’expression que nous avons établie dans la partie précédente nous montre que dépend de , et :
L’angle au sommet est fixe pour un prisme donné. Cela signifie que est une constante dans cette équation. De plus, pour un prisme donné ayant un indice de réfraction , l’angle de réfraction final dépend entièrement de l’angle d’incidence initial . Cela signifie que, pour un prisme donné, la seule variable dont dépend est l’angle d’incidence initiale .
Autrement dit, nous pouvons obtenir toutes les valeurs possibles de simplement en faisant varier l’angle d’incidence selon lequel le rayon entre dans le prisme. On pourrait imaginer faire varier cet angle d’incidence et tracer l’angle de déviation résultant sur un graphique. Cela donne une courbe comme celle-ci.
Notez que l’angle de déviation atteint une valeur minimum pour une valeur particulière de . On peut appeler cette valeur minimum de l’angle de déviation et on peut appeler l’angle d’incidence à l’origine de cette déviation minimum .
Si un rayon lumineux est dévié du minimum de déviation lorsqu’il passe à travers le prisme, sa trajectoire dans le prisme sera particulière, elle sera parallèle à la base du prisme.
Regardons maintenant l’angle d’incidence initial et l’angle de réfraction final. Précédemment nous avions appelé ces angles et mais nous les appellerons ici et parce qu’ils correspondent au minimum de déviation du rayon lumineux.
Étant donné que le prisme est symétrique et que le rayon à l’intérieur du prisme est parallèle à la base du prisme, il se trouve que et sont égaux :
Nous pouvons maintenant écrire une version particulière de l’équation que nous avions établie précédemment :
Cette équation s’applique spécifiquement dans le cas où un rayon lumineux est dévié selon le minimum de déviation
Pour ce cas particulier, nous allons utiliser , et dans l’équation ci-dessus. Cela nous donne
Comme nous savons que et sont égaux, nous pouvons remplacer par :
En exprimant en fonction des autres termes, nous avons
Équation: Angle d’incidence correspondant au minimum de déviation
L’angle d’incidence correspondant au minimum de déviation est
Exemple 2: Identifier les angles d’incidence et de réfraction d’un rayon lumineux traversant un prisme au minimum de déviation
Le graphique représente les variations de l’angle de déviation du prisme triangulaire représenté sur la figure en fonction de l’angle d’incidence des rayons lumineux.
- Lorsque , l’angle de déviation, prend sa valeur minimum, lequel des angles sur la figure est égale à l’angle ?
- Lorsque , l’angle de déviation, prend sa valeur minimum, lequel des angles sur la figure est égale à l’angle ?
Réponse
Partie 1
Dans cette question, on nous demande de considérer le cas particulier du minimum de déviation (c’est-à-dire lorsque prend sa valeur minimum). Pour cela, il faut se rappeler que lorsqu’un rayon lumineux traverse un prisme au minimum de déviation, sa trajectoire est parallèle à la base du prisme lorsqu’il traverse le prisme.
En fait, cela signifie que la trajectoire du rayon est symétrique par rapport à un axe qui coupe le prisme en son milieu. Une fois que cela est compris, il est facile de répondre à la question.
Dans cette première question, nous voulons trouver l’angle égal à , qui est l’angle d’incidence lorsque le rayon pénètre dans le prisme, comme nous pouvons le voir sur la figure. Sachant qu’il existe un axe de symétrie dans notre figure dans le cas du minimum de déviation, cet angle doit être le même que l’angle de réfraction, selon lequel le rayon sort du prisme, .
Partie 2
De nouveau, nous pouvons répondre à cette question en utilisant le fait que la trajectoire du rayon lumineux est symétrique dans le cas du minimum de déviation. Sachant cela, nous pouvons voir que doit être égal à l’angle correspondant à droite du triangle. Il s’agit de l’angle de réfraction au point où le rayon lumineux sort du prisme, appelé .
Une autre équation utile permet d’exprimer l’indice de réfraction du prisme, , en fonction de l’angle minimum de déviation et l’angle au sommet . L’indice de réfraction décrit précisément quelle fraction d’un rayon est diffracté quand il entre ou sort d’un milieu, il est donc possible d’établir cette équation en utilisant la loi de Snell, mais nous ne le traiterons pas ici. Voici l’équation.
Équation: Indice de réfraction d’un prisme en fonction de 𝛼 0 et 𝐴
L’indice de réfraction d’un prisme peut s’exprimer en fonction de et selon l’équation suivante :
Dans certains cas, il est possible d’utiliser une version simplifiée de cette équation. Dans les cas particuliers où l’angle au sommet est petit (si le prisme est fin), on peut utiliser l’équation suivante.
Équation: Approximation de l’indice de réfraction pour un prisme fin
Pour les prismes fins,
Il faut noter que cette équation est vraie seulement pour les prismes fins où est petit, et et doivent être exprimés en radians.
Considérons quelques exemples de problèmes qui peuvent être résolus en utilisant ces deux équations.
Exemple 3: Calculer l’indice de réfraction d’un prisme triangulaire en fonction de l’angle de diffraction minimum, de l’angle d’incidence et de l’angle au sommet
Un prisme triangulaire a un angle au sommet de . Sachant que le minimum de déviation est et que les rayons lumineux les moins déviés ont un angle d’incidence de , déterminez l’indice de réfraction du prisme arrondi à deux décimales près.
Réponse
Dans cette question, nous considérons un rayon lumineux passant à travers un prisme triangulaire. Rappelons que lorsqu’un rayon lumineux passe à travers un prisme, son angle de déviation total peut être exprimé en fonction de l’angle entre le rayon incident sur le prisme et le rayon réfracté sortant du prisme. On appelle cet angle .
Rappelons également que pour un prisme donné, l’angle atteint une valeur minimum lorsque le rayon lumineux pénètre dans le prisme avec un certain angle d’incidence. On appelle cet angle de déviation minimum et l’angle d’incidence particulier qui donne lieu à ce minimum de déviation est appelé .
On nous donne ici l’angle au sommet , le minimum de déviation et l’angle d’incidence qui correspond à ce minimum de déviation du rayon lumineux, .
On nous demande de trouver l’indice de réfraction du prisme, . Pour cela, il faut trouver un moyen de relier , , et .
Nous avons une équation qui contient tous ces termes :
Comme le terme que nous recherchons, , est déjà exprimé en fonction des autres termes, il nous suffit de remplacer les valeurs données. En fait, nous n’aurons même pas besoin d’utiliser l’angle d’incidence .
Avant cela, nous pouvons rappeler qu’il existe une autre équation plus simple permettant de calculer l’indice de réfraction d’un prisme en fonction de et :
Il faut cependant noter que cette équation n’est vraie que pour les « prismes fins », c’est-à-dire pour les prismes dont l’angle au sommet est petit. En règle générale, nous envisagerons d’utiliser cette équation si le prisme est décrit comme « fin » ou si l’angle au sommet est inférieur à . Dans notre question, vaut . Cette valeur ne peut pas être considérée comme un « petit » angle, nous utiliserons donc plutôt l’équation dans sa version non simplifiée.
En remplaçant et dans cette équation et en simplifiant, nous obtenons
Nous utilisons ensuite la calculatrice pour calculer les valeurs des sinus,
Il faut noter qu’un indice de réfraction est une grandeur « sans dimension » et n’a pas d’unité. Il nous reste donc à faire un arrondi à deux décimales comme demandé dans l’énoncé. Et nous obtenons un résultat final :
Pour comparer, si nous avions utilisé l’approximation du prisme fin, nous aurions obtenu une valeur de 1,57 (à noter que pour utiliser cette équation, les angles doivent être convertis en radians). C’est assez éloigné de la valeur que nous avons calculée, avec une erreur de l’ordre de , ce qui montre bien que l’approximation des petits angles est beaucoup moins précise pour des valeurs plus grandes de .
Exemple 4: Utiliser l’approximation du prisme fin pour déterminer le minimum de déviation d’un prisme
Un prisme triangulaire très fin a un angle au sommet de . L’indice de réfraction du prisme est de 1,4. Déterminez le minimum de déviation du prisme en utilisant l’approximation des petits angles. Donnez la réponse arrondie à une décimale près.
Réponse
Ici, nous considérons un rayon lumineux réfracté par un prisme triangulaire. Rappelons que, pour un prisme donné, si l’on fait varier l’angle d’incidence , l’angle de déviation va également varier. On appelle le minimum de déviation et l’angle d’incidence particulier qui donne lieu à ce minimum de déviation .
On nous donne ici l’angle au sommet ainsi que l’indice de réfraction et nous devons déterminer le minimum de déviation . Nous avons deux équations reliant ces trois termes : et
La différence entre ces équations est que la première équation est toujours vraie quelle que soit la valeur de . Mais la deuxième équation n’est vraie que pour les prismes « fins » (c’est-à-dire pour lesquels l’angle au sommet est petit). Dans cette question, on nous demande d’utiliser « l’approximation des petits angles ». Cela signifie que nous devons utiliser la deuxième équation. L’utilisation de cette équation est justifiée puisque l’angle au sommet vaut seulement . Comme nous voulons déterminer , nous allons commencer par modifier notre équation :
Il faut faire attention lors de l’application numérique car la formule dans le cas de l’approximation des petits angles nécessite d’exprimer les angles en radians. Cela signifie que nous devons convertir en radians avant de l’intégrer dans notre équation. Pour cela, nous pouvons le diviser par et multiplier par :
Maintenant, nous sommes prêts à remplacer et dans l’équation :
Nous pouvons maintenant convertir cette valeur en degrés en multipliant par 180 et en divisant par :
En arrondissant cette valeur à une décimale près, nous obtenons un résultat final de .
Points clés
- Dans cette fiche explicative, nous avons considéré la trajectoire d’un rayon lumineux passant à travers un prisme d’indice de réfraction .
- Sur cette figure, nous avons identifié les angles suivants :
- : l’angle au sommet du prisme,
- : l’angle d’incidence lorsque le rayon entre dans le prisme,
- : l’angle de réfraction lorsque le rayon entre dans le prisme,
- : l’angle d’incidence lorsque le rayon sort du prisme,
- : l’angle de réfraction lorsque le rayon sort du prisme,
- : l’angle de déviation totale du rayon lumineux.
- Nous avons montré qu’il est possible d’établir de manière géométrique une expression de en fonction de , et :
- Pour un prisme donné, l’angle de déviation va varier en fonction de l’angle d’incidence initial .
- Pour un prisme donné, l’angle de déviation total prendra une valeur minimum pour un angle d’incidence initial particulier . Cet angle d’incidence est donné par
- L’indice de réfraction d’un prisme peut être calculé en fonction de l’angle au sommet et l’angle minimum de déviation :
- Dans les cas où le prisme est fin (c’est-à-dire où est petit), l’approximation des petits angles nous donne une version simplifiée de cette équation :
