Transcription de la vidéo
Si 𝐴 est le vecteur de composantes moins trois, zéro, moins deux ; 𝐵 est le vecteur de composantes moins un, moins trois, trois ; et 𝐶 est le vecteur de composantes deux, moins deux, moins un, calculez le produit scalaire de 𝐴 plus 𝐶 avec 𝐴 produit vectoriel 𝐵 produit vectoriel 𝐵 produit vectoriel 𝐶.
Il n'y a pas vraiment d'astuce pour répondre à cette question. On doit juste calculer ça. On utilise l'ordre des opérations pour décomposer ce problème en plusieurs petits problèmes. Ainsi, il faut trouver 𝐴 plus 𝐶, le produit vectoriel de 𝐴 et 𝐵, et le produit vectoriel de 𝐵 et 𝐶 avant de tout regrouper. On commence par trouver 𝐴 plus 𝐶. On additionne simplement les composantes de 𝐴 et 𝐶, ce qui donne : moins un, moins deux, moins trois. Nous allons maintenant trouver le produit vectoriel de 𝐴 et 𝐵. Ce produit vectoriel est exprimé par un déterminant dont la première ligne contient les vecteurs unitaires 𝑖, 𝑗 et 𝑘 qui sont dans les directions des 𝑥, des 𝑦 et des 𝑧, respectivement. Sur la deuxième ligne, on met les composantes de 𝐴. Il s'agit donc de moins trois, zéro, moins deux. Et sur la troisième ligne, on met les composants de 𝐵. Alors c'est moins un, moins trois, trois.
Il nous suffit maintenant de calculer ce déterminant. On développe suivant la première ligne et on trouve un terme pour chaque élément 𝑖, 𝑗 et 𝑘. Il suffit maintenant de calculer chacun des déterminants deux-deux. On peut l'écrire en composantes comme suit. Faisons de la place. Nous allons maintenant trouver le produit vectoriel de 𝐵 et 𝐶. On procède de la même manière. Il suffit de compléter le déterminant trois-trois avec les vecteurs unitaires 𝑖, 𝑗 et 𝑘 et les composantes de 𝐵 et 𝐶, de développer suivant la première ligne et de calculer les déterminants deux-deux avant de les exprimer sous forme de composantes. Nous disposons maintenant de tous les éléments nécessaires.
Puisque nous avons les valeurs du produit vectoriel de 𝐴 et 𝐵 et du produit vectoriel de 𝐵 et 𝐶, nous pouvons calculer le produit vectoriel des produits vectoriels : 𝐴 produit vectoriel 𝐵 produit vectoriel 𝐵 produit vectoriel 𝐶. On écrit le produit vectoriel comme un déterminant trois-trois, on développe suivant la première ligne, ensuite on calcule les déterminants deux-deux avant d'écrire le vecteur sous forme de composantes. À présent, nous pouvons calculer le produit scalaire. On a les composantes du vecteur 𝐴 plus 𝐶 et les composantes de notre produit vectoriel des produits vectoriels. On multiplie les composantes correspondantes et on additionne les produits.
En évaluant cela, on trouve 86.
Au début de la vidéo, j'ai affirmé que la question ne nécessite aucune astuce. Il fallait juste suivre attentivement l'ordre des opérations et calculer. La suite de cette vidéo portera sur des stratégies que nous aurions pu utiliser pour minimiser les calculs, mais pas trop. Mais avant d'aborder cela, j'aimerais souligner quelque chose qui aurait nécessité moins de calculs mais qui donne aussi, malheureusement, une réponse erronée. Au final, ça valait probablement le coup de faire le travail.
Vous auriez peut être tenté de regrouper les facteurs dans le produit vectoriel des produits vectoriels. Les facteurs restent dans le même ordre. Mais on déplace quelques parenthèses. En effet, le produit vectoriel d'un vecteur par lui-même correspond simplement au vecteur nul. Donc le produit vectoriel de 𝐵 et 𝐵 est certainement le vecteur nul. Et le produit vectoriel de tout vecteur avec le vecteur nul est également le vecteur nul. Donc 𝐴 produit vectoriel 𝐵 produit vectoriel 𝐵 est aussi le vecteur nul. Et encore une fois, le produit vectoriel du vecteur nul avec n'importe quel vecteur est le vecteur nul. Donc, le tout est sûrement juste le vecteur nul. Et lorsque vous faites le produit scalaire de 𝐴 plus 𝐶 avec ce vecteur nul, vous obtenez bien sûr zéro. Hélas, comme nous l'avons vu, la bonne réponse est en fait 86 et non zéro. Et au passage, nous avons montré que le produit vectoriel des produits vectoriels n'est pas le vecteur nul.
Donc, où est le problème ? Il est vrai que 𝐴 produit vectoriel 𝐵 produit vectoriel 𝐵 produit vectoriel 𝐶 est le vecteur nul. En effet, c'est le premier pas que nous avons fait en réarrangeant les parenthèses qui était incorrect. Au contraire des produits réels impliquant la multiplication des nombres réels et même des produits matriciels impliquant la multiplication de matrices, le produit vectoriel n'est pas associatif. Cela veut dire que nous ne pouvons pas déplacer les parenthèses comme nous le souhaitons pour rassembler des termes. Comme nous l'avons vu, on finira par obtenir une valeur erronée.
Même si le produit vectoriel des produits vectoriels n'est pas nul, vous aurez peut-être remarqué que c’est un multiple du vecteur 𝐵. En y réfléchissant, ce n'est pas très surprenant. Le produit vectoriel donne un vecteur qui est orthogonal aux deux vecteurs du produit. On sait, par exemple, que le produit vectoriel de 𝐴 et 𝐵 est orthogonal à la fois à 𝐴 et à 𝐵. Et le produit vectoriel de 𝐵 et 𝐶 est orthogonal à 𝐵 et 𝐶. Ainsi, 𝐵 et tous ses multiples sont orthogonaux à la fois au produit vectoriel de 𝐴 et 𝐵 et au produit vectoriel de 𝐵 et 𝐶. Le produit vectoriel des produits vectoriels est également orthogonal à la fois au produit vectoriel de 𝐴 et 𝐵 et au produit vectoriel de 𝐵 et 𝐶. Par conséquent, il n'est pas surprenant que ce soit un multiple de 𝐵. Mais quel est ce multiple de 𝐵 ? On peut démontrer que pour n'importe quel vecteur 𝐴, 𝐵 et 𝐶, le produit vectoriel des produits vectoriels est le produit scalaire du produit vectoriel de 𝐴 et 𝐵 avec 𝐶 fois 𝐵. Vous pouvez vérifier que dans notre exemple, le produit scalaire du produit vectoriel de 𝐴 et 𝐵 avec 𝐶 est moins 43.
La démonstration de cette identité nécessite un peu de travail. Et son application même nécessite un certain nombre de calculs, mais pas autant que sans. Pour conclure, pour ce problème, le mieux était probablement de calculer soigneusement. Néanmoins, si vous regardez toujours, j'espère que vous avez apprécié cet aperçu des éléments vectoriels de niveau supérieur.
