Transcription de la vidéo
Déterminez l'équation du plan de vecteur normal 𝐀 égal à cinq 𝐢 moins sept 𝐣 moins trois 𝐤 et passant par le point 𝐵 de coordonnées moins cinq, cinq, neuf.
Bon, on cherche à déterminer l'équation d'un plan. Admettons que celui-ci soit ce plan. On nous dit que le vecteur 𝐀 est orthogonal à notre plan. Ça veut dire que si l’on trace le vecteur 𝐀, ça donnera quelque chose comme ça. On sait également que notre plan passe par le point 𝐵. Nous disposons donc d'un vecteur normal à notre plan et d'un point par où il passe. Cela suffit en fait pour déterminer l'équation de notre plan.
Rappelons la forme vectorielle de l'équation d'un plan. Elle nous indique que le produit scalaire d'un vecteur normal au plan et d'un vecteur de position d’un point du plan est égal au produit scalaire de ce vecteur normal et d'un vecteur de position d’un point connu du plan. Dans notre cas, le vecteur 𝐀 est notre vecteur normal. Et si on devait définir un repère de coordonnées, alors, un vecteur de l'origine de ce repère au point 𝐵 serait appelé 𝐫 zéro. Il s'agit de notre vecteur de position d'un point connu dans le plan. 𝐫 zéro a donc des composantes qui sont égales aux coordonnées du point 𝐵. Et comme notre vecteur normal 𝐧 est en effet le vecteur 𝐀, il a pour composantes cinq, moins sept, moins trois.
On peut maintenant utiliser ces valeurs dans notre forme vectorielle pour déterminer l'équation de notre plan. Le produit scalaire du vecteur normal et un vecteur de position d'un point quelconque de notre plan ressemble à ceci et le produit scalaire du vecteur normal et le vecteur de position du point 𝐵 ressemble à ceci. En calculant ces produits scalaires, on obtient cinq 𝑥 moins sept 𝑦 moins trois 𝑧, soit moins 25 moins 35 moins 27, ce qui donne moins 87. Si on ajoute maintenant 87 aux deux membres de cette équation, on trouve alors que cinq 𝑥 moins sept 𝑦 moins trois 𝑧 plus 87 égale zéro. C’est ce que l'on appelle la forme générale de l'équation de notre plan.
