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Si le vecteur 𝐀 a pour coordonnées moins huit, neuf, neuf et que le vecteur 𝐁 a pour coordonnées moins six, quatre, neuf, déterminez deux cinquièmes de 𝐀 moins quatre cinquièmes de 𝐁.
Pour répondre à cette question, on commencera par multiplier le vecteur 𝐀 par le scalaire deux cinquièmes. Puis on multipliera le vecteur 𝐁 par quatre cinquièmes. Enfin, on calculera la différence de ces deux vecteurs pour déterminer deux cinquièmes du vecteur 𝐀 moins quatre cinquièmes du vecteur 𝐁.
On rappelle que pour multiplier un vecteur par un scalaire, il suffit de multiplier chacune de ses coordonnées par le scalaire. Deux cinquièmes fois moins huit est égal à 16 cinquièmes. Et deux cinquièmes fois neuf est égal à 18 cinquièmes. Par conséquent, deux cinquièmes fois le vecteur 𝐀 est égal au vecteur moins 16 cinquièmes, 18 cinquièmes, 18 cinquièmes.
On peut procéder de façon similaire pour calculer quatre cinquièmes fois le vecteur 𝐁. Quatre cinquièmes fois moins six est égal à 24 cinquièmes. Quatre cinquièmes fois quatre est égal à 16 cinquièmes. Enfin, quatre cinquièmes fois neuf est égal à 36 cinquièmes. Par conséquent, quatre cinquièmes fois le vecteur 𝐁 est égal au vecteur moins 24 cinquièmes, 16 cinquièmes, 36 cinquièmes.
On va maintenant calculer la différence de ces deux vecteurs en soustrayant leurs coordonnées deux à deux. Moins 16 cinquièmes moins moins 24 cinquièmes se simplifie en moins 16 cinquièmes plus 24 cinquièmes. C’est égal à huit cinquièmes. 18 cinquièmes moins 16 cinquièmes est égal à deux cinquièmes. Enfin, 18 cinquièmes moins 36 cinquièmes est égal à moins 18 cinquièmes.
Ainsi, si le vecteur 𝐀 a pour coordonnées moins huit, neuf, neuf et le vecteur 𝐁 moins six, quatre, neuf, alors deux cinquièmes fois le vecteur 𝐀 moins quatre cinquièmes fois le vecteur 𝐁 est égal au vecteur huit cinquièmes, deux cinquièmes, 18 cinquièmes.
Pour nous éviter d’avoir à manipuler autant de fractions dans nos calculs, on aurait aussi pu factoriser notre expression d’origine par un cinquième ou par deux cinquièmes. Par exemple, deux cinquièmes fois le vecteur 𝐀 moins quatre cinquièmes fois le vecteur 𝐁 est la même chose que un cinquième multiplié par deux fois le vecteur 𝐀 moins quatre fois le vecteur 𝐁. Il suffit ensuite de calculer deux fois le vecteur 𝐀 et quatre fois le vecteur 𝐁, puis de soustraire ces deux vecteurs et de multiplier le résultat par le scalaire un cinquième.
Calculer deux 𝐀 moins quatre 𝐁 nous donnerait le vecteur huit, deux, moins 18. En multipliant ce vecteur par le scalaire un cinquième, on obtient à nouveau le vecteur huit cinquièmes, deux cinquièmes, moins 18 cinquièmes.
