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Vidéo de la leçon : Opérations sur les vecteurs en trois dimensions Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à effectuer des opérations sur des vecteurs en en trois dimensions telles que l’addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à effectuer des opérations sur des vecteurs en trois dimensions telles que l’addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire. Commençons par rappeler quelques propriétés clés des vecteurs en trois dimensions. Nous savons qu’un vecteur dans l’espace a une norme, une direction et un sens. Dans ce repère orthonormé en trois dimensions, les vecteurs unitaires dans le sens des axes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont respectivement notés 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Tout vecteur peut donc être écrit sous la forme 𝑥𝐢 plus 𝑦𝐣 plus 𝑧𝐤. Les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 correspondent au nombre d’unités parcourues dans ces directions. Si le point 𝐴 a les coordonnées 𝑥, 𝑦, 𝑧, alors le vecteur 𝐀 est égal à 𝑥𝐢 plus 𝑦𝐣 plus 𝑧𝐤. Il peut également être écrit en fonction de ses coordonnées comme ceci.

Nous allons maintenant voir comment additionner et soustraire des vecteurs en trois dimensions. Si nous considérons deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 de coordonnées respectives 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑧 deux, alors nous pouvons additionner et soustraire les deux vecteurs en considérant leurs coordonnées correspondantes. Le vecteur 𝐀 plus 𝐁 aura les coordonnées 𝑥 un plus 𝑥 deux, 𝑦 un plus 𝑦 deux et 𝑧 un plus 𝑧 deux. De même, 𝐀 moins 𝐁 aura les coordonnées 𝑥 un moins 𝑥 deux, 𝑦 un moins 𝑦 deux et 𝑧 un moins 𝑧 deux. Cette méthode nous permet d’additionner ou de soustraire deux vecteurs ou plus. Nous allons maintenant étudier quelques exemples.

Soient les vecteurs 𝐀 égale moins cinq 𝐢 moins huit 𝐣 plus six 𝐤 et 𝐁 égale quatre 𝐢 moins trois 𝐣 plus 13𝐤, calculez 𝐀 moins 𝐁.

Nous rappelons que si le vecteur 𝐀 est égal à 𝑥 un 𝐢 plus 𝑦 un 𝐣 plus 𝑧 un 𝐤 et le vecteur 𝐁 est égal à 𝑥 deux 𝐢 plus 𝑦 deux 𝐣 plus 𝑧 deux 𝐤, alors A moins 𝐁 est égal à 𝑥 un moins 𝑥 deux 𝐢 plus 𝑦 un moins deux 𝐣 plus 𝑧 un moins 𝑧 deux 𝐤. Pour cette question, nous devons donc soustraire quatre 𝐢 moins trois 𝐣 plus 13 𝐤 à moins cinq 𝐢 moins huit 𝐣 plus six 𝐤. Soustraire quatre 𝐢 moins trois 𝐣 plus 13𝐤 revient à additionner moins quatre 𝐢 plus trois 𝐣 moins 13𝐤. On peut alors regrouper les termes semblables. Moins cinq 𝐢 moins quatre i égale moins neuf 𝐢. Moins huit 𝐣 plus trois 𝐣 égale moins cinq 𝐣. Enfin, six 𝐤 moins 13𝐤 égale moins sept 𝐤.

Le vecteur 𝐀 moins 𝐁 est donc égal à moins neuf 𝐢 moins cinq 𝐣 moins sept 𝐤.

Nous allons maintenant étudier un problème d’addition.

Soient les vecteurs 𝐀 égale moins deux, moins trois, zéro et 𝐁 égale moins trois, trois, moins deux, calculez 𝐀 plus 𝐁.

Pour additionner deux vecteurs en trois dimensions, nous additionnons simplement leurs coordonnées correspondantes. Cela signifie que si le vecteur 𝐀 a les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et le vecteur 𝐁 a les coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑧 deux, alors 𝐀 plus 𝐁 aura les coordonnées 𝑥 un plus 𝑥 deux, 𝑦 un plus 𝑦 deux , et 𝑧 un plus 𝑧 deux. Pour cette question, on additionne les coordonnées 𝑥, moins deux et moins trois. On additionne les coordonnées 𝑦, moins trois et plus trois. Et on additionne les coordonnées 𝑧, zéro et moins deux. Moins deux plus moins trois est équivalent à moins deux moins trois. Qui est égal à moins cinq. Moins trois plus trois égale zéro. Enfin, zéro plus moins deux est équivalent à zéro moins deux, qui est égal à moins deux.

Si le vecteur 𝐀 est moins deux, moins trois, zéro et le vecteur 𝐁 est moins trois, trois, moins deux, alors le vecteur 𝐀 plus 𝐁 est moins cinq, zéro, moins deux.

Nous allons maintenant voir ce qui se passe lorsque nous multiplions un vecteur par un scalaire. Pour multiplier un vecteur par un scalaire, nous devons multiplier chacune des coordonnées du vecteur par le scalaire. Cela signifie que si le vecteur 𝐀 a les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧, alors le multiplier par le scalaire ou la constante 𝑘 donne le vecteur de coordonnées 𝑘𝑥, 𝑘𝑦 et 𝑘𝑧. Nous allons maintenant étudier une question impliquant la multiplication par un scalaire.

Quel est le vecteur résultant de la mise à l’échelle du vecteur 𝐀 égal moins six, moins trois, moins un par un facteur moins six?

Lorsque nous multiplions un vecteur par un scalaire, nous multiplions simplement chacune de ses coordonnées par le scalaire. Dans cette question, nous souhaitons multiplier le vecteur moins six, moins trois, moins un par le scalaire, ou la constante, moins six. On rappelle qu’en multipliant deux nombres négatifs, on obtient un résultat positif. Cela signifie que moins six fois moins six égale plus 36. Moins six fois moins trois égale 18. Et moins six fois moins un égale six. Si le vecteur 𝐀 est moins six, moins trois, moins un, alors en le multipliant par le scalaire moins six, on obtient le vecteur 36, 18, six.

La prochaine question implique à la fois la multiplication par un scalaire et la soustraction de deux vecteurs.

Soient les vecteurs 𝐀 égale moins huit, neuf, neuf et 𝐁 égale moins six, quatre, neuf, calculez deux sur cinq 𝐀 moins quatre sur cinq 𝐁.

Nous commençons par calculer deux sur cinq 𝐀. Pour multiplier un vecteur par un scalaire ou une constante, on multiplie simplement chacune de ses coordonnées par ce scalaire. On doit donc multiplier les coordonnées moins huit, neuf et neuf par deux sur cinq. Moins huit fois deux sur cinq égale moins seize sur cinq. Neuf fois deux sur cinq égale dix-huit sur cinq. Cela signifie que le vecteur deux sur cinq 𝐀 a les coordonnées moins seize sur cinq, dix-huit sur cinq, dix-huit sur cinq. Nous pouvons répéter ce processus pour calculer quatre sur cinq 𝐁. On doit multiplier le vecteur moins six, quatre, neuf par quatre sur cinq. Cela nous donne le vecteur dont les coordonnées sont moins vingt-quatre sur cinq, seize sur cinq et trente-six sur cinq.

La prochaine étape consiste à soustraire quatre sur cinq 𝐁 à deux sur cinq 𝐀. Pour soustraire deux vecteurs, on soustrait simplement leurs coordonnées correspondantes. On commence par soustraire moins vingt-quatre sur cinq à moins seize sur cinq. Moins 16 moins moins 24 égale plus huit. Par conséquent, la coordonnée 𝑥 est égale à huit sur cinq. En soustrayant seize sur cinq à dix-huit sur cinq, on obtient deux sur cinq. La coordonnée 𝑦 de notre vecteur est donc deux sur cinq. Enfin, on soustrait trente-six sur cinq à dix-huit sur cinq. Comme 18 moins 36 égale moins 18, la coordonnée 𝑧 est égale à moins dix-huit sur cinq. Deux sur cinq 𝐀 moins quatre sur cinq 𝐁 égale huit sur cinq, deux sur cinq, moins dix-huit sur cinq.

Bien que cela ne soit pas nécessaire pour cette question, nous pourrions factoriser par un sur 5, ce qui nous donnerait le scalaire un sur 5 fois le vecteur huit, deux, moins 18.

Dans la prochaine question, nous devons trouver un vecteur inconnu dans une expression vectorielle.

Soient les vecteurs 𝐀 égale moins un, un, un et 𝐁 égale un, un, moins deux, déterminez les coordonnées du vecteur 𝐂 tel que deux 𝐂 plus cinq 𝐀 égale cinq 𝐁.

Il existe de nombreuses façons d’aborder ce problème. Nous pouvons par exemple commencer par réarranger l’équation pour isoler le vecteur 𝐂. On réalise cela en soustrayant d’abord cinq 𝐀 aux deux membres. Cela nous donne deux 𝐂 égale cinq 𝐁 moins cinq 𝐀. On peut alors diviser les deux membres de cette équation par deux pour obtenir 𝐂 égale cinq 𝐁 moins cinq 𝐀 sur deux. Le membre droit peut être réécrit par un demi de cinq 𝐁 moins cinq 𝐀.

On peut maintenant calculer cinq fois le vecteur 𝐁 et cinq fois le vecteur 𝐀. Pour multiplier un vecteur par un scalaire, on multiplie simplement chacune de ses coordonnées par ce scalaire. Pour calculer cinq 𝐁, on multiplie le vecteur un, un, moins deux par cinq. Cela nous donne le vecteur cinq, cinq, moins 10. De la même manière, cinq fois le vecteur 𝐀 est égal à cinq fois le vecteur moins un, un, un. Cela donne moins cinq, cinq, cinq.

On peut maintenant soustraire ces deux vecteurs. On soustrait pour cela leurs coordonnées correspondantes. Cinq moins moins cinq égale 10. Cinq moins cinq égale zéro. Et moins 10 moins cinq égale moins 15. Cinq 𝐁 moins cinq 𝐀 égale 10, zéro, moins 15. Nous savons que le vecteur 𝐂 est égal à la moitié de cela. Il est donc égal à un demi du vecteur 10, zéro, moins 15. Un demi de 10 égale cinq, un demi de zéro égale zéro et un demi de moins 15 égale moins 15 sur deux ou moins quinze demis. Le vecteur 𝐂 pour lequel deux 𝐂 plus cinq 𝐀 égale cinq 𝐁 est donc cinq, zéro, moins 15 sur deux.

Dans la dernière question, nous allons étudier la norme de vecteurs en trois dimensions.

𝐕 et 𝐖 sont deux vecteurs, où le vecteur 𝐕 est égal à moins un, cinq, moins deux et le vecteur 𝐖 est égal à trois, un, un. En comparant la norme de 𝐕 moins 𝐖 et la norme de 𝐕 moins la norme de 𝐖, quelle quantité est la plus grande?

On rappelle que la norme de tout vecteur 𝐀 de coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 est égale à racine carrée de 𝑥 carré plus 𝑦 carré plus 𝑧 carré. On calcule la somme des carrés de chaque coordonnée puis on prend sa racine carrée. Cela signifie que la norme de 𝐕 est égale à racine carrée de moins un au carré plus cinq au carré plus moins deux au carré. Cela est égal à racine carrée de un plus 25 plus quatre. La norme de 𝐕 est donc égale à racine carrée de 30. Nous pouvons répéter ce processus pour le vecteur 𝐖. Sa norme est égale à racine carrée de trois au carré plus un au carré plus un au carré, ce qui se simplifie par racine carrée de neuf plus un plus un, qui est égal à racine carrée de 11. La norme de 𝐖 est donc égale à racine carrée de 11.

Avant de calculer la norme du vecteur 𝐕 moins 𝐖, nous allons d’abord déterminer 𝐕 moins 𝐖. Nous savons que pour soustraire deux vecteurs, nous devons soustraire leurs coordonnées correspondantes. Moins un moins trois égale moins quatre. Cinq moins un égale plus quatre. Et moins deux moins un égale moins trois. Le vecteur 𝐕 moins 𝐖 est donc égal à moins quatre, quatre, moins trois. Sa norme est alors égale à racine carrée de moins quatre au carré plus quatre au carré plus moins trois au carré. Cela se simplifie par racine carrée de 16 plus 16 plus neuf. La norme de 𝐕 moins 𝐖 est donc égale à racine carrée de 41.

Nous allons maintenant évaluer les valeurs décimales de la norme de 𝐕 moins 𝐖 et de la norme de 𝐕 moins la norme de W. Racine carrée de 41 égale environ 6,4031. Racine carrée de 30 moins racine carrée de 11 égale environ 2,1606. Cela signifie que racine carrée de 41 est supérieur à racine carrée de 30 moins racine carrée de 11. Nous pouvons donc conclure que la norme de 𝐕 moins 𝐖 est supérieure à la norme de 𝐕 moins la norme de 𝐖. La plus grande quantité est la norme du vecteur 𝐕 moins 𝐖.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans cette vidéo que pour additionner ou soustraire des vecteurs en trois dimensions, il suffit d’additionner ou soustraire leurs coordonnées correspondantes. Si le vecteur 𝐀 a les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et le vecteur 𝐁 a les coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑧 deux, alors pour calculer 𝐀 plus 𝐁, nous additionnons leurs coordonnées; et pour calculer 𝐀 moins 𝐁, nous soustrayons leurs coordonnées correspondantes. Nous avons également appris que pour multiplier un vecteur par un scalaire, nous multiplions chaque coordonnée du vecteur par le scalaire. Si le vecteur 𝐀 a les coordonnées 𝑥, 𝑦, 𝑧, alors le multiplier par le scalaire 𝑘 nous donne le vecteur de coordonnées 𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧.

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