Fiche explicative de la leçon : Opérations sur les vecteurs en 3D Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à effectuer des opérations sur des vecteurs en 3D, telles que l'addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire.

L’addition, la soustraction et la multiplication par un nombre réel sur les vecteurs en trois dimensions, ou plus, se réalisent de la même façon que sur les vecteurs en deux dimensions. Commençons par nous rappeler comment représenter visuellement un vecteur dans l’espace.

Un vecteur tracé en trois dimensions possède un point de départ, appelé origine, et un point d’arrivée, appelé extrémité. Le sens du vecteur est indiqué par une flèche partant de son origine et pointant vers son extrémité. La longueur du vecteur est appelée la norme. On peut exprimer un vecteur en fonction de ses vecteurs unitaires 𝑖, 𝑗 et 𝑘, ou de ses composantes.

Définition : Vecteurs unitaires

Un vecteur unitaire est un vecteur de longueur (norme) égale à 1. Les vecteurs unitaires dans la direction des axes des 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont respectivement notés 𝑖, 𝑗 et 𝑘.

Tout vecteur peut être exprime sous la forme 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘. Ou, alternativement, sous forme de composantes(𝑥;𝑦;𝑧) et 𝑥𝑦𝑧.

Nous allons maintenant nous intéresser à la notation de tout vecteur dans l’espace dont le point de départ est à l’origine du repère.

Sur la figure ci-dessous, le point 𝐴 a pour coordonnées (2;5;3) et le vecteur 𝐴 (parfois noté 𝑂𝐴 ) est le segment allant de l’origine du repère jusqu’au point 𝐴.

Partant de l’origine du repère, on se déplace de 2 unités dans la direction de l’axe des 𝑥, de 5 unités dans la direction de l’axe des 𝑦 et de 3 unités dans la direction de l’axe des 𝑧, de manière à obtenir le vecteur 𝐴=(2;5;3).

Rappelons maintenant quelques définitions clés sur les vecteurs.

Définition : Vecteurs position

Si le point 𝐴 a pour coordonnées (𝑥;𝑦;𝑧), comme indiqué sur la figure ci-dessous, alors le vecteur 𝐴=(𝑥;𝑦;𝑧), dont les composantes en 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont les déplacements du point 𝐴 dans la direction des axes des 𝑥, 𝑦 et 𝑧, respectivement depuis l’origine du repère est appelé un vecteur position.

Définition : Additionner et soustraire des vecteurs

On peut additionner ou soustraire deux vecteurs quelconques en additionnant ou soustrayant leurs composantes correspondantes.

Si 𝐴=(𝑥;𝑦;𝑧) et 𝐵=(𝑥;𝑦;𝑧), alors 𝐴+𝐵=(𝑥+𝑥;𝑦+𝑦;𝑧+𝑧).

Si 𝐴=(𝑥;𝑦;𝑧) et 𝐵=(𝑥;𝑦;𝑧), alors 𝐴𝐵=(𝑥𝑥;𝑦𝑦;𝑧𝑧).

Dans le premier exemple, nous allons montrer comment soustraire un vecteur à un autre vecteur, lorsqu’ils sont tous les deux donnés en fonction de leurs vecteurs unitaires.

Exemple 1: Soustraire des vecteurs en 3D

Si 𝐴=5𝑖8𝑗+6𝑘 et 𝐵=4𝑖3𝑗+13𝑘, déterminez 𝐴𝐵.

Réponse

Nous savons que, pour soustraire deux vecteurs en trois dimensions, on doit soustraire individuellement leurs composantes correspondantes. Si 𝐴=(𝑥;𝑦;𝑧) et 𝐵=(𝑥;𝑦;𝑧), alors 𝐴𝐵=(𝑥𝑥;𝑦𝑦;𝑧𝑧).

Pour répondre à la question, nous devons donc soustraire les composantes en 𝑖, 𝑗 et 𝑘 séparément pour obtenir 𝐴𝐵=(5;8;6)(4;3;13)=(54;8(3);613)=(9;5;7).

Par conséquent, 𝐴𝐵=9𝑖5𝑗7𝑘.

Voyons maintenant comment additionner deux vecteurs en trois dimensions.

Exemple 2: Additionner des vecteurs en 3D

Étant donnés les deux vecteurs 𝐴=(2;3;0) et 𝐵=(3;3;2), déterminez 𝐴+𝐵.

Réponse

Nous savons que, pour additionner deux vecteurs en trois dimensions, on doit additionner individuellement leurs composantes correspondantes. Si 𝐴=(𝑥;𝑦;𝑧) et 𝐵=(𝑥;𝑦;𝑧), alors 𝐴+𝐵=(𝑥+𝑥;𝑦+𝑦;𝑧+𝑧).

Cela signifie que 𝐴+𝐵=(2+(3);3+3;0+(2)).

Par conséquent, 𝐴+𝐵=(5;0;2).

On peut généraliser la méthode d’addition et de soustraction de vecteurs en trois dimensions aux vecteurs de dimension 𝑛.

Si 𝐴=(𝑎;𝑎;𝑎;;𝑎;𝑎) et 𝐵=(𝑏;𝑏;𝑏;;𝑏;𝑏), alors 𝐴+𝐵=(𝑎+𝑏;𝑎+𝑏;𝑎+𝑏;;𝑎+𝑏;𝑎+𝑏) et 𝐴𝐵=(𝑎𝑏;𝑎𝑏;𝑎𝑏;;𝑎𝑏;𝑎𝑏).

Définition : Multiplier un vecteur par un nombre réel

Pour multiplier un vecteur par un nombre réel, nous multiplions chacune des composantes individuelles par ce nombre.

Si 𝐴=(𝑥;𝑦;𝑧), alors 𝑘𝐴=(𝑘𝑥;𝑘𝑦;𝑘𝑧), pour tout nombre réel 𝑘.

Cette règle se généralise également aux vecteurs de dimension 𝑛. Si 𝐴=(𝑎;𝑎;𝑎;;𝑎;𝑎), alors 𝑘𝐴=(𝑘𝑎;𝑘𝑎;𝑘𝑎;;𝑘𝑎;𝑘𝑎).

Dans le prochain exemple, nous allons montrer comment multiplier un vecteur par un nombre réel

Exemple 3: Multiplier un vecteur en trois dimensions par un nombre réel

Quel est le vecteur obtenu en multipliant le vecteur 𝐴=(6;3;1) par un facteur de 6?

Réponse

Pour multiplier un vecteur quelconque par un nombre réel, on doit multiplier individuellement chacune de ses composantes par ce nombre. Si 𝐴=(𝑥;𝑦;𝑧), alors 𝑘𝐴=(𝑘𝑥;𝑘𝑦;𝑘𝑧).

Pour répondre à la question, nous devons donc multiplier 6, 3 et 1 par 6. On rappelle qu’en multipliant deux nombres négatifs, on obtient un nombre positif: 6×6=36;3×6=18;1×6=6.

Donc si on multiple (6;3;1) par un facteur de 6 on obtient le vecteur (36;18;6).

Dans le quatrième exemple, nous allons combiner la multiplication d’un vecteur par un nombre réel avec la soustraction de vecteurs.

Exemple 4: Soustraire des multiples de vecteurs

Si 𝐴=(8;9;9) et 𝐵=(6;4;9), déterminez 25𝐴45𝐵.

Réponse

Pour multiplier un vecteur quelconque par un nombre réel, on doit multiplier individuellement chacune de ses composantes par ce nombre.

Comme 𝐴=(8;9;9), alors 25𝐴=25(8;9;9)=165;185;185.

Et comme 𝐵=(6;4;9), alors 45𝐵=45(6;4;9)=245;165;365.

Pour soustraire deux vecteurs en trois dimensions, on doit soustraire individuellement leurs composantes correspondantes25𝐴45𝐵=165;185;185245;165;365=165245;185165;185365=85;25;185.

Par conséquent, 25𝐴45𝐵=85;25;185.

Dans le prochain exemple, nous allons montrer comment déterminer un vecteur manquant dans une expression vectorielle.

Exemple 5: Déterminer un vecteur inconnu dans une equation vectorielle

Si 𝐴=(1;1;1) et 𝐵=(1;1;2), déterminez le vecteur 𝐶 tel que 2𝐶+5𝐴=5𝐵.

Réponse

L’énoncé indique que 2𝐶+5𝐴=5𝐵, donc nous pouvons commencer par réarranger l’équation en soustrayant 5𝐴 aux deux membres de l’équation. On obtient l’équation 2𝐶=5𝐵5𝐴.

Ensuite, nous calculons 5𝐴 et 5𝐵. Pour multiplier un vecteur quelconque par un nombre réel, on doit multiplier individuellement chacune de ses composantes par ce nombre.

Si 𝐴=(1;1;1), alors 5𝐴=(5;5;5).

Si 𝐵=(1;1;2), alors 5𝐵=(5;5;10).

Pour soustraire deux vecteurs en trois dimensions, on doit soustraire individuellement leurs composantes correspondantes.

Donc, 5𝐵5𝐴=(5;5;10)(5;5;5)=(10;0;15).

Étant donné que 2𝐶=(10;0;15), on peut diviser chacune des composantes par 2 et obtenir ainsi le vecteur 𝐶.

Par conséquent, 𝐶=5;0;152.

On peut déterminer la distance séparant deux points donnés dans l’espace en utilisant une variante du théorème de Pythagore. Il s’agit de la formule de la distance entre deux points. Étant donnés deux points (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦), la distance les séparant, notée, 𝑑, entre eux est donnée par 𝑑=(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦).

Cela peut être généralisé pour calculer la distance entre un point et l’origine du repère dans l’espace. En termes de vecteurs, cela signifie qu’on peut déterminer la longueur d’un vecteur, aussi appelée norme du vecteur.

Définition : Norme d’un vecteur

La norme d’un vecteur nous indique sa longueur et elle est notée 𝐴.

Si 𝐴=(𝑥;𝑦;𝑧), alors 𝐴=𝑥+𝑦+𝑧.

Dans le prochain exemple, nous allons calculer la norme de vecteurs en trois dimensions.

Exemple 6: Comparer des normes d’expressions vectorielles

Soient 𝑉 et 𝑊 deux vecteurs, tels que 𝑉=(1;5;2) et 𝑊=(3;1;1). Comparez 𝑉𝑊 et 𝑉𝑊. Laquelle de ces deux quantités est la plus grande?

Réponse

Pour déterminer la norme d’un vecteur quelconque, on calcule la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. Si 𝐴=(𝑥;𝑦;𝑧), alors 𝐴=𝑥+𝑦+𝑧.

On sait que 𝑉=(1;5;2).

Donc, 𝑉=(1)+(5)+(2)=30.

On sait également que 𝑊=(3;1;1).

Donc, 𝑊=(3)+(1)+(1)=11.

Par conséquent, 𝑉𝑊=30112,1606.

Pour soustraire deux vecteurs, on doit soustraire individuellement leurs composantes correspondantes: 𝑉𝑊=(1;5;2)(3;1;1)=(4;4;3).

Donc, 𝑉𝑊=(4)+(4)+(3)=41.

On obtient ainsi une valeur supérieure à 2,1‎ ‎656 puisque 416,4031.

Par conséquent , 𝑉𝑊 est plus grande que 𝑉𝑊.

Dans cet exemple, nous venons de montrer que la norme de la différence de deux vecteurs n’est pas égale à la différence de leurs normes respectives. Il est important de noter que, bien qu’il soit facile de calculer la somme ou la différence de vecteurs, on ne peut appliquer une méthode similaire pour calculer la somme ou la différence de leurs normes.

Dans le dernier exemple, nous allons voir comment calculer des valeurs manquantes dans un problème vectoriel.

Exemple 7: Résoudre un problème vectoriel impliquant des vecteurs unitaires

Sachant que 𝐴=3𝑖+𝑗+𝑚𝑘 et que 𝐵 est un vecteur unitaire égal à 15𝐴, déterminez les valeurs possibles de 𝑚.

Réponse

Pour multiplier un vecteur quelconque par un nombre réel, on doit multiplier individuellement chacune de ses composantes par ce nombre.

Étant donné que 𝐵=15𝐴, alors 𝐵=153𝑖+𝑗+𝑚𝑘=35𝑖+15𝑗+𝑚5𝑘.

On sait que 𝐵 est un vecteur unitaire, et que tout vecteur unitaire a une norme égale à 1, où 𝐵=𝑥+𝑦+𝑧, si 𝐵=(𝑥;𝑦;𝑧): 35+15+𝑚5=1.

On élève au carré chaque membre de l’équation: 35+15+𝑚5=1;925+125+𝑚25=1.

Puis on multiplie chaque terme par 25 et on regroupe les termes semblables 10+𝑚=25;𝑚=2510;𝑚=15.

En déterminant la racine carrée des deux membres de l’équation, on déduit que, 𝑚 est égal soit à 15, ou à 15.

Nous terminons cette fiche explicative en récapitulant les points clés à retenir.

Points clés

  • Un vecteur unitaire a une norme de 1. Les vecteurs unitaires parallèles aux axes des 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont respectivement notés 𝑖, 𝑗 et 𝑘.
  • Un vecteur dans l’espace 3D peut être exprimer sous forme de composantes: (𝑥;𝑦;𝑧), ou en fonction de ses vecteurs unitaires: 𝑥𝑖+𝑦𝑗+𝑧𝑘.
  • Pour additionner ou soustraire deux vecteurs, on additionne ou soustrait leurs composantes correspondantes.
    Si 𝐴=(𝑥;𝑦;𝑧) et 𝐵=(𝑥;𝑦;𝑧), alors 𝐴+𝐵=(𝑥+𝑥;𝑦+𝑦;𝑧+𝑧).
    Si 𝐴=(𝑥;𝑦;𝑧) et 𝐵=(𝑥;𝑦;𝑧), alors 𝐴𝐵=(𝑥𝑥;𝑦𝑦;𝑧𝑧).
  • Pour multiplier un vecteur quelconque par un nombre réel, on multiplie individuellement chacune de ses composantes par ce nombre. Si 𝐴=(𝑥;𝑦;𝑧), alors 𝑘𝐴=(𝑘𝑥;𝑘𝑦;𝑘𝑧).
  • La norme d’un vecteur est sa longueur et peut être calculée en adaptant le théorème de Pythagore en trois dimensions. Si 𝐴=(𝑥;𝑦;𝑧), alors 𝐴=𝑥+𝑦+𝑧.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.