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Vrai ou faux : Le nombre de colonnes d’une matrice des coefficients dans une équation matricielle représente le nombre de variables.
Pour déterminer si la proposition est vraie ou fausse, commençons par examiner les termes employés. Tout d’abord, rappelons ce qu’est une équation matricielle. Une équation matricielle est une équation de la forme 𝐴𝑋 égale 𝐵, où 𝐴 est la matrice des coefficients, 𝑋 est la matrice des variables et 𝐵 est la matrice des constantes, pour un système d’équations linéaires. Nous remarquons ensuite l’emploi du terme «matrice des coefficients», alors voyons ce qu’il signifie. Supposons que nous ayons un système d’équations linéaires de 𝑚 équations à 𝑛 inconnues, où les 𝑎 et 𝑏 sont des constantes et les 𝑥 sont les inconnues. Alors, la matrice des coefficients 𝐴 est la matrice dont les éléments sont les coefficients de chacune des 𝑛 variables de nos 𝑚 équations linéaires.
Par exemple, la première ligne de la matrice des coefficients est constituée des éléments 𝑎 un un, 𝑎 un deux, jusqu’à 𝑎 un 𝑛. La deuxième ligne a pour éléments 𝑎 deux un, 𝑎 deux deux, jusqu’à 𝑎 deux 𝑛, et ainsi de suite jusqu’à la 𝑚-ième ligne dont les éléments sont 𝑎 𝑚 un, 𝑎 𝑚 deux, jusqu’à 𝑎 𝑚𝑛. La matrice 𝑋 est la matrice colonne dont les éléments sont les 𝑛 variables. C’est-à-dire 𝑥 un jusqu’à 𝑥 𝑛. Si 𝑋 est multiplié par la matrice des coefficients 𝐴, cela nous donne le côté gauche de notre système d’équations. Enfin, la matrice colonne 𝐵, sur le côté droit de notre équation matricielle, est la matrice des constantes ; elle est constituée des éléments 𝑏 un jusqu’à 𝑏 𝑚 et représente le côté droit de notre système d’équations linéaires.
Revenons maintenant à notre proposition, dans laquelle on nous dit que le nombre de colonnes de la matrice des coefficients d’une équation matricielle représente le nombre de variables. En examinant notre matrice des coefficients 𝐴, nous pouvons voir qu’elle comporte 𝑛 colonnes. Notre système d’équations comporte effectivement 𝑛 variables. La proposition est donc vraie. Dans une équation matricielle, le nombre de colonnes de la matrice des coefficients représente le nombre de variables.
