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Fiche explicative de la leçon : Introduction aux systèmes d’équations linéaires Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à exprimer un système d’équations linéaires sous forme d’équation matricielle.

Une des applications les plus importantes des opérations matricielles est la résolution de systèmes d’équations linéaires. Bien que l’on puisse résoudre un système de deux ou trois équations par substitution ou par élimination, ces méthodes deviennent rapidement trop fastidieuses pour un plus grand nombre d’équations et d’inconnues. On pourrait alors construire un programme qui résoudrait ces problèmes pour nous, mais comment programmerait-on un ordinateur pour effectuer de telles opérations?

Lorsque l’on convertit un système d’équations linéaires en une équation matricielle de la forme 𝐴𝑋=𝐵, on peut utiliser ce format pour enregistrer de manière concise la matrice dans un ordinateur. Dans cette fiche explicative, nous n’allons pas aborder la résolution d’équation matricielle grâce à l’informatique mais allons plutôt nous concentrer sur la méthode permettant d’écrire l’équation matricielle équivalente à un système d’équations linéaire donné.

Commençons par le système le plus simple avec deux équations et deux inconnues.

Comment déterminer l’équation matricielle équivalente à un système de deux équations à deux inconnues

Soit un système d’équations 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑒,𝑐𝑥+𝑑𝑦=𝑓 pour des constantes connues 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓. On peut exprimer ce système de deux équations comme une équation matricielle 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑥𝑦=𝑒𝑓.

La matrice 2×2 du membre gauche est appelée la matrice des coefficients, la matrice colonne du membre gauche est appelée la matrice des variables et la matrice colonne du membre droit est appelée la matrice des constantes. On peut exprimer cette équation de manière concise par 𝐴𝑋=𝐵,𝐴 est la matrice des coefficients, 𝑋 est la matrice des variables et 𝐵 est la matrice des constantes.

Le produit matriciel sur le membre gauche de l’équation matricielle donne alors 𝑎𝑥+𝑏𝑦𝑐𝑥+𝑑𝑦=𝑒𝑓.

Poser les coefficients correspondants des matrices des deux membres de cette équation égaux conduit au système de deux équations linéaires initial. Par conséquent, cette équation matricielle est équivalente au système de deux équations linéaires.

On peut voir que les coefficients de 𝑥 et 𝑦 dans le système d’équations deviennent les coefficients de la matrice 2×2, ce qui a donné son nom à la matrice des coefficients. Lors de la définition de la matrice des coefficients, il faut faire attention à l’ordre des coefficients, qui doit correspondre à l’ordre des coefficients dans la matrice des variables. Comme le premier coefficient de la matrice des variables est 𝑥, les coefficients de 𝑥 doivent aller dans la première colonne. On utilise donc la même matrice des coefficients, même si la première équation du système est écrite comme 𝑏𝑦+𝑎𝑥=𝑒. Plutôt que suivre l’ordre des coefficients écrits dans l’équation, il faut considérer devant quelle variable le coefficient est placé.

On remarque également que la matrice colonne sur le membre droit de l’équation matricielle contient les termes constants des membres droits du système d’équations, d’où le nom de matrice des constantes. L’ordre de ces constantes doit être cohérent avec celui des lignes dans la matrice des coefficients. Comme les coefficients de la première équation, 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑒, sont reportés sur la première ligne de la matrice des coefficients, la constante 𝑒 de cette équation doit également apparaître dans la première ligne de la matrice des constantes.

Dans le premier exemple, nous allons déterminer une équation matricielle équivalente à un système de deux équations.

Exemple 1: Exprimer un système de deux équations sous forme d’équation matricielle

Exprimez le système 3𝑥+2𝑦=12,3𝑥+𝑦=7 sous forme d’équation matricielle.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons trouver une équation matricielle équivalente au système de deux équations ci-dessus. On rappelle que le système de deux équations 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑒,𝑐𝑥+𝑑𝑦=𝑓 peut être écrit comme l’équation matricielle 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑥𝑦=𝑒𝑓.

On peut voir que le système de deux équations a bien la forme ci-dessus. Plus précisément:

  • toutes les variables sont sur le membre gauche;
  • toutes les constantes sont sur les membre droit;
  • les variables sont classées par ordre alphabétique.

On peut donc former la matrice des coefficients et la matrice des constantes en prenant les valeurs à l’emplacement correspondant dans le système. Le seul point auquel nous devons faire attention ici est de remarquer que le coefficient de 𝑦 dans la deuxième équation est égal à 1. Pour s’assurer de bien le prendre en compte, on peut noter ce coefficient 1 dans la deuxième équation:3𝑥+2𝑦=12,3𝑥+1𝑦=7.

Les matrices des coefficients et des constantes sont donc respectivement 3231,127.

En substituant ces matrices dans l’équation matricielle, on obtient 3231𝑥𝑦=127.

Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé une équation matricielle à partir d’un système de deux équations sous forme standard.

Définition : Forme standard d’un système d’équations

Un système d’équations est sous forme standard si

  • toutes les variables sont sur le membre gauche;
  • toutes les constantes sont sur le membre droit;
  • les variables sont classées par ordre alphabétique (ou dans l’ordre indiqué dans la matrice des variables).

Il est toujours très utile de commencer un problème avec un système d’équations sous forme standard pour trouver une équation matricielle équivalente. Si un système d’équations n’est pas fourni sous forme standard, la première chose à faire est de le reformuler sous forme standard.

Dans l’exemple suivant, nous allons commencer par écrire un système de deux équations sous forme standard avant de trouver son équation matricielle équivalente.

Exemple 2: Exprimer un système de deux équations sous forme d’équation matricielle

Exprimez le système d’équations 3𝑥24=8𝑦,𝑥=3𝑦 sous forme d’équation matricielle.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons trouver une équation matricielle équivalente au système de deux équations ci-dessus. On rappelle que le système de deux équations 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑒,𝑐𝑥+𝑑𝑦=𝑓 peut être écrit comme l’équation matricielle 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑥𝑦=𝑒𝑓.

Il est important de noter ici que les coefficients de la matrice 𝑎𝑏𝑐𝑑 représentent les coefficients du système dans le même ordre que celui de la matrice des variables 𝑥𝑦. Cela signifie que la première colonne de la matrice des coefficients contient les coefficients de la variable 𝑥, tandis que la deuxième colonne contient les coefficients de la variable 𝑦.

Le système n’est pas dans le bon format car certaines variables apparaissent sur le membre droit de l’équation et certaines constantes apparaissent sur le membre gauche. On rappelle qu’un système d’équation est sous forme standard si:

  • toutes les variables sont sur le membre gauche;
  • toutes les constantes sont sur le membre droit;
  • les variables sont classées par ordre alphabétique.

On commence par réarranger le système sous forme standard:3𝑥+8𝑦=24,𝑥+𝑦=3.

On peut ainsi former la matrice des coefficients et la matrice des constantes en prenant les valeurs à l’emplacement correspondant dans le système d’équations. Il faut simplement faire attention à remarquer que les coefficients de la deuxième équation sont égaux à 1. Pour visualiser cela, on peut noter ces coefficients 1 dans la deuxième équation:3𝑥+8𝑦=24,1𝑥+1𝑦=3.

Les matrices des coefficients et des constantes sont donc respectivement 3811,243.

En substituant les matrices des coefficients et des constantes dans l’équation matricielle, on obtient 3811𝑥𝑦=243.

Maintenant que nous savons écrire une équation matricielle équivalente à un système de deux équations linéaires, étudions comment écrire l’équation matricielle d’un système de plus grande taille. Avant de voir des exemples de systèmes plus grands, nous devons comprendre comment le nombre d’équations et le nombre d’inconnues d’un système d’équations sont reliés à la dimension de la matrice des coefficients.

Les exemples précédents portaient sur des systèmes de deux équations à deux inconnues. Les équations matricielles équivalentes à ces systèmes contenaient alors des matrices des coefficients de dimension 2×2. Pour des systèmes de plus grande taille, la relation suivante s’applique.

Définition : Dimension de la matrice des coefficients

Soit 𝐴𝑋=𝐵 l’équation matricielle équivalente à un système d’équations linéaires. La dimension de la matrice des coefficients 𝐴 est alors définie par ()×().nombredéquationsnombredinconnues

Cela signifie que l’on peut déterminer le nombre d’équations et d’inconnues d’un système d’équations à partir de la dimension de sa matrice des coefficients. De manière équivalente, pour un système de 𝑚 équations linéaires à 𝑛 inconnues, la dimension de la matrice des coefficients est 𝑚×𝑛. On en déduit de plus que puisqu’il y a 𝑛 inconnues, la dimension de la matrice des variables 𝑋 est 𝑛×1. Enfin, comme il y a 𝑚 équations et donc 𝑚 constantes sur les membres droits, la dimension de la matrice des constantes 𝐵 est 𝑚×1. En résumé, les dimensions des matrices dans l’équation 𝐴𝑋=𝐵 sont:(𝑚×𝑛)×(𝑛×1)=(𝑚×1).

Et cela confirme que le produit matriciel est bien défini. Remarquez que 𝑋 et 𝐵 sont toujours des matrices colonnes.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer le nombre d’équations d’un système à partir de la dimension de sa matrice des coefficients.

Exemple 3: Déterminer le nombre d’équations d’un système

On considère un système d’équations linéaires exprimé sous forme matricielle par 𝐴𝑋=𝐵. Sachant que la dimension de la matrice 𝐴 est 𝑚×𝑛 et que la dimension de la matrice 𝑋 est 𝑛×1, combien d’équations le système possède-t-il?

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer le nombre d’équations d’un système pour lequel nous connaissons la dimension des matrices de l’équation matricielle équivalente. Dans l’équation matricielle 𝐴𝑋=𝐵, on sait que 𝐴 est la matrice des coefficients, 𝑋 est la matrice des variables et 𝐵 est la matrice des constantes. On rappelle que la dimension de la matrice des coefficients d’une équation matricielle est définie par ()×().nombredéquationsnombredinconnues

On sait que la matrice des coefficients 𝐴 est de dimension 𝑚×𝑛. Par conséquent, il y a 𝑚 équations dans le système équivalent.

Dans l’exemple suivant, nous allons effectuer un produit matriciel pour identifier la matrice des coefficients à partir d’une équation matricielle.

Exemple 4: Déterminer une matrice inconnue dans une équation matricielle

Calculez la matrice 𝐴 telle que 𝐴𝑥𝑥𝑥𝑥=𝑥+3𝑥+2𝑥2𝑥+𝑥6𝑥𝑥+3𝑥+𝑥.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons calculer une matrice 𝐴 vérifiant l’équation matricielle ci-dessus. Commençons par déterminer la dimension de la matrice. On sait que pour pouvoir multiplier deux matrices, le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la deuxième matrice. Comme la deuxième matrice a 4 lignes, la matrice 𝐴 doit avoir 4 colonnes.

On rappelle que multiplier une matrice 𝑚×𝑛 par une matrice 𝑛×𝑝 donne une matrice 𝑚×𝑝. La dimension de la matrice du membre droit de l’équation est 4×1. Cela nous donne 𝑚=4. Avec le nombre de colonnes trouvé plus tôt, on conclut que la dimension de la matrice 𝐴 est 4×4.

On peut écrire 𝑥𝑥𝑥𝑥=𝑥+3𝑥+2𝑥2𝑥+𝑥6𝑥𝑥+3𝑥+𝑥.

Pour multiplier la matrice 4×4 à une matrice colonne, on doit multiplier chaque ligne de la matrice 4×4 par la matrice colonne. Pour multiplier une ligne par la matrice colonne, on multiplie les coefficients correspondants de chaque matrice et on additionne leurs produits. On peut identifier les coefficients correspondants de la première ligne à l’aide de couleurs:𝑥𝑥𝑥𝑥=𝑥+3𝑥+2𝑥2𝑥+𝑥6𝑥𝑥+3𝑥+𝑥.

En multipliant la première ligne par la colonne, on obtient 𝑥+𝑥+𝑥+𝑥=𝑥+3𝑥+2𝑥.

On cherche alors les coefficients des termes correspondants des deux membres de l’équation. Sur le membre droit, le coefficient de 𝑥 n’est cependant pas indiqué et il n’y a pas non plus de terme en fonction de 𝑥. Cela signifie que le coefficient de 𝑥 est 1 et que le coefficient de 𝑥 est 0. On peut tout de même écrire ces coefficients dans l’équation 𝑥+𝑥+𝑥+𝑥=1𝑥+3𝑥+2𝑥+0𝑥.

Cela nous indique les coefficients de la première ligne de la matrice 𝐴:𝐴=1320.

On peut répéter ce raisonnement pour remplir toutes les lignes de la matrice 𝐴. La multiplication de la deuxième ligne de 𝐴 avec la colonne donne 2𝑥+𝑥. On doit réorganiser cette expression pour que 𝑥 soit écrit en premier et on ajoute de plus des zéros comme coefficients aux termes qui ne figurent pas dans l’expression. On obtient ainsi 1𝑥+0𝑥+2𝑥+0𝑥.

Cela nous donne la deuxième ligne de 𝐴:𝐴=13201020.

En multipliant les troisième et quatrième lignes par la matrice colonne, on obtient respectivement 0𝑥+0𝑥+6𝑥+0𝑥,1𝑥+3𝑥+0𝑥+1𝑥.

La matrice finale est donc 𝐴=1320102000601301.

Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé la matrice 𝐴 à partir d’une équation matricielle en effectuant le produit matriciel en sens inverse. Ce raisonnement peut être utilisé pour écrire une équation matricielle à partir d’un système d’équations linéaires. La matrice 𝐴 de cet exemple était une matrice des coefficients. Nous avons pu trouver cette matrice des coefficients en réarrangeant les termes des expressions dans le même ordre que celui de la matrice des variables et en reportant les coefficients des variables dans les coefficients de la matrice.

Dans l’exemple suivant, nous allons trouver un système d’équations équivalent à une équation matricielle.

Exemple 5: Identifier un système d’équations à partir d’une équation matricielle

Déterminez le système d’équations qui pourrait être résolu grâce à l’équation matricielle 124101348𝑝𝑞𝑟=11610.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons trouver un système d’équations équivalent à l’équation matricielle ci-dessus. On peut le faire en calculant le produit matriciel du membre gauche de l’équation. Avant de multiplier les matrices, vérifions si leur produit est défini. On rappelle que pour multiplier deux matrices, le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la deuxième matrice. On peut voir que la première matrice sur le membre gauche a 3 colonnes et que la matrice des variables a 3 lignes. Par conséquent, leur produit est bien défini.

On calcule alors le produit matriciel:124101348𝑝𝑞𝑟=𝑝2𝑞4𝑟𝑝+𝑟3𝑝+4𝑞8𝑟.

En substituant cette matrice au membre gauche de l’équation donnée, on a 𝑝2𝑞4𝑟𝑝+𝑟3𝑝+4𝑞8𝑟=11610.

On rappelle que deux matrices sont égales si leurs coefficients correspondants sont égaux. On obtient ainsi le système d’équations:𝑝2𝑞4𝑟=11,𝑝+𝑟=6,3𝑝+4𝑞8𝑟=10.

Dans l’exemple précédent, nous avons déterminé un système d’équations équivalent à une équation matricielle donnée. Le processus inverse est également possible et nous donne une méthode pour écrire une équation matricielle à partir d’un système d’équations donné. Nous allons voir que le processus est très similaire à celui que nous avons utilisé pour écrire une équation matricielle équivalente à un système de deux équations à deux inconnues.

Comment écrire une équation matricielle équivalente à un système de 𝑚 équations

Soit le système de 𝑚 équations linéaires à 𝑛 inconnues 𝑥,𝑥,,𝑥 donné par 𝑎𝑥+𝑎𝑥𝑎𝑥=𝑏,𝑎𝑥+𝑎𝑥𝑎𝑥=𝑏,𝑎𝑥+𝑎𝑥𝑎𝑥=𝑏.

Ce système d’équations peut être exprimé par l’équation matricielle:𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥𝑥=𝑏𝑏𝑏.

On peut exprimer cette équation de manière plus concise par 𝐴𝑋=𝐵,𝐴 est la matrice des coefficients, 𝑋 est la matrice des variables et 𝐵 est la matrice des constantes.

De la même manière que pour le système de deux équations, il est utile de commencer par écrire le système d’équations sous forme standard en vérifiant que:

  • toutes les variables sont sur le membre gauche;
  • toutes les constantes sont sur le membre droit;
  • les variables sont classées dans l’ordre indiqué par la matrice des variables.

Il peut également être utile d’aligner verticalement les termes correspondant à la même variable. Considérons par exemple le système d’équations 𝑥2𝑦+3𝑤=1,3𝑥+11𝑦+5𝑧7𝑤=0,7𝑥24𝑦11𝑧+25𝑤=3.

On peut voir que ces équations sont sous forme standard si la matrice des variables est 𝑥𝑦𝑧𝑤. On observe de plus un espace dans la première équation car il n’y a pas de terme en 𝑧. Cela signifie que le coefficient de 𝑧 est nul. Cela nous amène à l’équation matricielle:1203311577241125𝑥𝑦𝑧𝑤=103.

Par conséquent, une fois que l’on a écrit le système d’équations linéaires sous forme standard et que l’on a aligné les termes verticalement, il est très simple d’écrire une équation matricielle équivalente au système.

Dans le dernier exemple, nous allons déterminer l’équation matricielle équivalente à un système de trois équations linéaires.

Exemple 6: Exprimer un système d’équations sous forme d’équation matricielle

Exprimez le système d’équations suivant sous la forme d’une équation matricielle:7𝑥3𝑦+6𝑧=5,5𝑥2𝑦+2𝑧=11,2𝑥3𝑦+8𝑧=10.

Réponse

Avant de commencer, nous remarquons que ce système a 3 équations et 3 variables:𝑥, 𝑦 et 𝑧. Cela signifie que la matrice des coefficients sera de dimension 3×3. Notre objectif est de trouver une équation matricielle de la forme 𝑥𝑦𝑧=, qui reproduit le système d’équations linéaires ci-dessus.

On commence avec la première des trois équations:7𝑥3𝑦+6𝑧=5.

En utilisant la définition du produit matriciel, on peut écrire sur la première ligne de la matrice des coefficients comme suit:736𝑥𝑦𝑧=5.

Il nous reste alors à écrire les deuxième et troisième équations dans la matrice des coefficients. La deuxième équation est 5𝑥2𝑦+2𝑧=11, que l’on peut écrire dans la deuxième ligne de la matrice des coefficients, sans bien sûr modifier la première ligne. Cela nous donne 736522𝑥𝑦𝑧=511.

Il reste enfin la troisième équation, 2𝑥3𝑦+8𝑧=10, que l’on peut écrire dans la troisième ligne de la matrice des coefficients sans modifier les coefficients des deux lignes supérieures. On obtient 736522238𝑥𝑦𝑧=51110.

Il s’agit de la représentation complète du système d’équations linéaires sous forme matricielle.

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Tout système d’équations a une équation matricielle équivalente de la forme 𝐴𝑋=𝐵. Dans cette équation, 𝐴 est la matrice des coefficients, 𝑋 est la matrice des variables et 𝐵 est la matrice des constantes.
  • Un système d’équations est sous forme standard si:
    • toutes les variables sont sur le membre gauche;
    • toutes les constantes sont sur le membre droit;
    • les variables sont classées par ordre alphabétique (ou dans l’ordre indiqué dans la matrice des variables).
  • La dimension de la matrice des coefficients d’un système d’équations équivalent est définie par ()×().nombredéquationsnombredinconnues
  • Soit un système de 𝑚 équations linéaires à 𝑛 inconnues 𝑥,𝑥,,𝑥 défini par 𝑎𝑥+𝑎𝑥𝑎𝑥=𝑏,𝑎𝑥+𝑎𝑥𝑎𝑥=𝑏,𝑎𝑥+𝑎𝑥𝑎𝑥=𝑏. Ce système d’équations peut être écrit comme l’équation matricielle 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥𝑥=𝑏𝑏𝑏.

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