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Vidéo de la leçon : Introduction aux systèmes d’équations linéaires Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à exprimer un système d'équations linéaires sous forme d'une équation matricielle.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à exprimer un système d'équations linéaires sous forme d'une équation matricielle. Nous allons d’abord rappeler le vocabulaire dont nous aurons besoin, notamment ce que signifie linéaire pour une équation ou un système d’équations. Puis nous verrons comment exprimer de tels systèmes sous la forme d’une équation matricielle avec quelques exemples.

Que veut-on donc dire par équation linéaire ? L’équation 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏 est une équation linéaire et décrit une droite. La pente de la droite est la constante 𝑚, c’est le coefficient directeur, et son ordonnée à l’origine est la constante 𝑏. C’est en ce point que la droite coupe l’axe des ordonnées. L’équation 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏 décrit donc une droite.

Mais qu’est-ce qui rend cette équation linéaire ? Eh bien, c’est que le degré de l’équation, qui est l’exposant le plus élevé de la variable 𝑥, est un. Il n’y a pas de 𝑥 au carré, 𝑥 au cube ou d’autres exposants supérieurs de 𝑥. Une équation linéaire est donc une équation où l’exposant le plus élevé de la ou des variables est égal à un. En deux dimensions, elle décrit une droite. Si on étend cette notion à des dimensions supérieures, par exemple trois, on obtient une équation de la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 égale 𝑑, où 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont des constantes. Il s’agit d’une équation linéaire représentant un plan en trois dimensions.

Et encore une fois, ce qui rend cette équation linéaire, est que chacune des variables est de degré un. C’est-à-dire que l’exposant le plus élevé de l’équation est un. Il n’y a pas non plus de termes où les variables sont multipliées entre elles, tels que 𝑥 𝑦, 𝑧 𝑥 ou 𝑦 𝑧. On peut donc dire qu’une équation linéaire décrit une droite ou un plan. Et un système d’équations linéaires est un ensemble de 𝑚 équations à 𝑛 variables, avec des coefficients constants 𝑎 𝑖𝑗 où 𝑖 va de un à 𝑚 et 𝑗 va de un à 𝑛, et un ensemble de constantes 𝑏 𝑖. Notre objectif est alors d’écrire ce système d’équations en fonction de matrices.

Un système d’équations linéaires peut avoir zéro, une ou plusieurs solutions. Si les variables sont par exemple 𝑥, 𝑦 et 𝑧 et que nous avons ce système de trois équations en fonction de ces trois variables, la solution à ce système est 𝑥 égale un, 𝑦 égale moins un et 𝑧 égale un. Cela signifie que ces trois valeurs vérifient les trois équations. Donc, si on remplace 𝑥 par un, 𝑦 par moins un et 𝑧 par un dans chacune de ces équations, l’équation un donnera moins un, l’équation deux donnera cinq et l’équation trois donnera six. Cela signifie de plus que les trois plans décrits par les équations un, deux et trois se coupent en ce point de coordonnées un, moins un, un.

Lorsque l’on est confronté à un système d’équations linéaires, on souhaite donc essentiellement savoir s’il existe des solutions, si oui, combien et comment les trouver. Et puisqu’il est possible d’utiliser des matrices pour répondre à ces questions, il est très utile de savoir exprimer des systèmes d’équations linéaires sous forme d’équations matricielles et inversement. Dans les exemples qui vont suivre, nous allons nous familiariser avec cette technique. Voyons d’abord un exemple de système de deux équations à deux variables.

Exprimez le système d’équations trois 𝑥 plus deux 𝑦 égale 12 et trois 𝑥 plus 𝑦 égale sept sous forme d’équation matricielle.

Nous avons donc un système de deux équations à deux variables et nous devons l’exprimer sous forme matricielle. Cela implique de séparer les coefficients des variables dans une matrice, les variables elles-mêmes dans une autre, et les constantes à droite dans une troisième matrice. Et comme il y a deux équations et deux variables 𝑥 et 𝑦, la matrice des coefficients sera une matrice deux fois deux, c’est-à-dire avec deux lignes et deux colonnes. La matrice des variables sera une matrice colonne deux fois un et la matrice des constantes sera également une matrice colonne deux fois un.

Il est important de noter que nous devons pouvoir reformer les équations d’origine en calculant le produit matriciel du membre gauche. Et on rappelle que multiplier une matrice avec 𝑚 lignes et 𝑛 colonnes par une matrice avec 𝑛 lignes et 𝑝 colonnes donne une matrice avec 𝑚 lignes et 𝑝 colonnes. De plus, pour que le produit matriciel soit défini, le nombre de colonnes 𝑛 de la première matrice doit être le même que le nombre de lignes de la deuxième matrice.

Nous souhaitons donc maintenant trouver l’équation matricielle sous cette forme qui reproduit le système d’équations d’origine lorsque l’on calcule le produit matriciel. Regardons donc de plus près nos équations. Avant de commencer à remplir les coefficients dans les matrices, nous devons nous assurer que les variables du système d’équations sont alignées, avec les 𝑥 les uns sous les autres et les 𝑦 les uns sous les autres. Lorsque nous allons remplir les matrices, nous allons en effet simplement lire les coefficients des 𝑥 et des 𝑦, et les constantes.

Les coefficients de la première équation, l’équation un, sont trois et deux avec la constante 12 à droite donc trois et deux forment la première ligne de la matrice des coefficients et le 12 est le premier coefficient de la matrice sur le membre droit. De même, les coefficients de la deuxième ligne de la matrice des coefficients sont les coefficients de la deuxième équation, l’équation deux, c’est-à-dire trois et un. Et le deuxième coefficient de la matrice des constantes sur le membre droit est sept. Cette équation matricielle est la représentation matricielle complète du système d’équations trois 𝑥 plus deux 𝑦 égale 12 et trois 𝑥 plus 𝑦 égale sept.

En calculant le produit matriciel du membre gauche de cette équation, on obtient trois 𝑥 plus deux 𝑦 égale 12, qui est notre première équation, et trois 𝑥 plus 𝑦 égale sept, qui est notre deuxième équation. Et nous revenons ainsi à notre système d’équations linéaires initial.

Voyons maintenant un exemple un peu moins simple.

Exprimez le système d’équations trois 𝑥 moins 24 égale moins huit 𝑦 et 𝑥 égale trois moins 𝑦 sous forme d’équation matricielle.

Nous avons le système d’équations linéaires trois 𝑥 moins 24 égale moins huit 𝑦 et 𝑥 égale trois moins 𝑦, que nous sommes invités à exprimer sous forme d’équation matricielle. Puisqu’il y a deux équations à deux inconnues 𝑥 et 𝑦, notre résultat devrait être une équation matricielle de la forme s’affichant à l’écran, c’est-à-dire une matrice des coefficients deux fois deux, une matrice des variables deux fois un et une matrice des constantes deux fois un, en rappelant qu’une matrice 𝑚 fois 𝑛 a 𝑚 lignes et 𝑛 colonnes. Nous devrions donc avoir une matrice deux fois deux multipliée par une matrice deux fois un égale une matrice deux fois un.

Rappelez-vous que pour que le produit matriciel soit défini, une matrice 𝑚 fois 𝑛 multipliée par une matrice 𝑛 fois 𝑝 doit être égale à une matrice 𝑚 fois 𝑝. Le nombre de colonnes de la première matrice et le nombre de lignes de la seconde doivent être égaux. Et la matrice résultante doit avoir le nombre de lignes de la première matrice et le nombre de colonnes de la seconde matrice. Cela fonctionne dans notre cas puisque 𝑛 est égal à deux, 𝑚 est égal à deux et 𝑝 est égal à un. Notre résultat sera donc une matrice colonnes deux fois un.

Avant de compléter les matrices, nous devons cependant nous assurer que le système d’équations nous permet de lire facilement les coefficients. Cela signifie que les 𝑥 doivent être alignés, que les 𝑦 doivent être alignés et que les constantes doivent être sur le membre droit. Comme nous pouvons le voir ici, l’équation un, par exemple, est trois 𝑥 moins 24 égale moins huit 𝑦. Nous devons donc déplacer le terme en 𝑦 sur le membre gauche et le terme constant sur le membre droit. En ajoutant huit 𝑦 plus 24 aux deux membres, l’équation un devient ainsi trois 𝑥 plus huit 𝑦 est égal à 24.

De même, pour la deuxième équation, nous devons déplacer le terme en 𝑦 sur le membre gauche. Ajouter 𝑦 aux deux membres nous donne alors 𝑥 plus 𝑦 égale trois. On voit à présent que les termes en 𝑥 et en 𝑦 sur le membre gauche et les constantes sur le membre droit sont alignés verticalement. Faisons donc un peu de place et commençons à remplir notre équation matricielle.

Les coefficients de 𝑥 et 𝑦 de la première équation, soit trois et huit, forment la première ligne de la matrice des coefficients deux fois deux. Et la constante 24 du membre droit est le premier coefficient de la matrice colonnes du membre droit. Les coefficients de 𝑥 et 𝑦 de la deuxième équation, qui sont tous les deux un, forment la deuxième ligne de la matrice des coefficients. Et la constante trois à droite de l’équation deux est le deuxième coefficient de la matrice colonne de droite. On voit donc qu’en alignant les variables 𝑥 et y, il nous suffit simplement de lire les coefficients pour remplir les matrices.

Et cette équation matricielle est une représentation complète du système d’équations trois 𝑥 plus huit 𝑦 égale 24 et 𝑥 plus 𝑦 égale trois, ou de manière équivalente, trois 𝑥 moins 24 égale moins huit 𝑦 et 𝑥 égale trois moins 𝑦. Si nous calculions le produit matriciel du membre gauche de notre équation matricielle, nous obtiendrions trois 𝑥 plus huit 𝑦 égale 24, qui correspond à la première équation, et 𝑥 plus 𝑦 égale trois, qui correspond à la deuxième équation.

On peut généraliser ce que nous avons effectué dans nos exemples en dimension deux fois deux avec le théorème suivant. Un système de 𝑚 équations linéaires en fonction des variables 𝑥 un à 𝑥 𝑛 de coefficients 𝑎 𝑖𝑗 et de constantes 𝑏 𝑖, pour 𝑖 allant de un à 𝑚 et 𝑗 allant de un à 𝑛, peut être écrit de manière équivalente par l’équation matricielle affichée, où la matrice des coefficients est de dimension 𝑚 fois 𝑛, la matrice des variables est de dimension 𝑛 fois un et la matrice de constantes sur le membre droit est de dimension 𝑚 fois un. Lorsque l’on convertit un système de 𝑚 équations à 𝑛 variables, il est important que les dimensions des matrices de l’équation matricielle respectent ce modèle. Voyons maintenant comment cela fonctionne pour un système de trois équations à trois inconnues. Nous essaierons ensuite d’effectuer ce processus dans l’autre sens.

Exprimez le système d’équations ci-dessous sous la forme d’une équation matricielle. Sept 𝑥 moins trois 𝑦 plus six 𝑧 égale cinq. Cinq 𝑥 moins deux 𝑦 plus deux 𝑧 égale 11. Deux 𝑥 moins trois 𝑦 plus huit 𝑧 égale 10.

Puisque nous essayons d’exprimer un système de trois équations à trois variables 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sous forme matricielle, la matrice des coefficients sera de dimension trois fois trois. L’équation matricielle aura la forme indiquée, où la matrice tout à gauche est la matrice des coefficients. Elle est multipliée par la matrice colonne des variables. Et sur le membre droit, nous avons une matrice colonne des constantes. En calculant le produit matriciel du membre gauche, on doit retrouver le système d’équations d’origine.

La première chose que nous pouvons faire est de vérifier que les variables du système d’équations sont alignées verticalement. Cela nous permet alors de lire facilement les coefficients. Dans ce cas, les variables 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont bien alignées verticalement dans les trois équations, tout comme les constantes sur le membre droit. Nous sommes donc prêts à commencer.

Dans la première équation, l’équation un, les coefficients de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 - c’est-à-dire sept, moins trois et six - forment la première ligne de la matrice des coefficients. Et le cinq à droite est le premier coefficient de la colonne de constantes. De même, les coefficients de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 dans la deuxième équation, l’équation deux - soit cinq, moins deux et deux - forment la deuxième ligne de la matrice des coefficients. Et la constante de droite 11 est le deuxième coefficient de la matrice colonne de droite. Enfin, les coefficients de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 dans la troisième équation, l’équation trois - c’est-à-dire deux, moins trois et huit - forment la troisième ligne de la matrice des coefficients. Et la dernière constante du membre droit 10 est le troisième coefficient de la matrice colonne du membre droit.

Il s’agit d’une représentation matricielle complète du système d’équations linéaires sept 𝑥 moins trois 𝑦 plus six 𝑧 égale cinq, cinq 𝑥 moins deux 𝑦 plus deux 𝑧 égale 11 et deux 𝑥 moins trois 𝑦 plus huit 𝑧 égale 10. Remarquez les dimensions des matrices : nous avons une matrice trois fois trois multipliée par une matrice trois fois un égale une matrice trois fois un. Il est important que les dimensions soient correctes car on rappelle que le produit matriciel est défini si une matrice 𝑚 fois n multipliée par une matrice 𝑛 fois 𝑝 est égale à une matrice m fois 𝑝. Le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde. Et la dimension de la matrice résultante est le nombre de lignes de la première matrice fois le nombre de colonnes de la seconde.

Dans ce cas, 𝑚 égale trois, 𝑛 égale trois et 𝑝 égale un. Et si on calcule le produit matriciel du membre gauche, on obtient bien le système d’équations d’origine.

Jusqu’à présent, nous avons vu comment exprimer des systèmes d’équations linéaires sous forme d’équation matricielle. La matrice qui nous intéresse le plus est la matrice des coefficients car c’est elle qui nous permet de déterminer, entre autres, si le système admet des solutions et si oui, combien. Dans le prochain exemple, nous allons partir d’une équation matricielle et la convertir en un système d’équations linéaires.

Formulez le système d’équations qui pourrait être résolu grâce à l’équation matricielle ci-dessous, c’est-à-dire la matrice trois fois trois de coefficients un, moins deux, moins quatre, un, zéro, un, trois, quatre, moins huit multipliée par la matrice colonne 𝑝, 𝑞, 𝑟 égale la matrice colonne 11, six, 10.

Nous avons une équation matricielle avec une matrice des coefficients de dimension trois fois trois et une matrice colonne des variables trois fois un sur le membre gauche, et une matrice colonne des constantes trois fois un sur le membre droit. Comme la matrice des coefficients a trois lignes, cela signifie que nous aurons trois équations dans notre système d’équations. Et puisque la matrice des coefficients a également trois colonnes, cela confirme que le système aura trois variables, ce que nous pouvons voir dans la matrice colonne des variables avec les variables 𝑝, 𝑞 et 𝑟.

Les coefficients de chaque ligne de la matrice trois fois trois correspondent en fait aux coefficients des variables 𝑝, 𝑞 et 𝑟 d’une des équations. Et tout ce que nous devons faire pour former la première équation est de calculer la première ligne fois la colonne du produit matriciel, c’est-à-dire un fois 𝑝 plus moins deux fois 𝑞 plus moins quatre fois 𝑟. Et cela sera égal à la constante 11 de la première ligne de la matrice du membre droit. Et donc notre première équation est 𝑝 moins deux 𝑞 moins quatre 𝑟 égale 11.

Faisons maintenant la même chose avec la deuxième ligne de la matrice des coefficients pour la deuxième équation. Dans ce cas, on a un fois 𝑝 plus zéro fois 𝑞 plus un fois 𝑟 égale six. Soit 𝑝 plus 𝑟 égale six. Et enfin, avec la troisième ligne de la matrice des coefficients, on a trois fois 𝑝 plus quatre fois 𝑞 plus moins huit fois 𝑟 est égal à 10 sur le membre droit. C’est-à-dire, trois 𝑝 plus quatre 𝑞 moins huit 𝑟 égale 10.

Avec ces trois équations, nous pouvons donc écrire le système d’équations qui pourrait être résolu en utilisant l’équation matricielle initiale. Il s’agit de 𝑝 moins deux 𝑞 moins quatre 𝑟 égale 11, 𝑝 plus 𝑟 égale six, et trois 𝑝 plus quatre 𝑞 moins huit 𝑟 égale 10. Nous pouvons vérifier que nous avons le bon système d’équations en comparant les coefficients des variables de chaque équation avec la ligne correspondante de la matrice des coefficients. Par exemple, dans la première équation, les coefficients de 𝑝, 𝑞 et 𝑟 sont respectivement un, moins deux et moins quatre, ce qui correspond aux coefficients de la première ligne de la matrice des coefficients et à la constante 11 du membre droit. Et on peut faire la même chose pour les deux autres équations.

Nous allons terminer notre vidéo sur les systèmes d’équations linéaires en rappelant quelques points clés. Pour un système d’équations linéaires, on commence par l’écrire avec les variables alignées verticalement. Les coefficients 𝑎 𝑖𝑗 des variables de chaque équation forment alors une ligne de la matrice des coefficients. L’équation matricielle est ensuite de la forme donnée, où les coefficients forment une matrice 𝑚 fois 𝑛 multipliée par une matrice des variables 𝑛 fois un qui est égale à une matrice des constantes 𝑚 fois un.

On peut alors déterminer des informations telles que le nombre de solutions au système à partir de la seule matrice des coefficients. Et si on calcule le produit matriciel du membre gauche de l’équation matricielle, on retrouve le système d’équations linéaires d’origine.

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