Transcription de la vidéo
Laquelle des fonctions suivantes n’est pas une fonction injective sur l’intervalle gauche-fermé, droit-ouvert de zéro à plus l’infini ?
On nous donne cinq choix à considérer. L’option (A), 𝑓 de 𝑥 est égal à la valeur absolue de 𝑥. L’option (B), 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré. L’option (C), 𝑓 de 𝑥 est égal à 10. L’option (D), 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 plus quatre. L’option (E), 𝑓 de 𝑥 est égal à un sur 𝑥 plus un. Nous devons noter que quatre de ces fonctions sont injectives sur l’intervalle de zéro à plus l’infini. Un seul choix n’est pas une fonction injective sur cet intervalle. Nous recherchons cette fonction.
Nous rappelons que cet intervalle signifie que nous prenons en compte tous les nombres réels positifs en incluant zéro en raison du crochet fermé que nous avons autour de zéro. Nous pouvons parfois exprimer cet intervalle en utilisant d’autres notations. Au lieu du crochet s’ouvrant vers l’extérieur autour de plus l’infini, nous pouvons avoir une parenthèse ronde ou nous pouvons avoir cet intervalle exprimé comme une inégalité composée. Nous rappelons qu’une fonction injective, est définie comme une fonction où chaque élément de l’ensemble image correspond exactement à un élément de l’ensemble de définition. En d’autres termes, exactement une valeur d’entrée est associée à chaque valeur de sortie.
Dans cet exemple, nous utilisons la variable 𝑥 pour représenter nos valeurs d’entrée, qui constituent l’ensemble de définition de chaque fonction. Nous utilisons 𝑓 de 𝑥 pour représenter les valeurs de sortie, qui constituent l’ensemble image des fonctions. Si on nous donnait un graphique pour chacune de ces cinq fonctions ou si nous voulions prendre le temps de dessiner les graphiques nous-mêmes, nous pourrions utiliser le test de la ligne horizontale. Nous rappelons qu’une fonction est injective si chaque droite horizontale coupe le graphique d’une fonction au plus une fois.
Par conséquent, nous pouvons utiliser le test de la ligne horizontale pour montrer qu’une fonction n’est pas injective si nous voyons une ligne horizontale qui traverse le graphique en plus d’un point. Par exemple, si nous regardions la courbe de 𝑓 de 𝑥 est égal à la valeur absolue de 𝑥, qui est une courbe en forme de V avec le sommet en zéro, zéro, nous verrions que ce n’est pas une fonction injective. En effet, toute ligne horizontale au-dessus de l’axe des 𝑥 coupe le graphique en deux points. Cependant, on nous demande seulement de considérer cette fonction sur l’intervalle fermé à gauche et ouvert à droite de zéro à plus l’infini, ce qui nous laisse avec la partie en bleue du graphique. Cette fonction restreinte réussit le test de la ligne horizontale. Nous concluons que la fonction valeur absolue est injective sur l’intervalle de zéro à plus l’infini.
Disons que nous n’étions pas intéressés par la représentation graphique de ces cinq fonctions. Nous pouvons utiliser une approche algébrique pour vérifier si ces fonctions sont injectives. Tout d’abord, nous rappelons que si deux valeurs d’entrée différentes, appelons-les 𝑥 indice un et 𝑥 indice deux, vérifient l’équation 𝑓 de 𝑥 indice un est égal à 𝑓 de 𝑥 indice deux, alors 𝑓 n’est pas une fonction injective. Nous pouvons dire que 𝑓 est une fonction injective si 𝑓 de 𝑥 indice un est égal à 𝑓 de 𝑥 indice deux implique que 𝑥 indice un est égal à 𝑥 indice deux. En d’autres termes, si nous avons évalué une fonction deux fois et obtenu la même valeur de sortie, cela signifie que nous devons avoir utilisé la même valeur d’entrée à chaque fois. Nous utiliserons ce critère pour vérifier chacune des cinq fonctions qui nous ont été données afin de voir si elles sont injectives.
Nous allons maintenant faire de la place pour vérifier algébriquement que l’option (A) est une fonction injective. Nous commençons par deux éléments arbitraires du domaine, 𝑥 indice un et 𝑥 indice deux. Chacun est supérieur ou égal à zéro. 𝑓 de 𝑥 indice un est égal à 𝑓 de 𝑥 indice deux. Si nous pouvons démontrer clairement que 𝑥 indice un est égal à 𝑥 indice deux dans ce cas, alors notre fonction est injective. Cependant, si nous démontrons que 𝑥 indice un n’est pas égal à 𝑥 indice deux, dans ces mêmes conditions, la fonction considérée n’est pas injective.
Puisque nous considérons la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à la valeur absolue de 𝑥, nous pouvons exprimer le côté gauche de notre équation comme valeur absolue de 𝑥 indice un et le côté droit de notre équation comme valeur absolue de 𝑥 indice deux. En considérant que 𝑥 indice un et 𝑥 indice deux sont des valeurs non négatives, la valeur absolue de 𝑥 indice un est 𝑥 indice un et la valeur absolue de 𝑥 indice deux est égale à 𝑥 indice deux. Par conséquent, 𝑥 indice un est égal à 𝑥 indice deux. Cela vérifie que notre première option est une fonction injective.
Maintenant, passons à l’option (B), où 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré au lieu de la valeur absolue de 𝑥. Cela signifie que le côté gauche de notre équation est 𝑥 indice un au carré et que le côté droit de notre équation est 𝑥 indice deux au carré. Afin d’examiner comment 𝑥 indice un se rapporte à 𝑥 indice deux, nous allons réorganiser cette équation de sorte qu’elle soit factorisable. En soustrayant 𝑥 indice deux au carré de chaque côté, nous avons maintenant 𝑥 indice un au carré moins 𝑥 indice deux au carré. Nous reconnaissons cela comme l’identité remarquable de la différence de deux carrés.
Nous rappelons que 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré a les facteurs suivants : 𝑎 moins 𝑏 fois 𝑎 plus 𝑏. Nous utiliserons ce modèle de factorisation pour factoriser le côté gauche de notre équation. Par conséquent, 𝑥 indice un moins 𝑥 indice deux fois 𝑥 indice un plus 𝑥 indice deux est égal à zéro. Pour que cette équation soit vraie, nous devons avoir 𝑥 indice un moins 𝑥 indice deux est égal à zéro ou 𝑥 indice un plus 𝑥 indice deux est égal à zéro. En ajoutant 𝑥 indice deux aux deux côtés de la première équation, nous avons 𝑥 indice un est égal à 𝑥 indice deux. Puisque 𝑥 indice un et 𝑥 indice deux sont tous deux positifs, la deuxième équation n’est possible que si 𝑥 indice un et 𝑥 indice deux sont égaux à zéro. Ainsi, dans les deux cas, nous devons avoir 𝑥 indice un égal à 𝑥 indice deux. Par conséquent, 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré est une fonction injective sur l’intervalle de zéro à plus l’infini.
L’option suivante est une fonction constante : 𝑓 de 𝑥 est égal à 10. Une fonction constante associe toutes les différentes entrées à la même sortie. Ainsi, 𝑓 de 𝑥 indice un sera toujours égal à 𝑓 de 𝑥 indice deux. Seulement, nous voulons savoir si cette égalité implique que 𝑥 indice un est égal à 𝑥 indice deux. À titre d’exemple, considérons la situation où 𝑥 indice un est égal à zéro et 𝑥 indice deux est égal à un. Ensuite, nous voyons que 𝑓 de zéro est égal à 10 et que 𝑓 de un est égal à 10. Cet exemple illustre le fait que deux entrées différentes correspondent à la même sortie. Il est vrai que 𝑓 de 𝑥 indice un est toujours égal à 𝑓 de 𝑥 indice deux. Cependant, 𝑥 indice un n’était pas égal à 𝑥 indice deux. Par conséquent, cette fonction constante n’est pas injective.
Il semble que nous ayons trouvé notre réponse. Pour être sûr, vérifions rapidement les deux dernières options. Sachant que 𝑓 de 𝑥 indice un est égal à 𝑓 de 𝑥 indice deux et que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 plus quatre, cela nous conduit à l’équation deux 𝑥 indice un plus quatre est égal à deux 𝑥 indice deux plus quatre, puis en soustrayant quatre de chaque côté de l’équation et en divisant par deux, nous avons 𝑥 indice un est égal à 𝑥 indice deux. Par conséquent, l’option (D) est une fonction injective.
Pour vérifier la dernière option, nous supposons à nouveau que 𝑓 de 𝑥 indice un est égal à 𝑓 de 𝑥 indice deux pour la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à un sur 𝑥 plus un. Il s’ensuit que un sur 𝑥 indice un plus un est égal à un sur 𝑥 indice deux plus un. Puisque 𝑥 indice un et 𝑥 indice deux sont positifs, nous pouvons être sûrs que les deux dénominateurs sont positifs. Cela nous permet de réaliser un produit en croix. Enfin, en soustrayant un de chaque côté de l’équation, nous avons 𝑥 indice deux égaux 𝑥 indice un. Par conséquent, cette dernière option est une fonction injective.
Parmi les cinq options données, nous avons démontré qu’elles sont toutes des fonctions injectives, sauf 𝑓 de 𝑥 est égal à 10, sur l’intervalle fermé à gauche et ouvert à droite de zéro à plus l’infini. Nous avons constaté que deux valeurs d’entrée différentes correspondaient à la même valeur de sortie, ce qui disqualifiait cette fonction.
