Video Transcript
Trouvez le log de base trois racine de trois de 27.
Bien, la première chose que nous allons examiner dans ce problème est le trois racine de trois et voir s’il existe une manière différente de l’écrire. Pouvons-nous le réécrire comme trois à la puissance de quelque chose ? Bien, nous pouvons réécrire trois racine de trois. Nous le ferons en utilisant quelques propriétés sur les exposants. Tout d’abord, nous allons commencer par la propriété qui énonce que la racine de 𝑥 est égale à 𝑥 à la puissance un demi. Ainsi, par conséquent, nous pouvons réécrire trois racine de trois comme trois multiplié par trois à la puissance un demi. Cependant, pouvons-nous aller plus loin ? Bien, nous le pouvons. Ceci parce que 𝑥 à la puissance 𝑎 multiplié par 𝑥 à la puissance 𝑏 est égal à 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏.
Ainsi, si nous multiplions et que nous avons la même base, nous additionnons les exposants. Bien, nous avons trois est égal à trois à la puissance un. Nous ajoutons donc un et un demi. Nous avons donc trois racine de trois est égal à trois à la puissance trois sur deux. Très bien. Remplaçons maintenant par ceci dans notre expression. Nous avons maintenant le log de base trois à la puissance trois sur deux de 27. Qu’allons-nous faire maintenant ? Bien, nous pouvons aussi s’attarder sur le 27. Puisque nous savons que 27 est égal à trois au cube, nous pouvons en fait réécrire cette partie comme trois à la puissance de quelque chose.
Ainsi, notre expression maintenant est log de base trois à la puissance trois sur deux de trois au cube. Ceci est vraiment très utile. Seulement, demandons-nous pourquoi. Nous le verrons grâce à la prochaine loi, il s’agit de l’une de nos lois sur les logarithmes. Cette loi sur les logarithmes nous dit que si nous avons log de base 𝑎 à la puissance 𝑚 de 𝑎 à la puissance 𝑛, cela est égal à 𝑛 sur 𝑚 tant que 𝑚 n’égale pas zéro. Bien, l’élément clé ici est que nous avons la même valeur dans les deux parties de notre logarithme à savoir que nous avons trois et trois. Puis pour notre valeur de 𝑚, nous avons trois sur deux. Pour notre valeur 𝑛, nous avons trois.
Parfait. Maintenant, nous pouvons appliquer notre loi. Cependant, ce que nous avons maintenant est un peu désordonné puisque nous avons trois sur trois sur deux. Cela signifie trois divisé par trois sur deux. Bien, ceci est équivalent à trois multiplié par deux sur trois, car lorsque nous divisons par une fraction, nous gardons le même premier nombre. Nous transformons la division en une multiplication et nous multiplions donc par l’inverse de la deuxième fraction. Maintenant, nous pouvons diviser par trois. A présent, nous avons juste un multiplié par deux sur un, ce qui va être égal à deux. Ainsi, nous pouvons dire que log de base trois racine de trois de 27 est égal à deux.
