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Déterminez la forme générale de l’équation du plan avec le vecteur normal 10, huit, trois, et qui contient le point 10, cinq, cinq.
Commençons par supposer qu’il s’agit de ce plan en trois dimensions, comme indiqué. On nous dit qu’il a un vecteur normal, c’est-à-dire un vecteur perpendiculaire au plan, qui possède les composantes 10, huit, trois. Le plan contient également un point que nous appellerons 𝑃 zéro avec les coordonnées 10, cinq, cinq. Et on nous demande de trouver la forme générale de l’équation de ce plan. Cette forme s’écrit 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 moins 𝑑 est égal à zéro, où le vecteur normal au plan est égal à 𝑎, 𝑏, 𝑐, et 𝑑 est égal au produit scalaire du vecteur normal 𝐧 et du vecteur 𝐫 zéro. Dans cette question, on ne nous donne pas un vecteur 𝐫 zéro mais un point 𝑃 zéro.
En traçant un vecteur allant de l’origine du plan au point 𝑃 zéro, alors ce vecteur 𝐫 zéro aura des composantes égales aux coordonnées du point 𝑃 zéro. Nous sommes maintenant en mesure de calculer la valeur de 𝑑 en trouvant le produit scalaire. La valeur de 𝑑 est égale au produit scalaire des vecteurs 10, huit, trois et 10, cinq, cinq. Pour calculer ce produit scalaire, nous trouvons le produit des composantes correspondantes, puis la somme de ces trois valeurs. Cela équivaut à 10 fois 10 plus huit fois cinq plus trois fois cinq. Cela se simplifie à 100 plus 40 plus 15, c’est-à-dire 155.
Nous avons maintenant les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 que nous pouvons substituer à la forme générale. L’équation du plan avec le vecteur normal 10, huit, trois contenant le point 10, cinq, cinq est 10𝑥 plus huit 𝑦 plus trois 𝑧 moins 155 est égal à zéro.
