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Vidéo de question : Déterminer le centre de symétrie à l’aide d’un graphique Mathématiques

Considérez la courbe d’équation 𝑦 = (𝑥 + 2) ³ - 2. Ecrivez les coordonnées du centre de symétrie de cette courbe, s’il existe.

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Transcription de vidéo

Considérez la courbe d’équation 𝑦 égale 𝑥 plus deux le tout au cube moins deux. Ecrivez les coordonnées du centre de symétrie de cette courbe, s’il existe.

Dans cette question, on nous donne le graphique d’une fonction et nous pouvons voir que notre fonction est un polynôme cubique. On nous demande simplement de noter les coordonnées du centre de symétrie de la courbe, s’il existe. Et la chose la plus importante à noter est qu’on nous demande un centre de symétrie. Par exemple, on ne nous demande pas un axe de symétrie. Et les polynômes cubiques n’ont jamais d’axes de symétrie parce que les comportements aux extrémités de leurs courbes sont toujours de nature opposée et la réflexion par rapport à un axe de symétrie inversera les comportements aux extrémités.

Ainsi, au lieu de ceci, nous cherchons un centre de symétrie. Nous aurons donc affaire à une symétrie centrale puisque nous tournons autour d’un point. Et il y a plusieurs façons de procéder pour résoudre le problème posé. Le moyen le plus simple est de remarquer que la fonction qui nous est donnée est en fait une translation d’un polynôme cubique. Puisque nous ajoutons deux à nos valeurs d’entrée 𝑥, nous translatons la courbe de deux unités vers la gauche, puis nous soustrayons deux des valeurs de la fonction. Cela se traduit par une translation de la courbe de deux unités vers le bas. Ainsi, il s’agit juste de la courbe cubique standard 𝑦 égale 𝑥 au cube translatée de deux unités vers la gauche et de deux unités vers le bas. Nous pouvons le voir sur la figure.

On peut alors rappeler que la courbe 𝑦 égale 𝑥 au cube présente une symétrie centrale de centre de symétrie l’origine soit le point de coordonnées zéro, zéro. Et il convient de souligner que la raison en est que la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube est une fonction impaire, ce qui signifie que 𝑓 évaluée en moins 𝑥 est égale à moins 𝑓 de 𝑥. Et nous pouvons alors utiliser ceci pour montrer qu’il y aura une symétrie centrale. En particulier, si le point de coordonnées 𝑥, 𝑦 se trouve sur cette courbe, alors le point de coordonnées moins 𝑥, moins 𝑦 sera également sur la courbe.

On peut alors rappeler que la translation n’affecte pas la forme de la courbe. Nous avons donc simplement translaté le centre de symétrie. Nous l’avons translaté de deux unités vers la gauche et de deux unités vers le bas. C’est donc une translation de l’origine vers le point de coordonnées moins deux, moins deux. Par conséquent, nous avons pu montrer que la courbe de la fonction 𝑦 égale 𝑥 plus deux le tout au cube moins deux a pour centre de symétrie centrale le point de coordonnées moins deux, moins deux.

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