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Vidéo de la leçon: Fonctions cubiques et leurs représentations graphiques Mathématiques • Deuxième année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à représenter graphiquement des fonctions polynômes de degré 3, à déterminer leur expression à partir de leur courbe représentative et à identifier leurs caractéristiques.

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Transcription de la vidéo

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à représenter graphiquement des fonctions polynômes de degré 3, à déterminer leur expression à partir de leur courbe représentative et à identifier leurs caractéristiques. Commençons par examiner la fonction cube, 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube.

Il est utile de penser à tracer une fonction en trouvant des couples de coordonnées appartenant à la représentation graphique. On peut choisir un ensemble de valeurs de 𝑥 et déterminer leurs images par la fonction 𝑓 de 𝑥. Une fois trouvées ces coordonnées ou couples, on peut tracer ces points et les relier par une courbe.

Étudions les caractéristiques de la fonction cube. Premièrement, cette fonction est positive lorsque 𝑥 est positif, négative lorsque 𝑥 est négatif, et nulle lorsque 𝑥 est nul. Deuxièmement, comme c’est un polynôme de degré impair trois, ses extrémités ont des comportements opposés. Voici ce qui se passe aux extrémités : lorsque 𝑥 tend vers plus ∞, 𝑓 de 𝑥 tend aussi vers plus ∞. Et lorsque 𝑥 tend vers moins ∞, 𝑓 de 𝑥 tend aussi vers moins ∞. Enfin, c’est une fonction impaire, donc 𝑓 de moins 𝑥 égale moins 𝑓 de 𝑥 pour toutes les valeurs 𝑥 de l’ensemble de définition de 𝑓. Notons également que si on transforme cette fonction, on conserve la forme de la courbe.

Voyons maintenant quelques transformations. On peut classer les différentes transformations en deux types, celles qui modifient la variable, et celles qui modifient l’image. De plus, on peut classer ces modifications en trois catégories : les additions, les multiplications ou les opposés.

Commençons par voir comment une addition modifie l’apparence de la fonction, en commençant par les modifications apportées à l’image.

Prenons la fonction cube 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube et définissons deux autres fonctions : 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 au cube plus deux et ℎ de 𝑥 égale 𝑥 au cube moins un. Observez la modification de l’image pour ces deux fonctions. Ce n’est plus seulement 𝑥 au cube ; c’est 𝑥 au cube plus deux et 𝑥 au cube moins un. On peut s’aider d’un tableau de valeurs, puis tracer ces trois fonctions sur le même graphique.

On voit que la fonction cube passe par zéro, zéro, mais que 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 au cube plus deux passe par le point zéro, deux. De même, ℎ de 𝑥 égale 𝑥 au cube moins un passe par le point zéro, moins un. Nous avons ici une translation verticale. De manière générale, la courbe représentative d’une fonction 𝑓 de 𝑥 plus 𝑘 pour une constante réelle 𝑘 est une translation verticale de la courbe de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube. Si 𝑘 est supérieur à zéro, alors la courbe est une translation de 𝑘 unités vers le haut de la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube.

C’est le cas de la fonction 𝑔 de 𝑥. La valeur 𝑘 est ici plus deux, et la courbe a été translatée de deux unités vers le haut. Et si 𝑘 est inférieur à zéro, alors la courbe est une translation vers le bas, de valeur absolue de 𝑘 unités, de la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube. Si on regarde la fonction ℎ de 𝑥, ici la valeur de 𝑘 est négative, elle vaut moins un. Et donc sa valeur absolue est un. On voit que la courbe représentative de ℎ de 𝑥 est une translation de celle de 𝑓 de 𝑥 d’une unité vers le bas.

À présent, nous allons voir comment se modifie la fonction si on ajoute ou soustrait des valeurs à la variable. Nous allons partir de la fonction cube 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube, et définir deux nouvelles fonctions 𝑔 de 𝑥 et ℎ de 𝑥. Comme c’est l’entrée qui est modifiée cette fois, ce n’est plus seulement 𝑥 qu’on met au cube, mais on prend 𝑥 plus deux au cube et 𝑥 moins un au cube.

On peut tracer les trois représentations graphiques dans le même repère. Cette fois, c’est une translation horizontale. En effet, 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube coupe l’axe des 𝑥 en zéro. Mais 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 plus deux au cube coupe l’axe des 𝑥 en moins deux. ℎ de 𝑥 égale 𝑥 moins un au cube coupe l’axe des 𝑥 en plus un. Cette transformation est plus difficile à retenir. Par exemple, si on ajoute deux dans une fonction, il est tentant de penser qu’elle se déplace dans le sens positif, ici de deux unités vers la droite. Mais 𝑔 de 𝑥 est en fait une translation de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube de deux unités vers la gauche.

De même, en retranchant un, on pourrait croire que la translation se fera vers la gauche. Mais en fait, elle se fait vers la droite. Pour mieux s’en souvenir, on peut voir que si on remplace l’entrée 𝑥 par 𝑥 moins ℎ, alors il y a une translation de ℎ unités vers la droite. Par exemple, dans la fonction ℎ de 𝑥 égale 𝑥 moins un au cube, la valeur de ℎ est un et la translation se fait d’une unité vers la droite. Lorsque la valeur de ℎ est négative, on obtient une translation de valeur absolue de ℎ unités vers la gauche. C’est ce qui se passe dans la fonction 𝑔 de 𝑥, ici ℎ égale moins deux, ce qui correspond à une translation de deux unités vers la gauche.

Voyons maintenant comment les multiplications modifient la fonction. Cette fois, on a 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube, 𝑔 de 𝑥 égale trois 𝑥 au cube et ℎ de 𝑥 égale un demi de 𝑥 au cube. Voici les trois courbes représentatives tracées dans un repère. Que remarque-t-on cette fois? Eh bien, ce n’est pas une translation, puisque les trois fonctions passent par le même point zéro, zéro. On peut dire que la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube a été dilatée verticalement. 𝑔 de 𝑥 a été dilatée verticalement par un facteur trois, et ℎ de 𝑥 a été dilatée verticalement par un facteur un demi. Ainsi, on peut dire que pour toute valeur positive de 𝑎, si on transforme 𝑓 de 𝑥 en 𝑎 fois 𝑓 de 𝑥, il y a une dilatation verticale de facteur 𝑎.

Maintenant, voyons comment la multiplication de la variable modifie la fonction.

On va cette fois comparer la fonction cube à une autre fonction ℎ de 𝑥 égale deux 𝑥 au cube, dessinée à côté. Afin de bien comprendre ce qui se passe ici, examinons certains points de chacune des fonctions. Prenons le point deux, huit de la fonction 𝑓 de 𝑥. On peut voir la fonction comme une machine. Deux en entrée donne huit en sortie. En regardant la fonction ℎ de 𝑥, on peut alors chercher quelle valeur entrer pour obtenir la même sortie huit.

Or, on sait qu’en entrant la valeur deux, on obtient huit. Mais cette fois, on n’entre pas simplement deux ; on entre deux 𝑥. Et donc, pour que la valeur de l’entrée soit deux, il faut que 𝑥 soit égal à un. Et donc le point un, huit appartient à la fonction ℎ de 𝑥. De manière générale, on peut dire que pour tout réel positif 𝑏, si l’entrée 𝑥 devient 𝑏𝑥, il s’agit d’une dilatation horizontale de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube par un facteur un sur 𝑏.

Enfin, observons comment se modifie la fonction cube si on prend l’opposé. Soient les courbes représentatives des fonctions 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube et 𝑔 de 𝑥 égale moins 𝑥 au cube. On a ici une réflexion par rapport à l’axe horizontal. Chaque image 𝑔 de 𝑥 est l’opposé de sa valeur pour 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube. Par exemple, le point deux, huit pour la fonction initiale devient deux, moins huit pour la fonction transformée.

Vous vous demandez peut-être pourquoi il s’agit d’une réflexion par rapport à l’axe horizontal et non vertical. Alors regardons ce qui se passe si on modifie l’entrée. Prenons cette nouvelle fonction ℎ de 𝑥 égale moins 𝑥 au cube. On peut simplifier cette fonction en enlevant les parenthèses car ℎ de 𝑥 est égal à moins 𝑥 au cube. On obtient une fonction identique à 𝑔 de 𝑥. Cette caractéristique tient au fait que la fonction cubique est impaire.

De manière générale, on peut dire que si on change la sortie 𝑓 de 𝑥 en moins 𝑓 de 𝑥, il se produit une réflexion de la fonction par rapport à l’axe horizontal. Si on remplace l’entrée 𝑥 par moins 𝑥, il s’agit d’une réflexion de 𝑓 de 𝑥 par rapport à l’axe vertical. Comme la fonction cubique 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 cube est impaire, prendre l’opposé de l’entrée ou de la sortie donne la même représentation graphique.

Jusqu’à présent, on a vu comment différentes modifications de l’entrée ou de la sortie modifiaient la fonction. Mais on peut bien sûr modifier une fonction cubique de plusieurs façons en même temps. On peut combiner toutes les transformations dans une même fonction cubique. On peut dire que si 𝑎, ℎ et 𝑘 sont des nombres réels avec 𝑎 non nul, alors la représentation graphique de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎 fois 𝑥 moins ℎ au cube plus 𝑘 est une transformation de la courbe représentative de 𝑦 égale 𝑥 au cube.

Récapitulons comment les différentes valeurs de 𝑎, ℎ et 𝑘 modifient la forme de la courbe. Vous pouvez peut-être mettre la vidéo sur pause et prendre des notes. Une dernière remarque : l’ordre dans lequel on effectue ces transformations a une importance, même si on obtient parfois le même graphique. Tout d’abord, on effectue une dilatation verticale, c’est la valeur 𝑎 ; deuxièmement, une translation horizontale, c’est la valeur ℎ ; et enfin, une translation verticale, c’est la valeur 𝑘. Voyons maintenant quelques exemples, commençons par un exemple qui demande d’identifier l’équation associée à une représentation graphique donnée.

Quelle équation correspond à la figure? Proposition (A) 𝑦 égale 𝑥 moins deux au cube moins un. Proposition (B) 𝑦 égale 𝑥 plus deux au cube moins un. Proposition (C) 𝑦 égale 𝑥 plus deux au cube plus un. Ou proposition (D) 𝑦 égale 𝑥 moins deux au cube plus un.

Remarquons d’abord que cette fonction ressemble beaucoup à la fonction cube 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube ou encore 𝑦 égale 𝑥 au cube. On peut tracer 𝑦 égale 𝑥 au cube à côté de la fonction. La courbe de 𝑦 égale 𝑥 au cube a un point d’inflexion en zéro, zéro. Le point d’inflexion de la fonction proposée est en moins deux, moins un. On peut donc dire que la fonction 𝑦 égale 𝑥 au cube a subi une translation de deux unités vers la gauche et d’une unité vers le bas. Ces deux fonctions sont toutes deux croissantes, elles n’ont pas subi de réflexion, il n’y a pas d’autres transformations.

Rappelons que pour 𝑎, ℎ et 𝑘 réels avec 𝑎 non nul, une fonction cubique de la forme 𝑦 égale 𝑎 fois 𝑥 moins ℎ au cube plus 𝑘 est une transformation de 𝑦 égale 𝑥 au cube. Sous cette forme, la valeur de 𝑎 est le rapport de la dilatation, avec en plus une réflexion si 𝑎 est inférieur à zéro ; il y a une translation horizontale de ℎ unités vers la droite et une translation verticale de 𝑘 unités vers le haut. On réalise ces transformations en commençant par l’étirement vertical, puis la translation horizontale, et enfin la translation verticale.

Dans cet énoncé, le graphique n’a subi ni réflexion ni dilatation, donc 𝑎 est égal à un. Ensuite, nous avons vu que cette courbe avait subi une translation de deux unités vers la gauche. Comme cette forme de fonction cubique subit une translation horizontale de ℎ unités vers la droite, cela signifie que la valeur de ℎ est négative. Donc ℎ est égal à moins deux. Enfin, nous avons vu qu’il y avait une translation verticale d’une unité vers le bas. Puisque cette forme indique une translation verticale vers le haut, la valeur de 𝑘 doit être négative. Donc elle vaut moins un.

Maintenant, il ne reste plus qu’à remplacer 𝑎, ℎ et 𝑘 par ces valeurs dans l’équation de la fonction cubique. En simplifiant, on obtient l’équation 𝑦 égale 𝑥 plus deux au cube moins un. C’est donc l’équation de la proposition (B).

Traitons maintenant un exemple où il s’agit d’identifier le bon graphique d’une fonction cubique.

Lequel des graphiques suivants correspond à 𝑓 de 𝑥 égale moins 𝑥 moins deux au cube?

Dans cette question, on nous donne une fonction cubique. Comparons-la à la fonction cube 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube. Traçons rapidement cette fonction. Rappelons que pour 𝑎, ℎ et 𝑘 réels avec 𝑎 non nul, une fonction cubique de la forme 𝑦 égale 𝑎 fois 𝑥 moins ℎ au cube plus 𝑘 est une transformation de 𝑦 égale 𝑥 au cube.

Ici, 𝑎 représente une dilatation ou une réflexion, ℎ est le nombre d’unités de la translation horizontale de la courbe, et 𝑘 est le nombre d’unités de la translation verticale de la courbe. Réalisons ces transformations en commençant par la dilatation verticale, puis la translation horizontale, et enfin la translation verticale.

Examinons la fonction proposée. Puisque 𝑓 de 𝑥 est égale à moins 𝑥 moins deux au cube, on en déduit que 𝑎 est égal à moins un. Ce n’est donc pas une dilatation, ou plutôt c’est une dilatation de facteur un. Mais 𝑎 est négatif, ce qui signifie qu’il y a une réflexion de la courbe par rapport à l’axe des 𝑥. Si on réalise uniquement la réflexion, le graphique ressemblera à ceci en rose.

Ensuite, dans la fonction proposée, ℎ est égal à deux. Donc ça veut dire qu’il y a une translation de deux unités vers la droite. Ce qui déplace le point d’inflexion de zéro, zéro à deux, zéro. La fonction ressemble donc à ceci. Il est toujours utile de noter toute information importante sur une figure. Bien sûr, on sait que cette courbe coupe l’axe des 𝑥 en deux, zéro.

On peut donc en déduire la réponse : la représentation graphique de 𝑓 de 𝑥 égale moins 𝑥 moins deux au cube est celle de la proposition (E)

Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. On a d’abord vu la fonction cube 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au cube. On a ensuite étudié quelques propriétés importantes. On a ensuite examiné comment la modification des entrées et des sorties de la fonction affecte l’allure de sa courbe représentative. Ensuite, on a vu comment la fonction de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎 fois 𝑥 moins ℎ au cube plus 𝑘 permet d’identifier les différentes transformations de 𝑦 égale 𝑥 au cube. Enfin, nous avons parlé de l’importance de l’ordre dans lequel réaliser les transformations de cette fonction cubique. Il y a d’abord une dilatation verticale, la valeur 𝑎; puis une translation horizontale, la valeur ℎ ; et enfin, une translation verticale, la valeur 𝑘.

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