Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à représenter graphiquement des fonctions polynômes de degré 3, à déterminer leur expression à partir de leur courbe représentative et à identifier leurs caractéristiques.
Nous allons pour le moment nous concentrer sur la fonction cube, . En créant un tableau de valeurs avec des valeurs entières de telles que , on peut représenter graphiquement la fonction.
| 0 | 1 | 2 | |||
| 0 | 1 | 8 |
Les principales caractéristiques de la fonction cube sont les suivantes :
- La valeur de la fonction est positive lorsque est positif, négative lorsque est négatif et nulle lorsque .
- Comme il s’agit d’une fonction de degré impair (3), ses limites à l’infini sont opposées. Quand augmente vers l’infini, augmente également vers l’infini. Quand diminue vers moins l’infini, diminue également vers moins l’infini.
- Il s’agit d’une fonction impaire, pour toutes les valeurs de dans l’ensemble de définition de et sa courbe représentative reste inchangée après une rotation de par rapport à l’origine.
Lorsque l’on transforme cette fonction, la forme de la courbe reste semblable. Nous allons étudier plusieurs transformations et nous pouvons les classer en deux catégories :
- Modifications de la variable : par exemple, ou ;
- Modifications de l’image : par exemple, ou .
Nous allons alors étudier les modifications de la variable et de l’image suivantes :
- Addition ;
- Multiplication ;
- Opposé.
Nous pouvons maintenant analyser comment la courbe représentative de la fonction varie si on ajoute ou soustrait des valeurs à l’image.
Soient les fonctions et telles que et , c’est-à-dire
Afin de tracer les courbes représentatives de ces fonctions, nous pouvons étendre le tableau de valeurs ci-dessus des valeurs de pour les mêmes valeurs de . On obtient le tableau ci-dessous.
| 0 | 1 | 2 | |||
| 0 | 1 | 8 | |||
| 1 | 2 | 3 | 10 | ||
| 0 | 7 |
Les images de sont toujours supérieures de 2 unités à celles de . De même, toutes les images de sont inférieures de 1 unité à celles de . On peut représenter graphiquement ces trois fonctions côte-à-côte :
On observe que ces deux fonctions sont une translation verticale de .
En général, la courbe représentative d’une fonction pour une constante est une translation verticale de la courbe représentative de la fonction . Si , alors sa courbe représentative est une translation de unités vers le haut de la courbe représentative de . Si , alors sa courbe représentative est une translation de unités vers le bas de la courbe représentative de .
Nous pouvons ensuite étudier comment la fonction varie lorsque l’on ajoute des valeurs à la variable. Soient les fonctions et telles que et :
Nous pouvons créer un tableau de valeurs pour ces fonctions et tracer leurs courbes représentatives.
| 0 | 1 | 2 | |||
| 0 | 1 | 8 | |||
| 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | |
| 0 | 1 |
On observe que la courbe représentative de la fonction est une translation horizontale de de 2 unités vers la gauche. De même, est une translation horizontale de de 1 unité vers la droite.
Cela peut sembler contre-intuitif, car on considère souvent que l’addition dans une translation produit un déplacement dans le sens positif. Dans ce cas, c’est l’opposé. Pour se rappeler de cette propriété, on considère que la fonction est translatée horizontalement de unités vers la droite par le changement de variable . Ainsi, pour la fonction par exemple, et la fonction est translatée vers la gauche de 1 unité.
Nous pouvons résumer comment l’addition modifie la fonction ci-dessous.
| Opération | Nouvelle expression | Transformation géométrique |
|---|---|---|
| Translation verticale : si , unités vers le haut ; si , unités vers le bas. | ||
| Translation horizontale : si , unités vers la droite ; si , unités vers la gauche. |
Nous pouvons ensuite étudier comment la multiplication modifie la fonction , en commençant par des modifications de l’image : .
Soient les fonctions , et :
On observe que la fonction a été étirée ou dilatée verticalement d’un facteur 3. La fonction est une dilatation verticale d’un facteur . Par conséquent, pour toute valeur positive de , produit une dilatation verticale d’un facteur .
Si on effectue maintenant le changement variable pour , on obtient une fonction de la forme . Le graphique ci-dessous compare les courbes représentatives des fonctions et .
Le point de la fonction signifie qu’une valeur de la variable de 1 produit une image égale à 1. Pour obtenir la même valeur d’image, 1, dans la fonction , on doit avoir donc . Il en va de même pour le point de . La même image de 8 de est obtenue lorsque , soit . Par conséquent, lorsque l’on multiplie chaque valeur de de par 2 pour obtenir la fonction , la courbe représentative de est dilatée horizontalement d’un facteur , chaque point étant déplacé à un demi de sa distance précédente par rapport à l’axe des .
Pour tout positif, lorsque , la courbe représentative de est une dilatation horizontale de d’un facteur .
Nous pouvons résumer ces résultats ci-dessous, pour positif et .
| Opération | Nouvelle expression | Transformation géométrique |
|---|---|---|
| Dilatation verticale d’un facteur | ||
| Dilatation horizontale d’un facteur |
Enfin, nous pouvons étudier les modifications de la fonction cube lorsque l’on prend son opposé avec la fonction . Cela nous donne la fonction . Chaque image de est l’opposée de l’image de . Par exemple, le point de la fonction d’origine devient dans la fonction transformée.
Cela représente une symétrie par rapport à l’axe des abscisses.
Comme la fonction cube est une fonction impaire, on sait que . Par conséquent, effectuer le changement de variable dans la fonction transforme également la fonction en . En général, pour toute fonction , produit une symétrie par rapport à l’axe des abscisses et le changement de variable crée une symétrie de par rapport à l’axe des ordonnées. Le fait que la fonction cube soit impaire implique que prendre l’opposé de la variable ou de l’image produit le même résultat graphique.
| Opération | Nouvelle expression | Transformation géométrique |
|---|---|---|
| Symétrie par rapport à l’axe des abscisses | ||
| Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées |
Nous pouvons résumer les transformations de la fonction ci-dessous, pour positif et .
| Opération | Nouvelle expression | Transformation géométrique |
|---|---|---|
| Translation verticale : si , unités vers le haut ; si , unités vers le bas. | ||
| Translation horizontale : si , unités vers la droite ; si , unités vers la gauche. | ||
| Dilatation verticale d’un facteur | ||
| Dilatation horizontale d’un facteur | ||
| Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées |
Nous pouvons combiner plusieurs de ces transformations de la fonction cube, ce qui crée une fonction de la forme .
Définition : Transformations de la fonction cube
Si , et , avec , alors la courbe représentative de est une transformation de la courbe représentative de . Pour transformer la courbe représentative de en celle de , on doit effectuer les opérations suivantes :
- Si , alors on dilate verticalement la courbe représentative de d’un facteur .
- Si , alors on prend le symétrique de la courbe représentative de par rapport à l’axe des abscisses et on la dilate verticalement d’un facteur .
- Si , alors on translate horizontalement la courbe représentative de de unités vers la droite.
- Si , alors on translate horizontalement la courbe représentative de de unités vers la gauche.
- Si , alors on translate verticalement la courbe représentative de de unités vers le haut.
- Si , alors on translate verticalement la courbe représentative de de unités vers le bas.
L’ordre dans lequel on effectue les transformations d’une fonction est important, même s’il est parfois possible d’obtenir la même courbe représentative quel que soit l’ordre. L’ordre à suivre est le suivant :
- Dilatation verticale d’un facteur ;
- Translation horizontale de unités ;
- Translation verticale de unités.
Si nous connaissons la courbe représentative d’une fonction du troisième degré inconnue, nous pouvons utiliser la forme de la fonction standard pour déterminer les transformations qui lui ont été appliquées et ainsi retrouver cette fonction. Voyons un exemple de cela.
Exemple 1: Déterminer l’équation d’une courbe en reconnaissant les translations de la fonction cube
Quelle équation correspond à la courbe ci-dessous ?
Réponse
On observe que cette fonction a une forme semblable à la fonction cube parfois écrite sous la forme . En fait, on peut noter qu’il n’y a pas de dilatation de la fonction, soit en observant sa forme, soit en remarquant que le coefficient de est 1 dans toutes les options proposées. La courbe représentative de passe par l’origine et nous la traçons sur le même graphique comme ci-dessous.
Le point d’inflexion de est situé au point et le point d’inflexion de la fonction inconnue est en . Par conséquent, la fonction a été translatée de 2 unités vers la gauche et de 1 unité vers le bas. Comme les deux fonctions ont la même pente et qu’il n’y a pas de symétrie, ce sont les seules transformations.
Une fonction du troisième degré de la forme est une transformation de , pour , et , avec . Sous cette forme, la valeur de indique le facteur d’échelle de dilatation et une symétrie si , la valeur de indique une translation horizontale vers la droite et la valeur de indique une translation verticale vers le haut. On effectue la dilatation verticale en premier, suivie de la translation horizontale et enfin la translation verticale.
Dans cette question, il n’y a pas de symétrie ou de dilatation de la courbe représentative, donc . Il ne reste donc que des possibles translations. On a observé une translation horizontale de 2 unités vers la gauche, donc . Enfin, la translation verticale de 1 unité vers le bas signifie que . On peut remplacer ces valeurs dans l’équation et on obtient
Par conséquent, l’équation de la courbe représentative est celle de l’option B :
Dans l’exemple suivant, nous devons identifier la courbe représentative d’une fonction du troisième degré.
Exemple 2: Identifier la courbe représentative d’une fonction du troisième degré en reconnaissant les transformations de la fonction cube
Laquelle des courbes représentatives suivantes correspond à ?
Réponse
On peut comparer la fonction avec la fonction standard , que l’on peut tracer ci-dessous.
Une fonction du troisième degré de la forme est une transformation de pour , et , avec . Ici, représente une dilatation ou une symétrie, donne le nombre d’unités dont la courbe représentative est translatée horizontalement et est le nombre d’unités dont la courbe représentative est translatée verticalement. On effectue la dilatation verticale en premier, suivie de la translation horizontale et enfin la translation verticale.
Dans la fonction , on a . Cela indique qu’il n’y a pas de dilatation (ou qu’il y a une dilatation d’un facteur 1). Cependant, puisque est négatif, cela signifie qu’il y a une symétrie de la courbe représentative par rapport à l’axe des . On peut donc effectuer la symétrie de ci-dessous, ce qui crée la fonction .
Ensuite, dans la fonction , la valeur de est 2, ce qui indique qu’il y a une translation de 2 unités vers la droite. Cela déplace le point d’inflexion de à . La fonction est alors représentée ci-dessous.
Par conséquent, la courbe représentative qui correspond à la fonction est la E.
Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment définir une fonction à partir de sa courbe représentative.
Exemple 3: Déterminer l’équation d’une courbe en reconnaissant les translations de la fonction cube
Quelle est l’équation de cette courbe ?
Réponse
On peut comparer cette fonction à la fonction en les représentant sur le même repère.
On remarque qu’il n’y a pas eu de dilatation ni de symétrie car la pente et les limites à l’infini des courbes sont identiques. Il n’y a pas non plus de translation horizontale, mais on observe une translation verticale de 3 unités vers le bas. Pour toute valeur , la fonction est une translation de la fonction de unités verticalement. Puisque la translation est vers le bas, la valeur de doit être négative ; donc, .
Par conséquent, l’équation de cette courbe est celle de l’option A :
Nous allons maintenant étudier un exemple où nous devons identifier trois transformations distinctes de la fonction cube.
Exemple 4: Identifier la courbe représentative d’une fonction du troisième degré en reconnaissant les transformations de la fonction cube
Laquelle des courbes représentatives suivantes correspond à ?
Réponse
Une fonction du troisième degré de la forme est une transformation de , pour , et , avec . Ici, représente une dilatation ou une symétrie, donne le nombre d’unités dont la courbe représentative est translatée horizontalement et est le nombre d’unités dont la courbe représentative est translatée verticalement. On effectue la dilatation verticale en premier, la translation horizontale ensuite et enfin la translation verticale.
La fonction peut être écrite comme
Puisque la valeur de est négative, la courbe représentative doit avoir subi une symétrie par rapport à l’axe des . Puisque , la courbe représentative de est dilatée verticalement d’un facteur 1, elle a donc la même forme.
Puisque , la courbe est translatée horizontalement de 5 unités vers la droite.
Enfin, donc la courbe représentative est également translatée verticalement de 2 unités vers le haut.
On peut visualiser les translations par étapes, en commençant avec la courbe représentative de .
En combinant la symétrie et les deux translations, nous concluons que la courbe représentative qui correspond à la fonction est la B.
Bien que cela ne soit pas demandé, la courbe A représente la fonction , la courbe C représente la fonction et la courbe D représente la fonction .
Nous allons maintenant étudier un exemple impliquant une dilatation.
Exemple 5: Déterminer l’équation d’une courbe représentative en reconnaissant les transformations de la fonction cube
Quelle équation correspond à la courbe ci-dessous ?
Réponse
La fonction représentée est une transformation de la courbe représentative de . On peut écrire l’équation de la courbe représentative sous la forme , qui est une transformation de pour , et , avec . Ici, représente une dilatation ou une symétrie, donne le nombre d’unités dont la courbe est translatée horizontalement et est le nombre d’unités dont la courbe est translatée verticalement. On effectue la dilatation verticale en premier, suivie de la translation horizontale et enfin la translation verticale.
On trace alors la courbe représentative de à côté de la courbe donnée.
Si on compare le point d’inflexion de avec celui de la courbe représentative donnée, on a . Cela indique une translation horizontale de 1 unité vers la droite et une translation verticale de 4 unités vers le haut.
On observe que la courbe donnée est plus raide que celle de la fonction . On peut alors comparer une translation de de 1 unité vers la droite et de 4 unités vers le haut avec la courbe donnée.
Si la variable est égale à 0, son image par la fonction translatée, est égale à 3. Mais la même valeur de 0 dans la courbe donnée produit une image de 1. Il y a donc une dilatation d’un facteur d’échelle 3 entre les deux courbes. Comme la courbe donnée est plus raide que celle de la fonction , cela signifie qu’elle a été dilatée verticalement d’un facteur d’échelle 3 (plutôt que dilatée d’un facteur d’échelle , ce qui produirait une courbe « compressée »).
On peut maintenant substituer par , et dans pour obtenir
Il s’agit de l’équation C.
Nous allons maintenant étudier un dernier exemple impliquant une des caractéristiques d’une fonction du troisième degré : son centre de symétrie.
Exemple 6: Identifier le centre de symétrie d’une fonction du troisième degré
On considère la courbe représentative de la fonction .
Déterminez les coordonnées du centre de symétrie de la courbe, s’il existe.
Réponse
La courbe représentative ci-dessus est une translation de de 2 unités vers la gauche et de 2 unités vers le bas. Puisque a un centre de symétrie en , la courbe représentative translatée aura un centre de symétrie situé à 2 unités vers la gauche et 2 unités vers le bas de .
Par conséquent, nous concluons que le centre de symétrie de cette fonction est .
Nous allons à présent résumer les points clés de cette fiche explicative.
Points clés
- La fonction cube est la fonction . Elle a les propriétés suivantes :
- L’image de la fonction est positive lorsque est positif, négative lorsque est négatif et nulle lorsque .
- Quand augmente vers l’infini, augmente également vers l’infini. Quand diminue, diminue également vers moins l’infini.
- Il s’agit d’une fonction impaire, , donc sa courbe représentative reste inchangée après une rotation de par rapport à l’origine.
- Si , et , avec , alors la courbe représentative de est une transformation de la courbe représentative de . Pour transformer la courbe représentative de en celle de , on doit effectuer les opérations suivantes :
- Si , alors on dilate verticalement la courbe représentative de d’un facteur .
- Si , alors on prend le symétrique de la courbe représentative de par rapport à l’axe des abscisses et on la dilate verticalement d’un facteur .
- Si , alors on translate horizontalement la courbe représentative de de unités vers la droite.
- Si , alors on translate horizontalement la courbe représentative de de unités vers la gauche.
- Si , alors on translate verticalement la courbe représentative de de unités vers le haut.
- Si , alors on translate verticalement la courbe représentative de de unités vers le bas.
- Pour la fonction , on doit effectuer les transformations de la fonction cube dans l’ordre suivant :
- Dilatation verticale d’un facteur ;
- Translation horizontale de unités ;
- Translation verticale de unités.
