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Déterminez algébriquement l’ensemble solution de l’inégalité la valeur absolue de six moins 𝑥 est strictement inférieure à trois.
Commençons par rappeler que la valeur absolue d’un nombre est sa distance à zéro sur une droite. Dans cette question, on nous dit que la valeur absolue de six moins 𝑥 est strictement inférieure à trois, ce qui signifie que six moins 𝑥 est compris entre moins trois et trois. Notez que la question nous donne une inégalité stricte, moins trois et trois ne sont donc pas inclus. Nous pouvons alors l’exprimer comme une double inégalité : six moins 𝑥 est strictement supérieur à moins trois et strictement inférieur à trois. En soustrayant six de chaque partie de l’inéquation, nous avons moins 𝑥 est strictement supérieur à moins neuf et strictement inférieur à moins trois. Nous pouvons alors diviser par moins un, en rappelant que lors de la multiplication ou de la division par un nombre négatif, le sens de l’inéquation change. Par exemple, un symbole strictement inférieur à devient un symbole strictement supérieur à.
Nous pouvons donc conclure que si la valeur absolue de six moins 𝑥 est inférieure à trois, alors 𝑥 est strictement supérieur à trois et strictement inférieur à neuf. Puisqu’on nous demande de donner notre réponse en utilisant les notations d’ensemble, nous avons l’intervalle ouvert de trois à neuf. Afin de vérifier notre solution, il convient de substituer une valeur contenue dans l’intervalle à l’inégalité initiale. Si nous posons 𝑥 égal à quatre, le côté gauche devient la valeur absolue de six moins quatre. Cela équivaut à la valeur absolue de deux, c’est-à-dire deux. Puisque cette valeur est inférieure à trois, cela suggère que notre ensemble de solutions, soit l’intervalle ouvert de trois à neuf, est le bon.
