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Vidéo de la leçon : Résolution des inéquations linéaires avec valeur absolue Mathématiques

Une exploration détaillée et minutieuse des inéquations linéaires impliquant des valeurs absolues. Nous donnons des instructions étape par étape sur la façon dont la courbe d’une fonction affine de valeur absolue est construit et appliquons ces connaissances pour nous aider à résoudre les inéquations.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir comment résoudre les inéquations en valeur absolue ; il s’agit d’expressions que nous évaluons et dont nous prenons la valeur absolue. Donc, si le résultat était négatif, nous utilisons simplement le positif de ce nombre. Nous allons examiner un problème graphique et un problème algébrique, et nous parlerons de la façon de les aborder tous les deux. Nous vous donnerons également des réponses dans différents formats, donc le format d’inégalité, et en utilisant également la notation d’intervalle. D’accord, allons-y et examinons notre premier problème. Donc, dans cette question, on nous donne un graphique qui montre deux fonctions : nous avons 𝑓 de 𝑥 qui est la valeur absolue ou le module de 𝑥 plus deux et une autre droite droite, droite horizontale, une fonction 𝑔 de 𝑥, qui est égal à cinq. Et nous devons trouver les valeurs de 𝑥 qui satisfont l’inégalité 𝑓 de 𝑥 est inférieure à 𝑔 de 𝑥. Il s’agit donc d’une inéquation stricte. Donc, nous cherchons la coordonnée 𝑥, où la coordonnée correspondante 𝑦 sur la 𝑓 fonction est inférieure à la 𝑔 fonction. Nous cherchons donc quelles zones du graphique se trouve la droite verte sous la droite noire. Et quand on nous donne une courbe comme celui-ci, c’est juste une question de faire un peu de mise en évidence sur le graphique et de lire certaines valeurs du graphique. Et nous allons donc le faire, mais nous allons aussi aller une étape supplémentaire et faire quelque chose à la question ne nous demande pas de le faire et de le résoudre algébriquement. Et regardez — et cela nous fournira, espérons-le, le lien pour comprendre le fonctionnement de la solution algébrique.

Donc, en essayant de comprendre où les valeurs 𝑓 de 𝑥 générées, les coordonnées 𝑦, sont inférieures aux valeurs 𝑔 de 𝑥 créées, donc les coordonnées 𝑦 pour cette fonction, nous devons vraiment commencer par penser : « Eh bien, où sont-ils égaux ?» Et puis nous pensons en quelque sorte à… allons-nous à gauche ou à droite de cela dans chaque cas. Nous pouvons donc voir que les droites se croisent ici et ici : donc 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 est moins sept, et 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 est égal à trois. Donc, 𝑓 de 𝑥 est inférieur à 𝑔 de 𝑥 comme nous l’avons dit lorsque la droite verte est inférieure à la droite noire ici, et que tous les points entre 𝑥 égal à moins sept et 𝑥 est égal à trois. Donc, moins sept n’est pas inclus, trois n’est pas inclus car les fonctions y sont égales. Mais tout entre les deux, la droite verte est en dessous de la droite noire. Donc, en écrivant cela comme une inégalité, nous disons que le moins sept est à l’extrémité gauche. Et cela est toujours inférieur à 𝑥 car si 𝑥 est égal à moins sept, alors les deux fonctions seront égales. Et 𝑥 est toujours inférieur à trois car si 𝑥 était égal ou supérieur à trois, alors les 𝑓 des 𝑥 valeurs générées seront supérieures aux 𝑔 des 𝑥.

Voilà donc notre réponse. Ou nous pourrions l’écrire comme un intervalle. Maintenant, les valeurs critiques sont moins sept et trois à chaque extrémité de l’intervalle. Maintenant, moins sept ne sont pas inclus donc nous utilisons la parenthèse ronde, et trois n’est pas inclus donc nous utilisons à nouveau la parenthèse ronde. Ce serait donc une autre façon de présenter cette solution. En fait, nous pouvons le faire en notation d’ensemble ici. Nous avons donc l’ensemble de 𝑥 tel que 𝑥 est un nombre réel où moins sept est inférieur à 𝑥 est inférieur à trois, vous avez donc trois façons différentes de présenter votre réponse.

D’accord, c’était donc assez simple. Ce que nous va faire bien est que nous sommes juste va prendre un autre coup d’œil, sorte de résoudre algébriquement, mais regardant toujours le graphique comme nous le faisons. Donc 𝑓 de 𝑥 est la valeur absolue de 𝑥 plus deux. Mais avant de réfléchir, considérons la courbe de 𝑦 égal à 𝑥 plus deux, ignorant ainsi la valeur absolue. Maintenant, 𝑥 plus deux serait fondamentalement une droite qui a une pente positive et cela couperait l’axe des 𝑦 à plus deux. Et c’est essentiellement cette droite ici, mais bien sûr, elle continuerait à descendre ici pour toujours. Donc, comme nous l’avons dit, cela coupe l’axe des 𝑦 en deux, et la pente de un signifie que chaque fois que j’augmente ma coordonnée 𝑥 d’une unité, la coordonnée 𝑦 correspondante augmente également d’une unité. J’ai donc pris deux points sur la droite ici, donc pour aller d’ici au point suivant, ma coordonnée 𝑥 augmente d’une unité et ma coordonnée 𝑦 correspondante augmenterait également d’une unité. Et c’est la même chose où que vous soyez sur cette droite. C’est donc très bien ; c’est 𝑦 est égal à 𝑥 plus deux. Mais la fonction que nous regardons est représentée par 𝑦 est égal à la valeur absolue de 𝑥 plus deux. Maintenant, chaque coordonnée 𝑦 que nous générons, si cela s’avère négatif, nous devons la transformer en positif. Donc, cela ne s’applique pas vraiment à droite de cette droite.

Donc, ici, pour toutes ces coordonnées 𝑥, le simple fait de penser à 𝑦 égal à 𝑥 plus deux générera toujours zéro ou une coordonnée 𝑦 positive de toute façon. Donc, si nous avions limité la coordonnée 𝑥 nous pourrions utiliser pour deux ou moins un ci-dessus, tout en utilisant la fonction représentée par 𝑦 égal 𝑥 plus deux serait bien. Mais à gauche de cette droite, lorsque nous avons des coordonnées 𝑥 inférieures à moins deux, chaque fois que nous générons ces coordonnées 𝑦 négatives, ce que nous faisons, c’est que nous les reflétons par rapport à l’axe des 𝑥 et prenons la version positive. Donc, ce que nous faisions effectivement, c’est que nous prenons une valeur négative puis prenons l’opposé de cette valeur négative, ce qui nous donne la valeur positive. Donc, à gauche de moins deux, la valeur 𝑦 est toujours l’opposé de 𝑥 plus deux, l’opposé de la fonction.

Ainsi, bien que 𝑓 est égale à la valeur absolue de 𝑥 plus deux, la manière pratique de l’interprétation qui est si la coordonnée 𝑥 est plus ou moins deux, alors nous sommes tout va utiliser cette équation pour notre travail coordonnées 𝑦 ; mais si la coordonnée 𝑥 est inférieure à moins deux, alors nous allons utiliser cette équation pour travailler à notre coordonnées 𝑦.

Donc, si on ne nous avait pas donné la courbe mais qu’on nous avait donné les fonctions absolu 𝑥 plus deux et cinq, alors nous aurions pu maintenant esquisser le graphique. Et si nous avions fait cela, nous aurions une courbe qui ressemble à ceci. Alors maintenant, le processus sera très similaire à ce que nous avons fait avant ; nous aimerions toujours savoir où ces deux droites se croisent, puis nous chercherons où est le 𝑓 de 𝑥 droite plus bas sur la courbe que le 𝑔 de 𝑥 droite. Et c’est évidemment entre ces deux points. Nous sommes donc très intéressés pour calculer ce que vaut cette coordonnée 𝑥 et de même pour cette coordonnée 𝑥.

Eh bien, 𝑔 de 𝑥 est toujours cinq. Regardons donc le point de gauche 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑔 de 𝑥. Eh bien dans cette région, 𝑓 de 𝑥 est égale à moins 𝑥 moins deux ; et dans cette région, 𝑔 de 𝑥 est égal à cinq. Eh bien, dans chaque région, 𝑔 de 𝑥 est égal à moins cinq. Il nous suffit donc d’ajouter 𝑥 des deux côtés, puis de soustraire cinq des deux côtés. Et nous voyons que la coordonnée 𝑥 est moins sept. Nous pouvons faire de même pour l’extrémité droite. Et dans cette région, l’équation pour la fonction 𝑓 de 𝑥 est 𝑦 égale à 𝑥 plus deux. Donc 𝑓 de 𝑥 est 𝑥 plus deux et 𝑔 de 𝑥 est cinq.

Maintenant, en soustrayant deux de chaque côté, cela nous dit que là-bas, la coordonnée 𝑥 est trois. Alors maintenant, nous avons exactement les mêmes informations que celles qui nous ont été données tout de suite dans la courbe la dernière fois. Nous pouvons dire : « Mais quand la droite bleue est-elle en dessous de la droite noire ?» Eh bien, pas quand 𝑥 vaut moins sept, pas quand 𝑥 est trois, mais à chaque point entre les deux. Encore une fois, nous pouvons écrire notre réponse dans l’un de ces trois formats.

D’accord, jetons un œil à une question purement algébrique à partir de zéro.

Trouvez les valeurs de 𝑥 qui satisfont l’inégalité la valeur absolue de six moins 𝑥 est supérieure ou égale à dix. Ce n’est donc pas une inégalité stricte ; qui peut être égal à dix. Donc pour commencer, on va juste penser au côté gauche. Nous sommes donc tout va considérer 𝑦 égal à six moins 𝑥 et nous allons ignorer la fonction absolue pour l’instant. Nous allons travailler cela dans un peu. C’est donc une fonction affine. Et parce que le coefficient de 𝑥 est négatif, cela signifie que la pente est un ; chaque fois que ma coordonnée 𝑥 augmente d’une unité, ma coordonnée 𝑦 correspondante diminuera d’une unité. Le 𝐶, l’ordonnée à l’origine, le terme constant est six, ce qui signifie qu’elle coupe l’axe des 𝑦 à six. Alors maintenant, nous devons juste penser à où cela couperait l’axe des 𝑥. Eh bien, cela coupe l’axe des 𝑥 lorsque 𝑦 est nul. Et mettre 𝑦 égal à zéro nous donne zéro égal à six moins 𝑥. Donc, si j’ajoute juste 𝑥 des deux côtés, j’obtiens 𝑥 est égal à six. Alors, esquissons simplement cela sur certains axes. Voilà à quoi ressemblerait 𝑦 égal à six moins 𝑥. Mais bien sûr, rappelez-vous, nous voulions que la valeur absolue de 𝑦 soit égale à six moins 𝑥. Alors que partout qui plonge en droite en dessous de l’axe des 𝑥 et nous donne des coordonnées 𝑦 négatives nous allons juste prendre le 𝑦 positif correspondant à cela. Donc, cette droite est positive jusqu’à 𝑥 égale six, puis après elle est passée en dessous de l’axe des 𝑥. Nous allons donc devoir refléter tous ces points par rapport à l’axe des 𝑥 jusqu’ici, prendre les versions positives correspondantes de ces coordonnées 𝑦. Donc, pour la valeur absolue de six moins 𝑥, nous ignorons la droite bleue sous l’axe là-bas et nous la reflétons simplement par rapport à l’axe des 𝑥 ici, donc ce que nous faisons, c’est que nous prenons l’opposé de toutes les coordonnées 𝑦, c’est l’opposé de cette fonction 𝑦 est égal à six moins 𝑥. Donc, à gauche de 𝑥 est égal à six, nous utilisons simplement la droite 𝑦 est égale à six moins 𝑥, mais à droite, nous avons 𝑦 est égal à 𝑥 moins six et l’opposé de l’autre.

Alors maintenant, nous savons à quoi ressemble la valeur absolue de six moins 𝑥. Traçons simplement sur notre courbe 𝑦 est égal à dix, et nous voulons savoir quand cela est au-dessus de cela. Encore une fois, regardons ces points critiques où elles se croisent. Donc, en regardant à gauche de ces deux premiers, les valeurs absolues de six moins 𝑥 sont représentées juste par 𝑦 est égal à six moins 𝑥 dans cette région, nous devons donc mettre cela égal à dix.

Et puis je vais ajouter 𝑥 des deux côtés, puis soustraire dix. Donc, la coordonnée 𝑥 où elles se croisent est moins quatre. Et sur le côté droit dans cette région, 𝑦 est égal à 𝑥 moins six nous parle de cette droite droite, et nous devons mettre cela égal à dix. Je vais donc ajouter six aux deux parties à travailler pour connaître 𝑥. Et 𝑥 est égal à seize dans ce cas, je peux donc écrire seize sur mon graphique sur mes axes.

Nous savons donc où ces deux choses sont égales ; nous devons maintenant revenir sur la question qui se pose lorsque la valeur absolue de six moins 𝑥 est supérieure à dix. Donc, ce graphique doit être au-dessus de ce graphique sur nos axes. Donc, au point gauche ici où ils se croisent, ils sont égaux ; et n’importe où à gauche de cela, la valeur absolue de six moins 𝑥 est supérieure à 𝑦 est égale à dix. Et sur le côté droit, c’est là où ils sont égaux, et tout à droite de celui-ci est où le module ou la valeur absolue de six moins 𝑥 est supérieur à 𝑦 est égal à dix.

Donc, penser aux valeurs 𝑥 qui correspondent à ces régions du graphique, lorsque 𝑥 est moins quatre, c’est super ; les deux choses sont égales. Et n’importe où à gauche de cela, comme nous l’avons illustré ici, est une bonne région ; c’est là que notre inégalité est satisfaite. Et puis sur le côté droit, quand 𝑥 vaut seize, c’est dans la région que nous recherchons ; l’inégalité est satisfaite. Et n’importe où à droite de cela, c’est également satisfait. Nous nous sommes donc retrouvés avec une région non continue : donc n’importe où en, ou à la gauche de, moins quatre, et n’importe où en, ou à la droite de, seize. Nous pouvons donc écrire cela comme une paire d’inéquations comme celle-ci.

Et quand il s’agit d’écrire cela sous la forme d’un intervalle, nous devons l’écrire comme l’union de deux intervalles distincts. Nous allons donc de moins l’infini à moins quatre, puis de seize à plus l’infini. Eh bien, les infinis ont toujours une parenthèse ronde avec eux. Et moins quatre est inclus dans cette région, nous avons donc mis un crochet autour de celui-ci. Et seize est inclus, nous avons donc mis un crochet carré autour de celui-ci. Et en se souvenant que ces deux régions sont valides, nous allons les unir ensemble. C’est donc une façon de les représenter.

Maintenant, une autre façon de représenter cela est le fait que, rappelez-vous que nous pensons en quelque sorte à l’axe des 𝑥 ici, ce sont les nombres réels sur la droite numérique. Nous pourrions donc dire que ce sont tous les nombres réels moins cette région ici entre moins quatre et seize. Mais rappelez-vous, nous ne voulons pas enlever le moins quatre parce que le moins quatre fait partie de la région valide. Je vais donc mettre une parenthèse ronde pour dire que cela n’est pas inclus dans le morceau que nous enlevons. Et de même pour seize, la parenthèse ronde indique que seize n’est pas dans le morceau que nous enlevons. Et encore, je pourrais utiliser la notation d’ensemble : nous avons l’ensemble de 𝑥, où 𝑥 est réel tel que 𝑥 est inférieur ou égal à moins quatre ou 𝑥 est supérieur ou égal à seize.

Donc, pour résoudre les inéquations linéaires de valeur absolue, vous devez vraiment penser à quoi ressemblerait la droite sans les signes absolus, puis ajuster pour le signe absolu, puis commencer à regarder où les régions du graphique se chevauchent ou au-dessus ou en dessous d’autres régions. Et puis vous avez une variété de façons différentes de présenter votre réponse. Donc, le meilleur conseil est toujours de faire ces croquis et ces graphiques parce que je pense que cela vous aide vraiment à réfléchir et à communiquer votre pensée, et cela vous aide également à éviter de faire des erreurs stupides. D’accord, bonne chance avec vos inéquations linéaires avec des fonctions absolues.

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