Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons voir comment résoudre des inéquations linéaires contenant des valeurs absolues, c’est-à-dire des inéquations contenant des expressions dont il faut prendre la valeur absolue. Donc, si la valeur est négative, il faut simplement prendre l’opposé de cette valeur, qui est un nombre positif. Nous allons voir un problème avec une résolution graphique et un problème avec une résolution algébrique et nous allons expliquer comment aborder ces deux méthodes. Nous allons également exprimer les réponses de différentes manières, sous forme d’inégalités et en utilisant également la notation d’intervalle. Alors, allons-y et prenons le premier problème. Donc, dans cette question, on nous donne un graphique qui représente deux fonctions : nous avons 𝑓 de 𝑥 égale valeur absolue, ou module de 𝑥, plus deux et une autre courbe, qui est une droite horizontale, qui est la fonction 𝑔 de 𝑥 égale à cinq. Et nous devons déterminer les valeurs de 𝑥 qui satisfont l’inégalité 𝑓 de 𝑥 inférieure à 𝑔 de 𝑥. Il s’agit donc d’une inégalité stricte. Nous cherchons donc le point d’abscisse 𝑥, dont l’ordonnée pour la fonction 𝑓 est inférieure à l’ordonnée pour la fonction 𝑔. Nous cherchons donc dans quelles zones du graphique la droite verte se trouve en dessous de la droite noire. Et quand on nous donne un graphique de ce type, il suffit juste de mettre en évidence quelques valeurs sur le graphique et lire ces valeurs particulières. Et nous allons donc procéder ainsi, mais nous allons également aller plus loin et faire quelque chose qui n’est pas demandé dans la question ; nous allons résoudre l’inéquation de manière algébrique. Et regardez – espérons-le, cela permettra de faire le lien pour comprendre la méthode de résolution algébrique.
Alors, pour essayer de comprendre où les valeurs de 𝑓 de 𝑥, qui correspondent aux ordonnées 𝑦, sont inférieures aux valeurs de 𝑔 de 𝑥, qui correspondent aux ordonnées 𝑦 pour cette fonction, il faut en fait commencer par se demander : « où ces valeurs sont-elles égales ? » Puis, il faut ensuite réfléchir si nous allons vers la gauche ou vers la droite, dans chaque cas. Donc, nous voyons que les droites se croisent ici et ici : donc 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 est égal à moins sept et 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 est égal à trois. Donc 𝑓 de 𝑥 est inférieur à 𝑔 de 𝑥, comme nous l’avons dit, lorsque la droite verte est en dessous de la droite noire ici et cela correspond à tous les points situés entre 𝑥 égal moins sept et 𝑥 égal trois. Donc, moins sept n’est pas compris, trois n’est pas compris car les fonctions sont égales en ces deux points. Mais entre ces deux points, la courbe verte est en dessous de la droite noire. Donc, en écrivant cela comme une inégalité, nous avons moins sept du côté gauche. Et cette valeur est toujours inférieure à 𝑥 parce que si 𝑥 est égal à moins sept, alors les deux fonctions sont égales. Et 𝑥 est toujours inférieur à trois car si 𝑥 est égal ou supérieur à trois, alors les valeurs de 𝑓 de 𝑥 sont supérieures aux valeurs de 𝑔 de 𝑥.
Donc, voici la réponse. Et nous pouvons aussi l’écrire sous forme d’un intervalle. Alors, les bornes de l’intervalle sont moins sept et trois. Alors, moins sept n’est pas inclus, donc nous utilisons un crochet ouvert et trois n’est pas inclus, donc nous utilisons de nouveau un crochet ouvert. C’est une autre manière de présenter cette solution. Nous pouvons aussi le faire avec une notation de type ensemble, ici. Nous avons donc l’ensemble des 𝑥 tel que 𝑥 est un nombre réel avec moins sept inférieur à 𝑥 inférieur à trois. Nous avons donc trois manières différentes de donner la réponse.
Alors, c’était assez simple. Mais, ce que nous allons faire, c’est que nous allons juste regarder rapidement comment faire la résolution de manière algébrique, tout en gardant le graphique à côté. Donc 𝑓 de 𝑥 est égal à valeur absolue de 𝑥 plus deux. Mais avant de nous intéresser à ça, considérons la courbe 𝑦 égale 𝑥 plus deux, donc en ignorant la valeur absolue. Alors, 𝑥 plus deux correspond en fait à une droite dont la pente est positive et qui coupe l’axe des 𝑦 en deux. Et cela correspond à cette droite ici, mais bien sûr, elle continue vers le bas. Donc, comme nous l’avons dit, cette droite coupe l’axe des 𝑦 en deux et la pente vaut un, ce qui signifie que si nous avançons d’une unité selon l’axe des 𝑥, il faut avancer d’une unité selon l’axe des 𝑦. Donc, j’ai pris deux points sur la droite ici, donc pour aller d’ici au point suivant, l’abscisse 𝑥 augmente d’une unité et l’ordonnée 𝑦 correspondante augmente également d’une unité. Et c’est la même chose tout le long de cette droite. Donc c’est parfait ; c’est la fonction 𝑦 égal 𝑥 plus deux. Mais la fonction qui nous intéresse est la fonction 𝑦 égal valeur absolue de 𝑥 plus deux. Alors, pour chaque ordonnée 𝑦, si la valeur correspondante est négative, il faut la transformer en valeur positive. Donc, cela ne s’applique pas vraiment à la partie droite du graphique.
Ici, pour toutes ces valeurs de 𝑥, quand on calcule 𝑦 égal 𝑥 plus deux, l’ordonnée 𝑦 correspondante sera toujours zéro ou une valeur positive de toute façon. Donc, si nous avions restreint les valeurs de 𝑥 à utiliser à moins deux ou plus, il suffirait d’utiliser la fonction représentée par 𝑦 égale 𝑥 plus deux. Mais sur la gauche du graphique, lorsque nous avons des valeurs de 𝑥 inférieures à moins deux, quand nous calculons l’ordonnée 𝑦 correspondante, nous obtenons en fait la valeur symétrique par rapport à l’axe des 𝑥, pour avoir une valeur positive. Donc, ce que nous faisons en fait, c’est que nous obtenons une valeur négative puis nous prenons l’opposé de cette valeur négative, ce qui nous donne une valeur positive. Donc, à gauche de moins deux, la valeur de 𝑦 est toujours égale à moins 𝑥 plus deux, ce qui est l’opposé de la fonction.
Donc, même si 𝑓 est égale à valeur absolue de 𝑥 plus deux, pour que ce soit plus pratique, nous pouvons dire que si 𝑥 vaut moins deux ou plus, alors il faut simplement utiliser cette équation pour calculer l’ordonnée 𝑦 ; mais si 𝑥 est inférieure à moins deux, alors il faut utiliser cette équation pour calculer l’ordonnée 𝑦.
Donc, si on ne nous donne pas le graphique et si on nous donne juste les fonctions valeur absolue de 𝑥 plus deux et cinq, nous pouvons tracer les courbes. Et en faisant cela, nous obtiendrions un graphique qui ressemble à ceci. Maintenant, la méthode est similaire à ce que nous avons fait auparavant ; il faut s’intéresser aux points d’intersection des deux courbes, puis chercher les zones où la courbe de 𝑓 de 𝑥 est en dessous de la droite 𝑔 de 𝑥 sur le graphique. Et c’est évidemment entre ces deux points. Donc, ce qui nous intéresse vraiment, c’est déterminer cette abscisse 𝑥 et c’est ce que nous allons faire.
Alors, 𝑔 de 𝑥 est toujours égale à cinq. Alors regardons le point où 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑔 de 𝑥 sur la gauche. Alors dans cette partie, 𝑓 de 𝑥 est égal à moins 𝑥 moins deux et dans cette partie, 𝑔 de 𝑥 est égal à cinq. Alors, dans chaque partie, 𝑔 de 𝑥 est égal à moins cinq. Il suffit donc d’ajouter 𝑥 des deux côtés, puis de soustraire cinq des deux côtés. Et nous voyons que l’abscisse 𝑥 est égale à moins sept. Nous pouvons faire de même pour la valeur de droite. Et dans cette partie, l’équation de la fonction 𝑓 de 𝑥 est 𝑦 est égal à 𝑥 plus deux. Donc 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 plus deux et 𝑔 de 𝑥 est égale à cinq.
Maintenant, en soustrayant deux de chaque côté, nous obtenons que l’abscisse 𝑥 ici est égal à trois. Alors maintenant, nous avons trouvé exactement les mêmes résultats que ceux déterminés directement à partir du graphique dans la partie précédente. On peut se demander : « Quand la courbe bleue est-elle en dessous de la courbe noire ?» Alors, ce n’est pas le cas quand 𝑥 est égal à moins sept, pas non plus le cas quand 𝑥 est égal à trois, mais c’est le cas pour chaque point entre les deux. Encore une fois, nous pouvons écrire la réponse en utilisant un de ces trois formats.
Regardons maintenant une question purement algébrique depuis le début.
Déterminez les valeurs de 𝑥 qui satisfont l’inégalité, valeur absolue de six moins 𝑥 supérieure ou égale à dix. Ce n’est donc pas une inégalité stricte ; la valeur absolue peut être égale à dix. Donc, pour commencer, nous allons juste nous intéresser au membre de gauche. Donc, nous allons juste considérer 𝑦 égal six moins 𝑥 et nous allons ignorer la fonction absolue pour le moment. Nous nous y intéresserons dans un instant. C’est donc une fonction affine. Et comme le coefficient de 𝑥 est moins un, cela signifie que la pente vaut moins un ; si la valeur de 𝑥 augmente d’une unité, alors la valeur de 𝑦 diminue d’une unité. Le 𝐶, l’ordonnée à l’origine, le terme constant vaut six, ce qui signifie que la droite coupe l’axe des 𝑦 en six. Alors maintenant, il faut déterminer où la droite coupe l’axe des 𝑥. Eh bien, la droite coupe l’axe des 𝑥 lorsque 𝑦 est nul. En remplaçant 𝑦 par zéro, nous obtenons zéro égal six moins 𝑥. Donc, si j’ajoute 𝑥 des deux côtés, j’obtiens 𝑥 égale six. Donc, représentons cela dans un repère. Voilà donc à quoi ressembler la droite d’équation 𝑦 égale six moins 𝑥. Mais bien sûr, rappelons-le, nous nous intéressons en fait à la valeur absolue de 𝑦 égal six moins 𝑥. Donc, partout où cette droite passe en dessous de l’axe des 𝑥 et nous donne des valeurs de 𝑦 négatives, il faut juste prendre une valeur correspondante de 𝑦. Alors, cette droite est positive jusqu’à 𝑥 égale six, puis après elle passe en dessous de l’axe des 𝑥. Donc, nous allons prendre les symétriques de tous ces points par rapport à l’axe des 𝑥 jusqu’ici ; il faut prendre les valeurs positives correspondantes aux valeurs de 𝑦. Donc, pour valeur absolue de six moins 𝑥, il faut ignorer la droite bleue située sous l’axe ici et simplement tracer une droite symétrique par rapport à l’axe des 𝑥 ici, donc ce que nous faisons, c’est que nous prenons l’opposé de toutes les valeurs de 𝑦, c’est-à-dire l’opposé de la fonction 𝑦 égal six moins 𝑥. Donc, à gauche de 𝑥 égal six, nous utilisons simplement la droite 𝑦 égal six moins 𝑥, mais à droite de cette valeur, nous avons 𝑦 égal 𝑥 moins six, qui est l’opposé de l’autre.
Alors maintenant, nous savons à quoi ressemble la valeur absolue de six moins 𝑥. Représentons simplement sur notre graphique 𝑦 égal dix, et cherchons quand la courbe se situe au-dessus de cette droite. Encore une fois, nous allons considérer les points d’intersection. Donc, en regardant la partie de gauche d’abord, la valeur absolue de six moins 𝑥 est représentée juste par 𝑦 égal six moins 𝑥 dans cette partie et elle doit donc être égale à dix.
Puis, je vais ajouter 𝑥 des deux côtés, puis soustraire dix. Donc, au point d’intersection, la valeur de 𝑥 est quatre. Et sur le côté droit, dans cette partie, 𝑦 est égal à 𝑥 moins six, ce qui correspond à cette droite, et elle doit être égale à dix. Donc, je vais juste ajouter six des deux côtés pour déterminer la valeur de 𝑥. Et 𝑥 est égal à seize dans ce cas, donc je peux ajouter seize sur l’axe de mon graphique.
Nous avons donc déterminé les points où les deux courbes sont égales ; nous devons maintenant revenir à la question posée, à savoir déterminer quand la valeur absolue de six moins 𝑥 est supérieure à dix. Donc, cette courbe doit être au-dessus de cette droite sur le graphique. Alors, au niveau du point d’intersection à gauche ici, elles sont égales, et à gauche de point, la valeur absolue de six moins 𝑥 est supérieur à 𝑦 égal dix. Et sur le côté droit, elles sont égales ici, et à droite de ce point, où le module ou la valeur absolue de six moins 𝑥 est supérieur à 𝑦 égal dix.
Donc, en prenant les valeurs de 𝑥 qui correspondent à ces zones du graphique, lorsque 𝑥 est égal à moins quatre, c’est parfait ; les deux courbes sont égales. Et toute la partie à gauche de ce point, comme nous l’avons représenté ici, cela marche aussi, l’inégalité est satisfaite. Et puis sur le côté droit, quand 𝑥 est égal à seize, cela correspond à ce que nous cherchons ; l’inégalité est satisfaite. Et toute la partie à droite de ce point fonctionne également. Nous avons donc une zone qui n’est pas continue : toutes les valeurs inférieures ou égales à moins quatre et toutes les valeurs supérieures ou égales à seize. Nous pouvons donc écrire cela comme deux inéquations comme cela.
Et pour l’écrire sous forme d’intervalles, il faut l’écrire comme l’union de deux intervalles distincts. Donc, nous allons de moins l’infini à moins quatre, puis de seize à plus l’infini. Alors, les infinis ont toujours un crochet ouvert. Et moins quatre est inclus dans cet intervalle, nous avons donc mis un crochet fermé. Et seize est inclus, donc nous avons mis un crochet fermé de ce côté. Et comme ces deux intervalles sont solutions, nous allons prendre leur union. Voilà donc une façon de le représenter.
Alors, une autre façon de représenter cela est d’utiliser en quelque sorte l’axe des 𝑥, tous ces nombres sont des nombres réels sur la droite numérique. Nous pourrions donc dire que ce sont tous des nombres réels moins cette zone ici, qui est comprise entre moins quatre et seize. Mais rappelons-le, nous ne voulons pas exclure moins quatre car moins quatre fait partie des solutions. Donc, je vais mettre un crochet fermé pour dire que cela n’est pas inclus dans le morceau que nous enlevons. Et de même pour seize, le crochet fermé indique que seize n’est pas compris dans la partie retirée. Et encore une fois, je peux utiliser la notation d’ensemble : nous avons l’ensemble des 𝑥, où 𝑥 est un nombre réel tel que 𝑥 est inférieur ou égal à moins quatre ou 𝑥 est supérieur ou égal à seize.
Donc, pour résoudre des inéquations linéaires contenant des valeurs absolues, il faut d’abord se représenter à quoi ressemblerait la droite sans la valeur absolue, puis intégrer la valeur absolue et ensuite déterminer sur le graphique les zones où les courbes se chevauchent ou sont situées au-dessus ou en dessous l’une de l’autre. Et puis vous avez plusieurs manières de présenter votre réponse. Donc, le meilleur conseil est de toujours faire des croquis et des graphiques comme nous avons fait, parce que je pense que cela aide beaucoup à réfléchir et à formaliser les idées, et cela peut éviter de faire des erreurs bêtes. Très bien, bon courage avec vos équations linéaires et vos valeurs absolues.